2 дәріс. Топтар. Жартылай топтар және моноидтар. Циклдік топтар

Артынан мәңгілік өшпес мұра қалдырған, Галуа теориясын ашқан математика әлемінің ең жарық жұлдыздарының бірі.

Топтар теориясын жасау Э. Галуаның 20 жасында үлесіне түсті.

Абельдің бесінші дәрежелі теңдеуді шештім, соның радикал арқылы түбірін таптым деп жасаған жұмысы теріс болып, аштым деген жаңалығы қате болды. Кейін бұл мәселеге қайта оралып, бесінші дәрежелі теңдеудің жалпы шешімдері радикал түрінде шықпайтынын толық дәлелдеді. Абельдің бұл табысы математикада көп жылдар бойы дәлелденбей жүрген мәселені, оған, қайтып оралмастай етті.

Одан бірнеше жыл кейін бұл қорытындыны француз математигі Галуа да жасады, сонымен қатар ол бесінші дәрежелі теңдеу мәселесін келесі сатыға көтерді, түбірлер негізінде құрылатын «Галуа тобы» деген теория шығарды.

Мысалы, төмендегі бесінші дәрежелі теңдеуді

деп алсақ, әрине, оның бес түбірі бар: үшеуі нақты сандар, ал қалған екеуі комплекс сандарға тең, бірақ бұл теңдеудің түбірлері радикал арқылы табылмайды.

Бесінші дәрежелі теңдеудің жалпы түрде радикал арқылы шешілмейтінін дәлелдеу – математика ғылымындағы орнынан қозғалмай жатқан зілді мәселені жылжытқанға пара-пар, бұл алгебрадағы тарихи есепке шешім табу болып шығады.

Галуаның фундаментальды жетістігі – математикаға топтар теориясын енгізуі, қазіргі математиканың негізі болып табылады. Топтар арқылы теңдеулерге түбірлерін қойып, Галуа алгебралық теңдеуді шешудің қажетті және жеткілікті шарттарын тұжырымдады.

Топтар теориясы өте қиын, ұзақ, қазіргі кезде математиканың барлық салаларына тарап кеткен терең тамырлы теория.

Топ деп математикада кейбір элементтердің жиынын айтады, ол элементтер үшін «топтық қосу» (немесе «көбейту») операциясы белгіленген болуы керек. Топтың екі элементін, a мен b-ні «қосса» сол топтың үшінші элементі c=a+b пайда болады (сондай-ақ көбейту түрінде c=a*b). Мұнда қолданылып отырған «қосу» немесе «көбейту» амалдары арифметика амалдары мағынасында жұмсалмайды, тек символ есебінде жұмсалады.

Кейбір элементтер жиыны топ болу үшін төмендегі шарттар (аксиомалар) орындалуы қажет:

1º. Топ элементтері ішінде бір нольдік элемент 0 болу керек, оны қосқаннан басқа элемент a өзгермейтін болады:

2º. Кез келген a элементіне қарама-қарсы элемент – a болады, ол екеуінің қосындысы нольге тең:

3º. Топтың кез келген үш элементі a, b, c бір-бірімен қосқанда (a+b)+c=a+(b+c) теңдікті қанағаттандырулары керек. Бұл жағдайды көбінесе, қысқаша «терімділік заңы сақталады» дейді. Сөйтіп, топ деп оның элементтері үшін жоғарыда көрсетілген 1º-3º шарттар орындалатын жиынды айтамыз.