16. Интегрирование тригонометрических функции



бет4/9
Дата24.05.2022
өлшемі3,06 Mb.
#35450
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
1 модуль Математический анализ (16-26)

Свойства сумм Дарбу.
1о. Для любого фиксированного разбиения  и для любого  точки на отрезках  можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .
Доказательство. Пусть - некоторое фиксированное разбиение отрезка Докажем, например, неравенства . Согласно свойству точной верхней грани  для данного  на  можно указать такую точку что

Умножая это неравенство на  и затем складывая, получаем . Аналогично устанавливаются неравенства .■
2о. От добавления к данному разбиению  отрезка  новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается.
Доказательство. Для доказательства достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению  еще одной точки разбиения , так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая
точка  попала на отрезок (рис. 3.4). Обозначим соответственно через  и -

Рис. 3.4. Иллюстрация к доказательству
нижние, а через  и  — верхние суммы Дарбу для данного разбиения  и полученного из него добавлением точки разбиения .
Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу  и . Обозначим через  и точные нижние грани функции  соответственно на отрезках  и . В сумму входит слагаемое , а в сумму  вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в суммах  и  одинаковы. Так как  (точная нижняя грань на частях  не меньше точной нижней грани на всем ), то
.
Отсюда следует, что .
Аналогично доказывается, что .■
3о. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения т".
Доказательство. Пусть  и ,  и - нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений  и . Рассмотрим разбиение , состоящее из всех точек, входящих в разбиения  и . Обозначим его суммы Дарбу через  и . Так как разбиение  может быть получено из разбиения  добавлением к нему точек разбиения , то согласно свойству 2о, учитывая очевидное неравенство, получаем 
.
Но разбиение  может быть также получено из разбиения  добавлением точек разбиения . Поэтому 
.
Сравнивая установленные неравенства, получаем .■
4о. Множество  верхних сумм Дарбу данной функции  для всевозможных разбиений отрезка  ограничено снизу, а множество  нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества  не превосходит точную нижнюю грань множества .


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет