) Классикалық механикадағы Лагранж функциясына жалпылама беріңдер, яғни

Лагранж теңдеулерін қорытамыз. Ол үшін қандай да бір координата –  және жылдамдық – арқылы сипатталатын функцияны қарастырамыз.

Еркін материалдық нүктенің Лагранж функциясы

Мұндағы – материалдық нүктеніңмассасы деп аталады. Лагранж функциясының аддитивті қасиеті бойынша, бір-бірімен әсерлеспейтін материалдық нүктелер үшін:

Енді тұйық жүйеде, яғни тек бір-бірімен ғана әсерлесетін нүктелер жиыны үшін Лагранж функциясын жазып көрелік. Материалдық нүктелердің бір-бірімен әсерлесуі жоғарыдағы (3) өрнекке функциясын қосып жазамыз

Мұндағы – материалдық нүктесінің радиус векторы. Сонымен (4) тұйық жүйенің Лагранж функциясының жалпы түрі болып табылады. Мына қосынды

Лагранж функциясынан уақыт бойынша алынған анықталған интегралын – деп белгілейміз және оны «әсер» деп атаймыз:

Эйлер Әсер функциясын шешу барысында, функционалдарды қолдану арқылы, математикадағы жаңа әдіс – вариациялау әдісін тапты.

Жалпылама координаттарда жазылған Лагранж функциясы:

Екінші мүшені жеке қарастыратын болсақ:

дифференциалдау мен вариациялау коммутативті болғандықтан, оларды қолдану тәртібі ауысып келе береді:

Интегралдау аймағында координаттар вариациясы кез келген мәнге ие бола алады. Жақшаның ішіндегі мән оның коэффициенті болып табылады. Осы коэффициент нөлге тең болса ғанашарты орындалады.

Осы теңдеулер Лагранж теңдеулері деп аталады.