16. Интегрирование тригонометрических функции
жүктеу/скачать 3,06 Mb.
|
| Теорема. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что
(14) В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что получим: m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству Таким образом, частное есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14). Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b. Эту теорему обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами. Теорема 6. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны. ___________________________________ * Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования - нормальный. жүктеу/скачать 3,06 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|