16. Интегрирование тригонометрических функции
жүктеу/скачать 3,06 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство
| Свойства сумм Дарбу.
1о. Для любого фиксированного разбиения и для любого точки на отрезках можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Доказательство. Пусть - некоторое фиксированное разбиение отрезка . Докажем, например, неравенства . Согласно свойству точной верхней грани для данного на можно указать такую точку , что Умножая это неравенство на и затем складывая, получаем . Аналогично устанавливаются неравенства .■ 2о. От добавления к данному разбиению отрезка новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается. Доказательство. Для доказательства достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению еще одной точки разбиения , так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая точка попала на отрезок (рис. 3.4). Обозначим соответственно через и - Рис. 3.4. Иллюстрация к доказательству нижние, а через и — верхние суммы Дарбу для данного разбиения и полученного из него добавлением точки разбиения . Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу и . Обозначим через и точные нижние грани функции соответственно на отрезках и . В сумму входит слагаемое , а в сумму вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в суммах и одинаковы. Так как (точная нижняя грань на частях не меньше точной нижней грани на всем ), то . Отсюда следует, что . Аналогично доказывается, что .■ 3о. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения т". Доказательство. Пусть и , и - нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений и . Рассмотрим разбиение , состоящее из всех точек, входящих в разбиения и . Обозначим его суммы Дарбу через и . Так как разбиение может быть получено из разбиения добавлением к нему точек разбиения , то согласно свойству 2о, учитывая очевидное неравенство, получаем . Но разбиение может быть также получено из разбиения добавлением точек разбиения . Поэтому . Сравнивая установленные неравенства, получаем .■ 4о. Множество верхних сумм Дарбу данной функции для всевозможных разбиений отрезка ограничено снизу, а множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества не превосходит точную нижнюю грань множества . жүктеу/скачать 3,06 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|