Анықтама. өрнегі сегментіндегі функциясының интегралдық қосындысы деп аталады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:
,
,
,
,
,
,
, егер функциясы [-a;a] кесіндісінде жұп функция.
, егер функциясы [-a;a] кесіндісінде тақ функция.
-
11. Егер кесіндісінде , онда
.
12. Теорема (анықталған интегралды бағалау туралы): Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз функция, m- сол аралықтағы функцияның ең кіші, ал M-ең үлкен мәні болса, онда:
13. Теорема (орта мән туралы): Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда болатын нүктесі табылады.
Анықталған интегралды есептеу әдістері
Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталған интегралды анықтама бойынша интегралдық қосындының шегі ретінде есептеу көп қиыншылыққа әкеліп соқтырады. Сондықтан анықталған интегралды есептеудің тиімді әдісін табу керек деген сұрақ туады. Бұл әдісті Ньютон мен Лейбниц ашқан еді.
Теорема. Егер функциясы функциясының қандай да бір алғашқы функциясы болса, онда:
.
Бұл формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.
Бірнеше мысалдар келтірейік:
1-мысал. анықталған интегралды есептеу керек.
Шешуі: .
Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
интегралында алғашқы функцияны табу қиын болса, кейде айнымалыны ауыстырған жөн, яғни . Сонда:
мұндағы , ал – кесіндісінде үзіліссіз функция.
1-мысал. Интегралды есептеу керек: .
Шешуі: Жаңа айнымалы енгізіп, сонан соң Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептейміз:
.
Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау
кесіндісінде және функциялары үзіліссіз дифференциалданатын болса, онда:
.
1-мысал. Анықталған интегралды есептеңіз:
Шешуі. Бөлшектеп интегралдаймыз. Белгілеулер енгіземіз:
9.Анықталған интегралдың қолданылу туралы жазыңыз.
Достарыңызбен бөлісу: |
