Абай атындағы

Следствие. Краевая задача (2) фредгольмова в том и только в том случае, когда 
l= dim W
l
 = n. 
Фиксируем 
X
x

ˆ
 и подпространство 
X

l
W
 размерности 0 

 l

2n. 
 
Рассмотрим граничную задачу  
 
 
 
 
,
f
Lx

 
l
W
x
x


ˆ
.                                        (6) 
 
Лемма 1. Для разрешимости задачи (6) необходимо и достаточно, чтобы 
 
 
 
0
,
ˆ
,


y
x
y
f
, 
,
0
:
*



y
L
D
y
 
*
l
W
y

.                (7) 
 
Доказательство.  Задача  (6)  эквивалентна  следующей  конечномерной  задаче, 
аналогичной (5): 
                  


1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
ˆ
ˆ
)
(
)
(
x
B
x
B
ds
s
f
s
U
U
B
x
U
B
B









, 
где 
0
ˆx
 и 
1
ˆx
 определяются как «координаты» 







1
0
ˆ
ˆ
ˆ
x
x
x
.  
Для  ее  разрешимости  необходимо  и  достаточно,  чтобы  ее  правая  часть  была 
ортогональна к 

U – решению уравнения 


0
*
1
*
1
*
0


U
B
U
B
. 
 
Однако  
y
f
U
ds
s
f
s
U
U
B
,
,
)
(
)
(
1
1
1














. 
С другой стороны, используя формулы (10)из леммы [6], получим 
 
          



 


 

 
y
x
y
x
y
x
U
B
x
U
B
x
U
x
B
x
B
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
ˆ
1
1
0
0
*
1
1
*
0
0
1
1
0
0






. 
Итак, (7) есть критерий разрешимости конечномерной задачи, а значит, и задачи (6). 
 
Пусть на каждом [

I
,

i
] задано свое дифференциальное уравнение порядка n
i
 
         
]
,
[
 
1
)
(
 
,
,...,
1
 
),
(
)
(
0
)
(
i
i
i
in
i
i
n
j
j
i
ij
i
i
t
t
a
s
i
t
z
t
a
z
M











. 
Замена 
1
,...,
1
,
0
 
,
1
)
(




i
ij
j
i
n
j
x
z
 приводит 
этот 
набор 
дифференциальных  уравнений  к  виду  (1),  однако  часто  бывает  полезно  провести 
самостоятельные рассуждения. 
 
В  качестве  пространства  Z    возьмем  множество  наборов  вида 
s
i
i
z
z
1
)
(


,  где 
]
,
[
)
(
1
i
i
i
n
i
C
t
z




.  Пусть 
Z
 -  линейное  пространство  столбцов  граничных 
значений  
        







1
0
Z
Z
Z
, где 


.
,...,
1
1
,...,
0
)
(
0
)
(
s
i
i
n
j
i
j
i
z
Z





, 


.
,...,
1
1
,...,
0
)
(
1
)
(
s
i
i
n
j
i
j
i
z
Z





. 
Предположим теперь, что 
]
,
[
)
(
i
i
i
C
t




, 
],
,
[
)
(
i
i
j
ij
C
t
a



 
,
,...,
1
i
n
j

s
i
,...,
1
 

. 
Пусть  W
l
 – l-мерное подпространство в 
Z
. Поставим граничную задачу 

161 
 
 
 
 
 
 


MZ
, 
l
W
Z

,                                      (8) 
использованы обозначения 
 
 
 
 


s
i
i
i
z
M
MZ
1


, 
 
Z
s
i
i



1


. 
Область  использования  D  оператора  M  пусть  состоит    из  всех  z

Z  таких,  что 
]
,
[
)
(
i
i
i
n
i
C
t
z



, 
s
i
,...,
1

. 
Интегрированием по частям получим 
]
,
[
,
,
*



Z
M
Z
MZ


, 
где 
*
1
*
*
 
,
)
(
i
s
i
i
M
M
M


 -  формально  сопряженный  по  Лагранжу  к 
i
M
 
дифференциальный  оператор,  а 
)
,
(
]
,
[


Z
Z


,  причем 
Z
Z


:
 и,  как 
нетрудно показать, определитель 
0


. 
Лемма  2.  Существует  в 
Z
 единственное  (2n

l)-мерное  подпространство  W
l
  * 
  , 
ортогональное к W
l
 в смысле индефинитной метрики 
]
,
[

Z
. 
Доказательство.  При  l=0  и  l=2n  утверждение  леммы  очевидно.  Пусть  0

l

2n. 
Зададим  W
l
  уравнением 
0

Z
B
,где  ранг  B  равен  2n

l  или  в  параметрическом  виде 
Cu
Z

, 
l
R
u

,  ранг  C=l,  BC=0.  Тогда,  очевидно, 
0
*
*



C
,  или  в 
параметрическом виде 
U
B
*
1
*
)
(




, 
l
n
R
U


2
. 
Замечание. Граничная задача  
 
 
 
 
 



*
M
, 
*
l
W


 
является сопряженной к граничной задаче (8).  
Теорема.  Граничная  задача  (8)  является  нетеровой  с  индексом 

=l

n.  Для 
разрешимости  краевой  задачи 
l
W
Z
Z
MZ



0
 
,

 необходимо  и  достаточно, 
чтобы 
0
]
,
[
,
0





Z
 для 
*
*
 ,
0
:
l
W
M






. 
 
Таким  образом,  рассмотрены  многоточечные  сопряженные  задачи  в  случае 
существования  нетривиального  решения  однородной  краевой  задачи.  Исследованы  ее 
единственность,  нетеровость  и  фредгольмовость  линейного  и  сопряженного 
дифференциальных операторов.  
 
 
1.  Вайнберг  М.М.,  Треногин  В.А.  Теория  ветвления  решений  нелинейных  уравнений.  
М.: Наука, 1969,С.529. 
2.  Ильин  В.А.  Спектральная  теория  дифференциальных  операторов.  М.:  Наука, 
1991,С.368. 
3.  Логинов  Б.В.  Теория  ветвления  решений  нелинейных  уравнений  в  условиях 
групповой инвариантности, Ташкент,ФАН, 1985, С.184. 
4. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980,С.495. 
5. Trenogin V.A., Khasseinov K.A. Обобщенная многоточечная задача для ЛДУ и задача, 
сопряженная  к  ней  //  4th  Conf.  on  differential  equations  and  applications.  ―Rousse

 
1989‖, Bulgaria, 1989. 285p. 
6.  Хасеинов  К.А.Задачи  сопряжения  для  дифференциальных  уравнений,  Журнал 
"Ізденіс-"Поиск",  Серия  естественных  и  технических  наук,  №3(1),  2013,  Алматы, 
с.76-80. 
 
 

162 
 
ӘОЖ  51.37 
К.М. Шиналиев, Б.Т. Тӛребек 
 
БӚЛШЕК РЕТТІ ЕСЕПТЕУЛЕР ТЕОРИЯСЫН ЖОО-ДА АРНАЙЫ КУРС 
РЕТІНДЕ ОҚЫТУДЫҢ ӚЗЕКТІЛІГІ 
 
(Түркістан қ, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық Қазақ-Түрік университеті) 
 
Бұл  мақалада  бӛлшек  ретті  есептеулер  курсын  ЖОО-да  оқытудың  ӛзектілігі 
қарастырылған.  Курстың  қысқаша  тарихы  келтіріліп,  қолданылу  мүкіндіктері 
зерттелген. Бӛлшек ретті есептеу операторының анықтамалары келтіріліп,  мысалдар 
кӛрсетілген. 
В  статье  рассматривается  актуальность  обучения  курсу  дробных  исчислений  в 
вузах. Излагается краткая история курса и его применения. Приводятся определения и 
примеры операторов дробных исчислений. 
The article discusses the relevance of training course of fractional calculus in high school. 
Gives  a  brief  history  of  the  course  and  its  application.  A  list  of  some  foreign  universities 
teaching  fractional  calculus  as  an  elective  course.  Provides  definitions  and  examples  of 
operators of fractional calculus. 
 
Түйін  сөздер:  Бӛлшек  ретті  есептеулер,  фрактал,  Риман–Лиувилл  операторы,    Капуто 
операторы. 
Ключевые  слова:  дробные  исчисление,  фрактал,  оператор  Риман–Лиувилля,  оператор 
Капуто. 
Keywords: fractional calculus, fractal,  Riemann-Liouville оperator, Caputo оperator. 
 
Кіріспе. Қазіргі заман математикасы ондаған әр түрлі салалардан тұрады, олардың 
ӛзіне  тән  мазмұны,  әдіс-тәсілдері  бар.  Қазіргі  ғылым  мен  техниканың  дамуына 
байланысты  математика  ғылымы  тереңдеп,  күрделеніп,  зерттеу  объектілері  кеңейе 
түсті,  сӛйтіп  адамзат  ақылымен  құрылған  анағұрлым  жоғарғы  абстракцияларды 
қамтиды.  Сонымен  қатар  теориялық  математикамен  бірге  қолданбалы  математика  тез 
қарқынды дамуда. Заманауи математика салаларының ішінде кең ауқыммен қарыштап 
ілгерілеген бағыттарының бірі – бӛлшек ретті есептеулер. Бӛлшек ретті есептеулер түп 
тамырын фрактал ұғымынан алады.  
Фрактал сӛзі  латын  тілінен  аударғанда —  бӛлшекті,    бұзылған,  сынған  деген 
сияқты мағыналарды береді. 
Фрактал күрделі  геометриялық  пішін,  ӛзін  қайталаушы  қасиетке  ие,  яғни  әрбір 
бӛлшегі  масштабын  үлкейтіп  қарасақ  дененің  бастапқы  пішінін  қайталайды  немесе 
соған ұқсас пішінге ие болады. 
Физикада  фракталдар  табиғи  түрде  сұйықтық  турбулентті  ағысы,  диффузия-
адсорбцияның күрделі процестері, жалын, бұлт т.б.  сияқты сызықты емес процестерді  
моделдеу  кезінде  туындайды.  Фрактальдар  керек  материалдарды  модельдеу  кезінде, 
мысал,  мұнай  химиясында  қолданылады.  Биологияда    олар  популяцияны    модельдеу 
үшін  және  ішкі  органдардың  жүйелерін  сипаттау  үшін  пайдаланылыда.  Жоғарыда 
кӛрсетілген фракталды орталарда жүзеге асатын математикалық модельдеу процестері 
бӛлшек ретті оператор қатысқан теңдеулерге келтіріледі. 
Бӛлшек  ретті  есептеулер  тарихы.  Бӛлшек  ретті  есептеулер  ұғымы  осыдан  үш 
ғасыр бұрынғы қолжазбаларда кездеседі.  Бүтін емес ретті  туындылар жайлы алғашқы 
түсініктер  Я.Бернулли  және  Г.Лейбництердің  жазбаларынан  таба  аламыз.  Г.Лейбниц 
1695ж.  Г.Лопитальға  жазған  хатында  ½  ретті  дифференциал  жайлы  тоқталып,  бұл 
мәселенің  болашақта  үлкен  маңызға  ие  болатыны  туралы    және  ғылымда  елеулі 

163 
 
нәтижелер  алынып,  математиктердің  назарын  ӛзіне  аудартатын  салаға  айналатыны 
туралы айтады. XVIII ғасырда бӛлшек ретті есептеулерге айтарлықтай кӛңіл бӛлінбеді. 
Тек  Эйлер  мен  Лагранждың  кейбір  еңбектерінде  ғана  біршама  келтірілді.  Ал,    ХІХ 
ғасыр  мен  ХХ  ғасырдың  бірінші  жартысы  математикалық  талдаудың  бӛлшек  ретті 
есептеулер  бӛлімі  Лейбництің  болжағанындай  толық  ғылыми  айналымға  еніп, 
ғалымдар  кӛптеп  қызығушылық  таныта  бастады.  Бӛлшек  ретті  есептеулер    жайында 
кӛптеген  математиктердің,  механиктердің  және  физиктердің  еңбектері  жарияланды. 
Мысалы:  Лаплас,  Фурье,  Абель,  Лиувилль,  Риман,  Грюнвальд,  Хэвисайд,  Харди, 
Зигмунд, Курант және т.б. айтулы ғалымдар осы саладан тамаша нәтижелер алды. Бүтін 
емес  ретті  математикалық  талдаудың  дамуына  белгілі  орыс  математигі,  Мәскеу 
математика одағының президенті А.В.Летников үлкен еңбек сіңірді.  
Бӛлшек  ретті  есептеулерге  деген  жаңаша  ғылыми  қызығушылық  1974ж.  «The 
Fractional  Calculus:  Theory  and  Application  of  Differentiation  and  Integration  to  Arbitrary 
Order» кітабы жарыққа шыққаннан соң басталды [1]. Бұл кітап бӛлшек ретті есептеулер 
теориясын жүйелі зерттеуге және оның қолданылу аймақтарын қарастыруға арналды. 
Қазіргі  таңда  бӛлшек  ретті  есептеулер  теориясы  мен  қолданылулары  кең 
ауқымды зерттеліп, жедел дамуда деп айтуға болады. Мұның басты себебі  фракталды 
орталарда  болатын  кӛптеген  физикалық  және  химиялық    процесстерді  сипаттауда, 
экономикалық 
және 
әлеуметтік-биологиялық 
құбылыстарды 
математикалық 
моделдеуде  бӛлшек  есептеудің  қолданысының  артуында.  Математикалық  талдаудың 
бұл  бӛлімі  бүгінде  жай  және  фракталды  орталардың  күрделі  динамикалық 
процесстерінің  математикалық  моделінің  таптырмас  құралына  айналды.  Бұл  жағдай  
ғылыми  зерттеушілердің бӛлшек ретті есептеуге деген қызығушылығын  елеулі түрде 
ӛсіріп  отыр.  Аталған  модельдер  А.М.Нахушев,  В.В.Учайкин,  С.Г.Самко,  А.А.Кильбас 
және  О.И.Маричев,  I.Podlubny,  A.A.Kilbas  H.M.Srivastava  және  J.J.Trujillo,  А.В.Псху, 
Miller  K.S.  және  Ross  B.,  В.В.Василев  және  Л.А.Симак,  Ravi  P.Agarwal,  Mouffak 
Benchohra,  Juan  J.Nieto  and  Abdelghani  Ouahab,  А.А.  Потапов  және  т.б  авторлардың 
монографиялары мен мақалаларында толық сипатталған. 
Бӛлшек ретті есептеулер курсын ЖОО-да оқытудың қажеттілігі. 
Электрохимиялық  процестер,  диэлектрикалық  тербелістер,  түрлі  түсті  шулар 
және  ретсіз  әрекеттер  теориясындағы  кӛптеген  модельдер  бӛлшек  ретті 
дифференциалдық 
теңдеулермен 
ӛрнектеледі. 
Бұдан 
басқа 
бӛлшек 
ретті 
дифференциалдық  теңдеулердің  аппаратын  қолдану  дәстүрлі  тәсілдер  кӛзқарасымен 
түсіндіру мүмкін болмаған белгілі нәтижелерді  тереңдетіп түсінуге мүмкіндік береді. 
Бӛлшек ретті  дифференциалдық теңдеулерді, оның ішінде бӛлшек  ретті  диффузиялық 
теңдеулерді,  бӛлшектеп  есептеулер  теориясында,  сонымен  қатар  механика,  физика, 
биология және басқа да қолданбалы ғылымдардағы есептеулерде қолданғандықтан, бұл 
теңдеулерді оқытудын маңызы бар. 
Жалпыланған  бӛлшек  ретті  жылуӛткізгіштік  теңдеулері  субдиффузия  және 
супердиффузия  процесінде  қолданылатын  моделі  болып  табылады.  Кӛріп 
отырғанымыздай  бӛлшек  ретті  есептеу  теориясы  ғылымның  кӛптеген  салаларын 
қамтып қана қоймай, сол салалар бойынша айтулы нақты нәтижелерге де қол жеткізіп 
отырғанын  байқаймыз.  Бӛлшек  ретті  есептеулер  қолданылу  аясының  кеңдігінен, 
зерттеу объектісінің ӛзектілігінен бұл күндері шет елдің маңдайалды оқу орындарының 
оқыту  бағдарламаларына  арнайы  курс  ретінде  енгізілген.  Кейбір  оқу  орындарында 
бакалаврлар  үшін  арнайы  курс  ретінде  енгізілсе,  енді  кейбір  білім  ордаларында 
магистратура  және  PhD  мамандарын  даярлауда  оқыту  кӛзделген.  Мысал  ретінде  атап 
айтсақ,  математика  мамандықтары  үшін    Американың  Калифорния,  Американың 
Туфтс,  Словакияның  Кошице  Техникалық  университетінде,  Түркияның  Фатиһ, 
Хаджетепе,  Ресейдің  СамГТУ,  Ресейдің  Х.М.  Бербеков  атындағы  Кабардин-Балқар 

164 
 
Ұлттық Университеттерінде арнайы курстар ретінде оқытылуда. Жоғарыда аталған оқу 
орындарында  әр-түрлі  тақырыптағы  пән  ретінде  енгізілгенімен  олардың  жалпы 
мазмұны мен құрылымы бӛлшек ретті есептеулер теориясының негізінде құрылған. 
Бӛлшек  ретті  есептеулердің  негізгі  ұғымдары.  Алдымен  бүтін,  еселі 
интегралдарды  бӛлшек  интегралдарға  жалпылау  түсінігі  жайлы  ұғымдарды  енгіземіз. 
Әрине  біз  берілген  функцияны  ½,  ¾  немесе  ¼  есе  интегралдай  алмаймыз.  Бірақ  бізге 
бұл  амалды  орындау  үшін  кӛмектесетін  m-еселі  қайталама  интегралды  бір  еселі 
интеграл түрінде жазатын Коши формуласы бар [2]: 
 


 
2
1
1
1
1
0
0
0
0
1
( )
...
( )
(
1)!
m
x
x
m
m
m
m
I
f
x
d
d
f
d
x
f
d
m




 

 










, 
1, 2,3,...
m =
. 
Егер  Коши  формуласының  оң  жағындағы  ӛрнекте  m  натурал  санын  қандай  да 
бір 
0
a >
 нақты  санымен  ауыстырсақ,  онда  Коши  формуласының  бӛлшек  ретті 
аналогын аламыз 
 


 
1
0
1
( )
,  
0
( )
x
I
f
x
x
f
d



  







.                          (1) 
Бӛлшек  ретті  дифференциалдау  және  интегралдау  теориясында  бӛлшек  ретті 
операторлардың әр-түрлі анықтамалары бар. Мәселен Риман-Лииувил, Капуто, Адамар, 
Маршо,  Адамар-Маршо,  Грюнвальд-Летников,  Сайго,  Вейль,  Джрбашян-Нерсесян 
және  тағы  басқалар.  Бӛлшек  ретті  дифференциалдау  және  интегралдау  операторлары 
анықтамаларының  ішінде  ең  кӛп  қолданысқа  ие  түрі  –  ол  Риман-Лииувил 
мағынасындағы интеграл және дифференциал, сонымен қатар Капуто мағынасындағы 
дифференциал болып табылады. 
Енді  жоғарыдағы  (1)  ӛрнекпен  берілген  формуланы  пайдалана  отырып  бӛлшек 
ретті интегралдау операторы ұғымын енгіземіз. 
Айталық, 
0
a >
 –  кейбір  нақты  сан  болсын.  (0, ),  
l
l < Ґ  интервалда  берілген 
( )
f t  функциясы үшін келесі анықтама орынды: 
1-анықтама.  Берілген 

  саны  және 
( )
f t  функциясы  үшін  Риман  –  Лиувилл 
мағынасындағы  бӛлшек  ретті  интегралдау  операторы  деп  (1)  ӛрнекпен  берілген 
формуланы айтамыз. 
2-анықтама.  Берілген 
1
m
m

  
 саны  және 
( )
f t  функциясы  үшін  Риман–
Лиувилл мағынасындағы бӛлшек ретті дифференциалдау операторы деп 
1
0
1
[ ]( )
( )
(
)
( )
(
)
t
m
m
m
m
m
m
d
d
D
f t
I
f
t
t
s
f s ds
dt
m
dt





 










,         (2) 
ӛрнекпен берілген формуланы айтамыз. 
3-анықтама. Берілген 
1
m
m

  
 саны және  (0, )
l , 
l < Ґ
 интервалында 1-ретті 
туындыға  ие  болатын  ( )
f t  функциясы  үшін  Капуто  мағынасындағы  бӛлшек  ретті 
дифференциалдау операторы деп 
   
 
 
1
0
1
[ ]( )
( )
(
)
( )
(
)
t
m
m
m
m
D
f t
I
f
t
t
s
f
s ds
m





 











,                      (3) 
ӛрнекпен берілген формуланы айтамыз. 
(2)  және  (3)  ӛрнектерді  салыстыру  арқылы  Риман–Лиувилл  және  Капуто 
мағыналарындағы бӛлшек ретті дифференциалдау операторларының ұқсастықтары мен 
айырмашылықтарын  аңғаруға  болады.  Бірінде  жоғарғы  ретті  дифференциал  бӛлшек 
ретті  интегралдың  сыртынан  қолданылса,  екіншісінде  интеграл  астындағы  ӛрнекке 
тікелей қолданылады. 

165 
 
Бӛлшек  ретті  дифференциалдау  және  интегралдаудың  қарапайым  қасиеттері 
және оқыту ерекшеліктері. 
Бұл  бӛлімде  біз  бӛлшек  ретті  дифференциалдау  және  интегралдау 
операторларының  кейбір  қарапайым  қасиеттеріне  тоқталамыз.  Негізінде  бӛлімде  біз 
бӛлшек  ретті  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулер  курсын  меңгеру  үшін 
білім  алушылар  университет  қабырғасында  оқытылатын  математикалық  талдау 
пәніндегі функция дифференциалы, функция интегралы, параметрге тәуелді меншіксіз 
Эйлер интегралдары (гамма және бета функция), функцияны дәрежелік қатарға жіктеу, 
Тейлор қатары және тағы басқа негізгі ұғымдарды еркін игерген болуы тиіс. Ӛйткені, 
бӛлшек ретті есептеулер курсын меңгеру барысында білім алушыларға математикалық 
талдау пәнінің жоғарыда аталған ұғымдары қажет болады. 
Бӛлшек  ретті  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулер  курсын  меңгеру 
(2)  және  (3)  ӛрнектермен  анықталған  Риман–Лиувилл  және  Капуто  мағыналарындағы 
бӛлшек  ретті  дифференциалдау  операторларының  қарапайым  функцияларға 
қолданылуына мысалдар келтірейік. 
1-мысал. Тұрақтының интегралы. 
Айталық, 
0
1

 
, 
( )
f t
C

 болсын.  Алдымен 
( )
f t
C

 функциясына  (1) 
ӛрнекпен анықталған бӛлшек ретті интегралдың әсерін байқайық. Онда  
1
0
0
1
[ ]( )
(
)
(
)
( )
( )
(
1)
t
s t
s
C
Ct
I
C t
t
s
Cds
t
s





 






 




 

 
Демек,  ( )
f t
C

 болса, онда 
[ ]
(
1)
Ct
I
C




 
. 
Енді (2) және (3) ӛрнекпен анықталған Риман–Лиувилл және Капуто 
мағыналарындағы бӛлшек ретті дифференциалдау операторларының анықтамасын 
ескерсек, 
1
[ ]
[ ]
(1
)
d
t
D C
I
C
dt








 
, 
 
1
1
*
[ ]
0
0
d
D C
I
C
I
dt














. 
1-мысалдан  байқайтынымыз  Риман–Лиувилл  және  Капуто  мағыналарындағы 
бӛлшек ретті дифференциалдау операторларының ішінде Капуто операторы қарапайым 
туындыға ұқсас қасиетке ие. Ӛйткені тұрақтының туындысы 0-ге тең болады. 
2-мысал. Айталық, 
0
1

 
,  ( )
,
1
f t
t



 
 болсын. Онда  


1
0
1
[ ]( )
(
)
,
( )
t
I
f t
t
s
s ds
s
t
ds
td









 




 
1
1
0
( ) (
1)
(
1)
(1
)
( )
( )
(
1)
(
1)
t
t
d
t
 
 


 




 


 
 





 
 






  
  

. 
Демек,  ( )
,
1
f t
t



 
 болса, онда 
(
1)
[ ]
(
1)
I t
t
a
m
m a
m
a
m
+
G
+
=
G
+
+
. 
Онда  ( )
,
1
f t
t



 
 функциясының бӛлшек ретті туындысы 
0,
1
[ ]
(
1)
,
1
(1
)
D t
t


 
 

 
 

 



 

 
  

,  
 

166 
 
*
0,
0
[ ]
(
1)
,
0
(1
)
D t
t


 



 





 


  

. 
2-мысалды  мұқият  зерттеу  арқылы  дәрежелік  функцияның  дәрежесі 
1


-ге  тең 
болмаса  және  берілген  функция  тұрақты  болмаса,  онда  мұндай  функциялар  класында 
Риман–Лиувилл  және  Капуто  мағыналарындағы  бӛлшек  ретті  дифференциалдау 
операторлары  бір-біріне  ұқсас  қасиеттерге  ие  болатынын  аңғарамыз.  Яғни,  осы 
қасиеттерге ие функциялар класында екі оператор бір біріне сәйкес келеді. 
Қорытынды. Мақалада келтірілген барлық дәйектемелерді есепке алып,  бӛлшек 
ретті  есептеулер  курсын  жоғарғы  оқу  орны  және  жоғарғы  оқу  орнынан  кейінгі  білім 
беру  ұйымдары  математика  және  механика  салалары  бойынша  білім  алушыларына 
арнайы  курс  ретінде  оқыту  мәселесі  Еуропа  мен  АҚШ-тың  кӛптеген  белгілі  білім 
ордаларында  тәжірибеден  ӛткенділігін  және  оны  оқытудың  қазіргі  заманауи  ғылыми 
прогрес тұрғысынан ӛзектілігін аңғарамыз.  
 
 
1.
 
Oldham,  K.  B.  and  Spanier,  J.,  The  Fractional  Calculus:  Theory  and  Application  of 
Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press, New York, 1974. 
2.
 
Нахушев  А.М.  Элементы  дробного  исчисления  и  их  применения.  Нальчик.  2000.-
298с. 
 
 
 
УДК: 519.62/.64, 519.688, 519.633.6 
Б.Б. Шолпанбаев
1
, Б.Д. Сыдыков
1
, А.Л. Карчевский
2 
 
ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ПОСТАНОВКИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 
ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ С ЦЕЛЬЮ УМЕНЬШЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЕЁ СЧЁТА 
ОПТИМИЗАЦИОННЫМ МЕТОДОМ 
 
 (
1
г. Алматы, КазНПУ имени Абая, 
2
Новосибирск, Институт математики им.Соболева СО РАН) 
 
Бұл  мақалада  дәстүрлi  кері  есептің  қойылымын  түрлендіру  мысалы  және  оның 
ұтымдылық  әдiспен  шешілуі  келтірілген.  Тәсiлдеменiң  мәнi  электрлік  барлау  керi 
есебінің  қойылуында  кӛрсетілген.  Параллель  есептеудің  мүмкіндіктерін  қолдану 
арқылы  кері  есепті  сандық  шешу  уақытын  шамамен  екі  есеге  азайтуга  болатыны 
корсетілген, ӛйткені кері және Түйіндес есептерді параллель есептеуге болады.  
В  работе  представлен  пример  переформулировки  традиционной  постановки 
обратной  задачи,  которая  решается  оптимизационным  методом.  Суть  подхода 
продемонстрирована  на  постановке  обратной  задачи  электроразведки.  Показано,  что 
использование  возможности  параллельных  вычислений  может  позволить  сократить 
время численного решения обратной задачи примерно в два раза, поскольку прямая и 
сопряжѐнная задачи могут решаться параллельно.    
In  this  article  we  presents example  of    reformulation of  the traditional inverse  problem, 
which  is  solved  by  optimization  method.  Essence  of this  approach  demonstrated  by  on  the 
inverse  problem  electroinvestigation.  It  is  shown  that  the  use  of  parallel  computing  can 
reduce  the  time  of  the  numerical  solution  of  the  inverse  problem  approximately  twice, 
because direct and adjoint problems can be solved in parallel.  
 
Түйін  сөздер:  электрлік  барлау  кері  есебі,  квази  тұрақты  жуықтау,  ұтымдылық  әдiс, 
Түйіндес есеп, қиыспаушылық функционалы. 

167 
 
Ключевые  слова:  обратная  задача  электроразведки,  квазистационарное  приближение, 
оптимизационный метод, сопряжѐнная задача, функционал невязки.     
Keywords:  inverse  problem  electroinvestigation,  quasistationary  approximation,  optimization 
method, the adjoint problem, residual functional. 
 
Введение 
На  практике  достаточно  часто  обратные  задачи  решаются  при  помощи 
оптимизационного метода. Градиент функционала невязки ищѐтся с помощью решения 
сопряжѐнной задачи (см., например, [1]). Вычислительная сложность данного подхода 
заключается  в  том,  что  вычисление  градиента  функционала  невязки  требует  решений 
прямой  и  сопряжѐнной  задач,  причѐм  сопряжѐнная  задача  может  решаться  только 
после  того,  как  найдено  решение  прямой  задачи.  Т.о.,  затрачивается  определѐнное 
количество времени на одну итерацию минимизационного процесса. 
В  данной  работе  предложено  переформулирование  исходной  постановки 
обратной  задачи,  которое  позволяет  искать  решения  прямой  и  сопряжѐнной  задач 
параллельно,  что,  естественно,  сокращает  время  вычислений.  На  примере  обратной 
задачи  электроразведки  покажем,  что  может  быть  достигнут  практически  двукратный 
выигрыш по времени вычислений для одной итерации минимизации, а, следовательно, 
и для решения обратной задачи в целом. 
Идея  предлагаемого  подхода  была  предложена  в  работе  [2],  она  родственна 
математической технике построения оператора чувствиетльности (см., например, [3,4]) 
и  способу  получения  градиента  функционала  невязки  (см.,  например,  [1]),  однако  в 
этих работах проблема сокращения времени счѐта не ставилась. 
1. Прямая и обратная задача подповерхностной электроразведки 
Будем  считать,  что  электромагнитные  свойства  среды  зависят  только  от  глубины. 
Пусть  источником  стороннего  тока  является  кабель,  расположенный  на  поверхности 
земли 
0
=
=
0
z
z
.  Действие  источника  в  зависимости  от  времени  задаѐтся  функцией 
)
(t
f
,  считаем,  что  еѐ  спектр  отличен  от  нуля  в  интервале 
]
,
[


 и 





0
 (


0
 - 
деэлектрическая  проницаемость  и 

 -  проводимость  среды, 
12
0
10
8.854
=



 Ф/м).  В 
таком  случае  имеет  место  квазистационарное  приближение,  т.е.  считается,  что  токи 
смещения  пренебрежимо  малы  по  сравнению  с  токами  проводимости,  формально 
можно  положить 
0
=

.  Тогда  из  уравнений  Максвелла  для  компоненты 
)
,
,
(
2
z
x
t
E
 
может  быть  получено  дифференциальное  уравнение  второго  порядка  (см.,  например, 
[4]):  
 
.
1
=
2
2
2
2
2
2
0
2













z
E
x
E
t
E


 
Здесь 
7
0
10
4
=




 Г/м - магнитная проницаемость среды. 
Поскольку по предположению коэффициент 

 является функцией только переменой 
z
,  можем  применить  преобразование  Фурье  по  горизонтальной  переменной  x  и 
получить следующее уравнение:  
.
=
2
0
u
u
u
zz
t




 
(1) 
 Будем  считать,  что  на  поверхности,  где  лежит  кабель,  имеют  место  следующие 
условия:  
).
(
=
]
[
0,
=
]
[
0
0
0
t
f
u
u
z
z
z

 
(2) 
 В начальный момент времени считаем, что среда находилась в покое  
0.
=
|
0
=
t
u
 
(3) 
Постановка (1)-(3) является прямой задачей. 

168 
 
В  воздухе  (
0
< z
z
) 
0
=

.  Так  же  будем  считать,  что  ниже  глубины 
s
z  проводимость 
среды известна и равна 
0

. Считаем, что 
0
0)
(
0


z

 и 
C


 для 
)
,
[
0


z
z
. 
  Обратная  задача  1:  Необходимо  определить  проводимость 
)
(z

, 
]
,
[
0
s
z
z
z

,  если  о 
решении прямой задачи (1)-(3)  известна дополнительная информация  
].
[0,
),
(
=
)
(0,
T
t
t
g
t
u

 
(4) 
Заметим,  поскольку  проводимость 

 для 
)
,
(
0
z
z


 и 
)
,
(


s
z
z
 известна,  можно 
ограничиться  решением  прямой  задачи  на  отрезке 
]
,
[
0
s
z
z
,  поставив  в  точках 
0
z  и 
s
z  
следующие краевые условия:  
),
(
=
)
,
(
)
,
(
0
0
0
t
f
t
z
u
t
z
u
z



 
(5) 
 
0
0
2
0
0
0
e
1
=
)
(
0,
=
)
,
(
d
)
,
(
)
(









t
t
t
k
t
z
u
z
u
t
k
s
s
x
t




                      (6) 
 (вывод данных условий дан в Приложении). 
Обратная  задача  (1),  (3)-(6)  может  решаться  при  помощи  минимизации  функционала 
невязки  
.
)]
(
)
(0,
[
=
]
[
2
0
dt
t
g
t
u
J
T



 
(7) 
 Минимизация  может  осуществляться  при  помощи  какого-либо  градиентного  метода, 
следовательно,  необходимо  получить  градиент  функционала  невязки.  Данная  техника 
является  хорошо  известной  (см.,  например,  [1]),  поэтому  ниже  промежуточные 
результаты еѐ применения будем опускать и приводить окончательные выражения. 
2. Первый подход: традиционный путь решения 
Рассмотрим постановку обратной задачи (1), (3)-(6)  и функционал невязки (7). 
Следуя  [1],  для  постановки  прямой  задачи  (1),  (3),  (5),  (6),  нетрудно  получить 
постановку сопряжѐнной задачи  
,
=
2
0






zz
t
  
(8) 
0,
=
)
,
(
d
)
,
(
)
(
)),
(
)
(0,
2(
=
)
,
(
)
,
(
0
0
t
z
z
t
k
t
g
t
u
t
z
t
z
s
s
x
T
t
z












          (9) 
0,
=
|
=T
t

 
(10) 
 с  помощью  которой  градиент  функционала  невязки  (7)  может  быть  получен  в 
следующем виде:  






d
x
x
u
x
J
t
T
)
,
(
)
,
(
=
)
](
[
0
0


 
(11) 
Оптмизационный  подход  для  решения  обратной  задачи  1  подразумевает,  что  для 
поиска  минимума  функционала  невязки  (7)    каждая  итерация  минимизационного 
процесса требует выполнения трѐх основных шагов:  
шаг 1:  решение прямой задачи (1), (3), (5), (6);  
шаг 2:  решение сопряжѐнной задачи (8)-(10);  
шаг 3:  вычисление градиента (11).  
Необходимо  отметить,  шаг  2  не  может  быть  сделан  параллельно  с  шагом  1, 
поскольку в постановке сопряжѐнной задачи (8)-(10) участвует функция 
)
(0,t
u
, которая 
может  быть  получена  только  после  выполнения  шага  1.  Решение  прямой  и 
сопряжѐнной задач требует примерно одинакового времени вычислений. 
 

169 
 
3. Второй подход: преобразование постановки обратной задачи 
Рассмотрим следующие постановки прямых задач:  
,
=
2
0
v
v
v
zz
t





 
(12) 
0,
=
)
,
(
d
)
,
(
)
(
),
(
=
)
,
(
)
,
(
0
0
t
z
v
z
v
t
k
t
t
z
v
t
z
v
s
s
x
T
t
k
z









                       (13) 
0
=
|
=T
t
v
. 
 (14) 
Дифференциальный  оператор  уравнения  (12)  является  сопряжѐнным  по 
отношению  к  дифференциальному  оператору  в  (1),  функции 
)
(t
k

 (
0,1,2...
=
k
) 
определим позже. 
Чтобы  подчеркнуть  зависимость  функции 
)
,
( t
x
v
 от  номера 
k
,  там  где  это 
нужно, будем писать 
)
;
,
(
k
t
x
v
. 
Проинтегрируем тождество  
 
,
)
(
)
(
0
2
0
0
0
2
0
0
0










d
d
u
v
v
v
z
d
d
v
u
u
u
z
xx
t
T
s
z
xx
t
T
s
z











 
откуда с учѐтом условий (2), (3), (5), (6) и (13), (14) получаем равенство  
.
)
(
)
(
=
,
=
)
(
)
;
(0,
0
0







d
g
g
g
d
f
k
v
k
T
k
k
T


                              (15) 
Поскольку  выбор  функции 
)
(t
k

 в  наших  руках,  то  величины 
k
g  в  (15)  могут 
быть  вычислены  заранее.  В  качестве  функций 
)
(t
k

 можно  выбрать  какие-либо 
базисные  функции  на  интервале 
]
[0,T ,  например, 
)
/
(
cos
T
t
k

.  Тогда 
k
g
 -  это 
коэффициент разложения функции 
)
(t
g
 в ряд Фурье на интервале 
]
[0,T . 
Т.о., имеем серию постановок прямых задач (12)-(14) и соотношения (15) 
(
0,1,...
=
k
), следовательно, можем сформулировать:  
  Обратная  задача  2:  Найти  неизвестную  функцию 
)
(x

,  если  о  решении 
прямых задач (12)-(14) известна дополнительная информация (15). 
Обратная  задача  (12)-(15)  численно  может  быть  решена  при  помощи 
минимизации функционала невязки  
.
)
(
)
;
(0,
=
]
[
2
0










k
T
k
g
d
f
k
v




  
 
 
(16) 
Для  того  чтобы  найти  градиент  функционала  невязки  (16),  воспользуемся 
хорошо известной техникой [1]. Получим  
,
)
;
,
(
)
;
,
(
=
)
](
[
0
0















d
k
x
w
k
x
v
x
t
T
k
                   (17) 
 где функции 
)
;
,
(
k
t
x
w
 есть решения сопряжѐнных задач  
0.
=
,0)
(
0,
=
)
,
(
d
)
,
(
)
(
,
)
(
)
;
(0,
)
(
2
=
)
,
(
)
,
(
,
=
0
0
0
0
0
2
0
x
w
t
z
w
z
w
t
k
g
d
f
k
v
t
f
t
z
w
t
z
w
w
w
w
s
s
x
t
k
T
z
xx
t
























Нетрудно видеть, что функция 
)
;
,
(
k
t
x
w
 может быть представлена в виде  

170 
 
 
),
,
(
)
(
)
;
(0,
2
=
)
;
,
(
0
t
x
u
g
d
f
k
v
k
t
x
w
k
T












 
где 
)
,
( t
x
u
 есть решение прямой задачи (1), (3), (5), (6). 
Следовательно,  градиент  функционала  невязки  (16)  можно  записать  в 
следующей форме:  
,
)
,
(
)
,
(
=
)
](
[
0
0




d
x
u
x
V
x
q
t
T



 
(18) 
где  
).
;
,
(
)
(
)
;
(0,
2
=
)
,
(
0
k
t
x
v
g
d
f
k
v
t
x
V
k
T
k












 
4. Следствия из результатов преобразования 
Функции 
)
(t
k

 могут  быть  выбраны  как  базисные  функции  (не  обязательно 
)
/
(
cos
=
)
(
T
t
k
t
k


, можно выбрать, например, полиномы Чебышева)
 
 
на отрезке 
]
[0,T . 
Т.е.,  имеем  дело  с  разложением  функции 
)
(t
g
 в  ряд  Фурье.  При  численном  решении 
данный ряд Фурье может быть оборван. Этому могут послужить следующие причины: 

 
Первые  члены  ряда  Фурье  могут  с  достаточно  хорошей  точностью 
описывать поведение функции 
)
(t
g
.  

 
При увеличении порядкового номера коэффициент Фурье стремится к нулю. 
Следовательно,  вариации  коэффициентов  с  большими  порядковыми  номерами 
практически не оказывают влияния на поведение функционала невязки (16).  

 
На  практике  функция 
)
(t
g
 известна  с  некоторой  ошибкой.  Как  правило, 
шум 
имеет 
высокочастотную 
составляющую, 
поэтому 
коэффициенты, 
соответствующие  высокочастотным  гармоникам,  вычисляются  с  большой  ошибкой, 
значительно  б î

льшей,  чем  первые  коэффициенты  ряда.  Следовательно,  они  уже  не 
несут информации о поведении функции 
)
(t
g
.  
Т.о., для численного решения обратной задачи 2 можем ограничиться конечным 
набором  функций 
)
(t
k

 (
N
k
0,
=
).  Количество  членов  ряда  Фурье 
N
 может 
выбираться из условия  
 
,
=
)
(
)
(
2
2
1
=
0


dt
t
g
t
g
k
k
N
k
T









 
где 

 - уровень ошибки, с которой измерены значения функции 
)
(t
g
. 
Возможности  современных  языков  программирования  и  компьютеров 
позволяют параллельно вычислить 
)
0,
=
(
)
;
,
(
N
k
k
t
x
v
 и 
)
,
( t
x
u
. Следовательно, чтобы 
сделать  одну  итерацию  минимизации  функционала  невязки  (16)  необходимо  сделать 
два основных шага: 
шаг  1:    решение  прямых  задач  (12)-(14) 
)
0,
=
(
)
;
,
(
N
k
k
t
x
v
,  решение  прямой 
задачи (1), (3), (5), (6) 
)
,
( t
x
u
;  
шаг 2:  вычисление градиента (18).  
Шаги  1  и  3  в  случае  решения  обратной  задачи  1  и  шаги  1-2  в  случае  решения 
обратной  задачи  2  потребуют  одинакового  времени  вычислений,  следовательно,  мы 
получаем  примерно  двукратный  выигрыш  по  времени  счѐта  для  реализации  одной 
итерации минимизационного процесса. 
Вывод 

171 
 
В  работе  продемонстрирована  суть  переформулировки  постановки  обратной 
задачи  электроразведки  в  квазистационарном  приближении  при  решении  еѐ 
оптимизационным  методом  в  пространственно-временной  области.  Показано, 
использование  возможности  параллельных  вычислений  может  позволить  сократить 
время численного решения обратной задачи практически в два раза, поскольку прямая 
и сопряжѐнная задачи могут решаться параллельно. 
 
Приложение 
Будем  формально  считать,  что 

=
T
.  Будем  следовать  идеям,  изложенным  в 
работах  [5]-[14].  Применим  к  функции 
)
,
( t
x
u
 преобразование  Лапласа  по  временной 
переменной  t .  Из  (1)  будет  следовать,  что  образ  Лапласа 
)
(
~ z
u
 будет  удовлетворять 
дифференциальному уравеннию  
 
0,
=
~
~
2
u
r
u
zz

 
где  
 
).
,
(
,
=
),
,
(
,
=
2
0
0
2
0
2
2





s
z
z
p
r
z
z
r




 
Решение данного уравнения имеет вид  
 
0.
>
}
{
R
,
e
e
=
)
(
~
2
1
r
e
c
c
z
u
rz
rz


 
При стремлении 


z
 решение должно стремиться к нулю, тогда  
 
,
e
=
)
(
~
1
z
c
z
u

 
откуда  
 
).
,
(
,
~
=
~
0
z
z
u
u
z



 
Условия  склейки  (2)  позволяют  в  точке 
0
=
0

z
z
 получить  следующее 
соотношение  
 
),
(
~
=
0
|
)
~
~
(
0
0
=
p
f
u
u
z
z
z




 
где 
)
(
~
p
f
 -  образ  Лапласа  функции 
)
(t
f
.  Применяя  обратное  преобразование 
Лапласа, получим следующее краевое условие  
 
).
(
=
)
,
(
)
,
(
0
0
0
t
f
t
z
u
t
z
u
z



 
Поступая аналогичным образом для 
)
,
(


s
z
z
, получим  
 
,
e
=
)
(
~
2
0
0
2
z
c
z
u
p





 
откуда следует соотношение  
 
0.
=
~
~
1
2
0
0
u
u
p
z





 
В  точке 
s
z
z =
,  непрерывности 

 в  окрестности  точки 
s
z  и  непрерывности 
тангенсальных  компонент  электромагнитного  поля,  из  системы  Максвелла  следуют 
условия  
 
0,
=
]
~
[
0,
=
]
~
[
s
z
z
s
z
u
u
 
которые позволяют получить в точке 
0
=

s
z
z
 следущее соотношение  
 
0.
=
0
~
~
1
=
2
0
0











s
z
z
z
u
u
p



 
Применяя  обратное  преобразование  Лапласа,  получим  следующее  краевое 
условие  

172 
 
 
.
e
1
=
)
(
0,
=
)
,
(
d
)
,
(
)
(
0
0
2
0
0
0
t
t
t
k
t
z
u
z
u
t
k
s
s
x
t













 
Наша благодарность 
Работа поддержана грантом МОН РК № 95 от 04.02.2013, грантом РФФИ 12-01-
00773-а, интеграционным проектом СО РАН 14 (2012), совместным проектом СО РАН 
и НАН Украины 12 (2013). 
 
 
1. Васильев Ф.П.,  Методы решения экстремальных задач, Москва, Наука, 1981. 
2.  Karchevsky  A.L.,  A  new  formulation  of  the  inverse  problem  statement  that  reduces 
computational costs // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2013, 
v. 1, n. 2, p. 5-20. 
3.  Пененко  А.В.,  О  решении  обратной  коэффициентной  задачи  теплопроводности 
методом  проекции  градиента  //  Сибирские  электронные  математические  известия, 
2010, № 7, с. 178-C.198 (http://semr.math.nsc.ru/v7/1-394.pdf). 
4.  Хайруллин  М.Х.,  Хисамов  Р.С.,  Шамсиев  М.Н.,  Фархуллин  Р.Г.,    Интерпретация 
результатов  гидродинамических  исследований  скважин  методами  регуляризации, 
Москва-Ижевск,  НИЦ  ''Регулярная  и  хаотическая  динамика'',  Институт 
компьютерных исследований, 2006. 
5.  Романов  В.Г.,  Кабанихин  С.И.,    Обратные  задачи  геоэлектрики,  Москва,  Наука, 
1991. 
6.  Oristaglio  M.,  Hohmann  G.,  Diffusion  of  electromagnetic  fields  into  a  two  dimensional 
earth: A finite difference approach // GEOPHYSICS, 1984, v. 49, n. 7, p. 870–894. 
7.  Искаков  К.Т.,  Карчевский  А.Л.,  Алгоритмы  распараллеливания  для  решения 
обратной задачи акустики // Вестник ЕНУ имени Л.Н. Гумилева, 2013, № 6, c. 181-
186. 
8. Карчевский А.Л., Искаков К.Т., Оралбекова Ж.О. Обратная задача геоэлектрики для 
горизонтально-слоистых  сред  //  Совместный  выпуск  Вестника  Восточно-
Казахстанского  государственного  технического  университета  им.  Д.  Серикбаева  и 
журнала  Вычислительные  технологии,  том:  Вычислительная  математика,  2013,  с. 
181-186. 
9.  Искаков  К.Т.,  Шолпанбаев  Б.Б.  Дискретный  аналог  оптимизационного  метода  для 
решения  двумерной  обратной  задачи  геоэлектрики.  //  Вестник  КазНПУ  им.Абая, 
серия «Физико-математические науки», №1, 2012г. 
10.  Искаков  К.Т.,  Оралбекова  Ж.О.,  Дискретный  аналог  оптимизационного  метода 
решения  обратной  задачи  для  параболического  уравнения.  //  Вестник  КарГУ  им. 
Е.А.Букетова, серия математика, Караганда, 2010, № 2, 2010, c. 56-59. 
11.  Искаков  К.Т.,  Шолпанбаев  Б.Б.  Bосстановление  граничного  условия  для 
двухмерного уравнения геоэлектрики. // Вестник КазНПУ им.Абая, серия «Физико-
математические науки», №1, 2012г.  
12.  Искаков  К.Т.,  Оралбекова  Ж.О., Технология  построения  сопряжено-согласованных 
разностных  схем  для  оптимизационного  метода  //  Вестник  ЕНУ  им.Л.Н.Гумилева. 
Астана, 2012, № 4, c. 66-72. 
13. Оралбекова Ж.О., Консервативные разностные схемы в оптимизационном методе. // 
Вестник КазПНУ им. Абая, 2013, № 2, с. 148-153. 
14. Искаков К.Т., Оралбекова Ж.О., Оптимизационный метод решения обратной задачи 
для  волнового  уравнения.  //  Вестник  КарГУ  им.  Е.А.Букетова,  серия  математика, 
2013, № 3, с. 43-48.