Разложение функций в степенные ряды Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде
Задача состоит в определении коэффициентов ряда. Для этого, дифференцируя равенство почленно, последовательно найдём:
Полагая в равенствах х = 0, находим
Тогда
Подставляя найденные выражения в равенство, получим
Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.
Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
26.
Основные понятия
Определение
Тригонометрический ряд Фурье для функции ƒ(x) нa отрезке [-π, π]
где а0, an, bn -коэффициенты Фурье, вычисляемые по формулам:
Тригонометрический ряд Фурье для функции ƒ(x) нa отрезке [-l, l]
Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье
Теорема Дирихле. Если функция ƒ(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода на отрезке [-π, π] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [-π, π] то ряд Фурье функции ƒ(x) сходится ∀x ∈ [-π, π] и его сумма равна:
1) ƒ(x) для всех точек непрерывности x ∈ [-π, π] 2)для всех точек разрыва I рода х0;
3) при х = -п и х = п
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
ƒ(x) на отрезке [-π, π] четная, то Ьn = 0;
ƒ(x) на отрезке [-π, π] нечетная, то
Представление непериодической функции рядом Фурье
Разложение в ряд Фурье функции ƒ(x) на произвольном промежутке [0, l]
Разложение по синусам 1. Доопределить ƒ(x) нечетным образом на [-l, 0].
2. Разложить в ряд полученную
нечетную функцию ƒ*(x) на [—l, l].
Разложение по косинусам 1. Доопределить ƒ(x) четным образом на [-l, 0]
2. Разложить в ряд полученную четную функцию ƒ*(x) на [—l, l].
