16. Интегрирование тригонометрических функции
Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям
жүктеу/скачать 3,06 Mb.
|
1 модуль Математический анализ (16-26)
17. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частямК интегралам от трансцендентных функций, вычисляющимся с помощью интегрирования по частям, относится много разнообразных интегралов, например, , , , , , , , , , . Здесь везде n - целое неотрицательное число. Для вычисления интегралов и следует их дважды проинтегрировать по частям, в результате для каждого из них получится линейное уравнение, из которого они сразу находятся. Например, отсюда В интегралах , , после однократного интегрирования по частям получаются интегралы тех же типов, но с меньшими показателями степени. Рассмотрим пример: xsin x dx = -x dcos x = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C. В интегралах , , , , в результате однократного интегрирования по частям пропадает трансцендентная функция, причем в первых двух получаются интегралы от иррациональных функций, выражающиеся через элементарные функции, а в трех последних - интегралы от рациональных функций и, следовательно, также выражающиеся через элементарные функции. Например, В заключение подчеркнем, что далеко не всякий интеграл от элементарной функции выражается через элементарные функции. Среди таких интегралов встречаются интегралы, которые находят большое применение в различных разделах математики. К числу их относятся, например, вероятностный интеграл , интегральный логарифм , интегральный синус . 18. Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. Характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования. Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫ ( k x + b ) p d x ∫kx+bp dx, где p p является рациональной дробью, k k и b b являются действительными коэффициентами. Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫ f ' ( x ) ⋅ ( f ( x ) ) p d x ∫f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p p считается рациональной дробью.
Интегрирование биномиальных дифференциалов рационализуется лишь в трех случаях: 1) подстановка где k - общий знаменатель m и n; 2) подстановка где k - знаменатель p; 3) подстановка где k - знаменатель p. Интегрирование рационально-тригонометрических функций всегда рационализует универсальная подстановка Специальные подстановки 1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t. 2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t. 3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t. Интегрирование рационально-гиперболических функций рационализует подстановка 19. Основные свойства определенного интеграла I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. жүктеу/скачать 3,06 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|