16. Интегрирование тригонометрических функции
Понятие функционального ряда и область его сходимости
жүктеу/скачать 3,06 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Понятие степенного ряда, его сходимость и расходимость
- Область сходимости, интервал сходимость и радиус сходимости степенного ряда
24. Понятие функционального ряда и область его сходимостиФункциональным рядом называется формально записанное выражение u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... , (1) где u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), ... - последовательность функций от независимой переменной x. Сокращённая запись функционального ряда с сигмой: . Придавая независимой переменной x некоторое значение x0 и подставляя его в функциональный ряд (1), получим числовой ряд u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + ... + un(x0) + ... Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Почленное интегрирование функциональных рядов. Если функции непрерывны на отрезке и составленный из них ряд сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию , то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке , также сходится и имеет суммой функцию , где . Доказательство. В силу равномерной сходимости функционального ряда функция непрерывна на отрезке и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках и . Функцию S(x) можно представить в виде , где частичная сумма, остаток ряда, или . Тогда (12.1.33) (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Таким образом, сумма членов ряда отличается от интеграла дополнительным членом . Для доказательства теоремы нужно лишь установить, что . В силу равномерной сходимости ряда для найдется номер такой, что при сразу для всех в рассматриваемом промежутке. Поэтому . Так как при , то и из (12.1.33) получим . (12.1.34) В (12.1.34) перейдем к пределу при , получим (12.1.35) в силу (12.1.33) имеем . (12.1.36) Сумма, стоящая слева в равенстве (12.1.36), есть частичная сумма ряда , она имеет конечный предел. Следовательно, ряд сходится и его сумма равна . Тем самым доказаны сходимость ряда и равенство его суммы интегралу . Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке и имеет сумму , а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных , сходится равномерно на и имеет сумму . Тогда функциональный ряд сходится на отрезке равномерно и производная его суммы равна сумме ряда , то есть . Доказательство. Так как ряд сходится равномерно на отрезке , то на основании теоремы (1) его можно почленно интегрировать от до x, где . или . По условию теоремы ряд сходится и его сумма равна ; сходится по условию и ряд , его сумма равна , тогда сходится и ряд . Поэтому . Дифференцируя по обе части равенства, получим . Остается доказать, что ряд при выполнении условий теоремы равномерно сходится на отрезке . Из равенства в силу доказанной сходимости рядов и следует, что , но ряд равномерно сходится на отрезке на основании теоремы 9, а сходящийся числовой ряд, то есть ряд , равномерно сходится на отрезке . Таким образом, при выполнении условий ряд равномерно сходится на отрезке и производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда. 25. Понятие степенного ряда, его сходимость и расходимость Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды. Степенным рядом называют ряд , члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а c0, c1, c2, cn - постоянные величины. Числа c1, c2, cn - коэффициенты членов ряда, c0 - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой. Вместо x могут быть различные числа. При некоторых значениях x степенные ряды могут быть сходящимися, при других значениях x - расходящимися. Обозначим через x0 некоторое значение x, при котором ряд сходится, а через x1 - значение, при котором ряд расходится. На рисунке слева показано, что интервал от −x0 до x0 является интервалом сходимости ряда, а вне этого интервала наблюдается расходимость. Но как определить эти граничные значения x? Для этого существует вполне определённый способ. Обозначим эти граничные значения через −R и R. Находим по следующей формуле: Область сходимости, интервал сходимость и радиус сходимости степенного ряда Множество значений переменной x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox. При подстановке в степенной ряд значения x=0 получится числовой ряд c0+0+0+...+0+..., который сходится. Следовательно, при x=0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x=0 и расходятся при остальных значениях х. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. жүктеу/скачать 3,06 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|