1 дәріс. Механикалық қозғалыстардың теориялық негіздері
жүктеу/скачать 3,36 Mb. Pdf көрінісі
|
| В
әрпімен белгілеп, жиілік бойынша одан бірінші және екінші туынды аламыз: ( ) 2 2 2 2 2 4β 2 , 0 = − − + dB ω ω ω ω dω (14.5.6) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 4 2 4 8β . = − − + d B ω ω ω dω (14.5.7) Егер зерттеліп отырған функцияның экстремумы болса, оның бірінші туындысы нольге тең болуы керек: ( ) 2 2 2 0 4 8β 0 . − − + = p p p ω ω ω ω Бұдан (14.5.5)-тің бөлімі не минимум, не максимум болатындай = p ω ω -дің мәнінтабамыз: 2 2 0 2β . = − p ω ω (14.5.8) Алынған (14.5.8) нәтижені (14.5.7)-ге қойсақ, В -нің екінші туындысы нольден үлкен екенін көреміз. Демек, В шама (14.5.8)-бен анықталатын p -ге тең болғанда минимум мән қабылдайды да, ал a = a ( ) максимумге жетеді. Сонымен, p -дің мәнін (14.5.5)-ке қойсақ, 2 2 2β β 0 = − f a p ω (14.5.9) формуламен анықталатын амплитуданың ең үлкен мәнін табамыз. Максималды амплитудаға сәйкес тербелістерді резонанстық деп атап, ал тербеліс амплитудасының ең үлкен мәнге дейін өсу құбылысын резонанс дейді. Сол сияқты максималды амплитудаға сәйкес жиілікті резонанстық жиілік деп атайды. Енді ω және 0 ω жиіліктерінің әр түрлі қатыстарына сәйкес осциллятордың мәжбүр тербелістерін қарастырайық. а) << 0 . Осы шартқа байланысты (14.5.5)-формуланың бөлімінде 2 0 ω -қа қарағанда 2 ω -ты және 4 0 ω -ке қарағанда 2 2 4β ω -ты ескермеуге болады. Сондықтан тербеліс амплитудасы үшін жазылған өрнек 0 0 2 2 0 0 f F F a k ω mω = = = (14.5.10) түрге келеді. Бұл қатыс тұрақты 0 F күш әрекетінен жүйенің тепе-теңдік орнынан ығысуын бейнелейді. Жоғарыдағы 0 ω ω шарты орындалса, (14.5.2)-теңдеудегі d 2 x / dt 2 және 2 dx / dt мүшелер 2 0 ω x мүшеге қарағанда көп кіші. Демек, (14.5.2) қозғалыс теңдеуі 2 0 cos 0 = F ω x ωt m (14.5.11) түрге ауысады. Бұл теңдеудің шешімі 0 cos 2 0 = F x ωt mω (14.5.12) болады. Сонымен, қарастырылып отырған жағдайда жүйенің әрбір уақыт мезетіндегі ығысуы сыртқы күштің лездік мәнімен анықталады, ал бұл ығысуға үйкеліс күші ықпалын тигізбейді. б) 0 ω ω . Жоғарыдағы (14.5.5)-тен амплитуданың мәнін табамыз: 0 2 . F a mω = (14.5.13) Қозғалыс теңдеуі (14.5.2) мына түрге келеді: 2 0 2 cos , d x F ωt dt m (14.5.14) ал оның шешімі 0 2 cos F x ωt mω − (14.5.15) болады. Егер жиілік өте үлкен болса, күш өзінің бағытын өте тез өзгерткендіктен, осциллятор тепе-теңдік орнынан байқаларлықтай ығысып үлгермейді. Ішкі және үйкеліс күштері тербеліс нәтижесіне ықпалдарын тигізбейді. Қалыптасқан мәжбүр тербелістер амплитудасының сыртқы күш жиілігіне тәуелділігін бейнелейтін қисықты амплитуда-жиіліктік сипаттама деп атайды. Ондай қисықтар 14.5.1-суретте беріліп отыр. Осциллятордың ең бір маңызды қасиетінің сипаттамасы болып, резонанс кезіндегі оның амплитудасының ( ) p a амплитуданың статикалық мәніне ( ) c a , яғни 0 ω ω шартқа сәйкес мәніне, қарағандағы салыстырмалы өсуі саналады. Сызықтық 14.5.1 - сурет A а p Q 1 Q 2 Q 3 осциллятордың резонанстық қасиеттерін сипаттайтын осы амплитудалардың p c a Q a = = (14.5.16) қатынасын оның сапалылығы деп атайды. Бұл жерде – өшудің логарифмдік декременті. Тербелмелі жүйенің сапалылығын онда жинақталған W энергия мен тербеліс периодына орташаланған шығындар Р қуатының арасындағы қатынаспен өрнектеу келісілген: W Q ω P = . (14.5.17) Жоғарыдағы 14.5.1-суретте осциллятордың амплитуда жиіліктік сипаттамалары әр түрлі сапалылықтар ( ) 1 2 3 Q Q Q үшін берілген. Мәжбүр тербелістердің тағы бір маңызды сипаттамасы – тербелістер фазасының (14.5.4)-формуламен өрнектелген мәжбүр етуші күш жиілігіне тәуелділігі. Фаза-жиіліктік сипаттама деп аталатын бұл тәуелділік 14.5.2 -суретте келтірілген. Суретке қарағанда, осциллятордың ығысуы күштен фаза бойынша қалып отырады. Аз жиіліктерде бұл қалу үлкен емес, бірақ жиілік өскен сайын фазалық кешігу арта түсіп, резонанс кезінде 2 -ге жетеді. Жиілік ары қарай өсе берсе, ығысудың да күшке қарағанда қалуы артып, -ге жақындайды. Резонанс болуының негізгі шарттарының бірі – жүйеге ең үлкен қуат келетіндей фазалар қатысы. Жүйеге келген қуат шамасы сыртқы күш пен осциллятор жылдамдығы арасындағы фазалық қатысқа тәуелді. Осциллятор жылдамдығы оның ығысуынан 2 -ге озады. Резонанс кезінде күш те ығысуға қарағанда 2 -ге алда жүреді. Демек, бұл кезде күш пен жылдамдық фазалары бірдей. Сондықтан, резонанста күш пен жылдамдық үнемі бір бағыттас болғандықтан , сыртқы күш істеген жұмыс ең үлкен мән қабылдайды. Егер резонанс жоқ болса, уақыттың бір бөлігінде күш пен жылдамдық бағыттас болғандықтан, осциллятор энергиясы өседі, ал уақыттың екінші бір бөлігінде күш пен жылдамдық қарсы бағытта болуына сәйкес жүйе энергиясы азаяды. Сыртқы күш көзінен осцилляторға энергия берудің ең бір тиімсіз шарттары күш пен жылдамдық фазаларының айырмашылығы 2 -ге жуықтайтын 0 ω ω және 0 ω ω шарттарына сәйкес болады. Бұл жағдайларда сыртқы күш уақыттың жарты бөлігінде теріс жұмыс, ал екінші жарты бөлігінде оң жұмыс жасайды. Олай болса, период аралығына орташаланғанда сыртқы күш көзінен осцилляторға өте аз энергия берілгендіктен, тербеліс амплитудасы да өте кішкентай болады. жүктеу/скачать 3,36 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|