Абай атындағы

 
25 
 
.
b
 
 
r
r
r
r
b
a
a



                                 
                         (5) 
(5). теңдігі  


b
a,  векторларының коллинеарлығын кӛрсетеді, яғни олардың 
сәйкес координаталары пропорционал болады: 
1
1
y
x
2
2



x
y
немесе  
(6)
        
          
          
          
          
.
1
1
2
2



y
y
x
x
 
 
1
2


x
x
x
f
  функциясы 


1
 ,


  және 


 
,
1

  аралықтарда  ӛспелі  екенін 
байқаймыз,  онда  (6)  теңдіктен 
y
x

    болатынын  аламыз.  Бұл  жағдайда  анықталу 
жиынын ескеріп, жүйенің екінші теңдеу  
2
3


y
x
 
түрге келеді.  
Сонымен,   






2
3
;
2
3
жұбы – берілген теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі 
болатынын тексеру қиындық туғызбайды.  
14 –есеп.  Теңдеулер жүйесін шешу.  










.
3
2
,
1
4
9
36
3
2
6
4
2
z
y
x
z
y
x
 
Шешуі.  Берілген теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай векторларды 
қарастырайық:  








2
1
;
3
1
;
6
1
y
 
;
2
;
3
;
6
3
2
z
y
x
x
ұзындықтарын табамыз.   
;
4
1
9
1
36
1
y
 
,
4
9
36
6
4
2






z
y
x
x
 
;
3
2
6
4
6
14
1
4
1
9
1
36
1
4
9
36
6
4
2
3
2
3
2
















z
y
x
z
y
x
z
y
x
xy
 
Ал,   
y
x
y
x



болғандықтан жүйенің шешімі болмайды.  
Осы  тәрізді  вектор  әдісі  арқылы  шығарылатын  бірнеше  мысалдар  келтіруге 
болады. 
Күрделі иррационал теңдеуді вектордың кӛмегімен шешуге болады.  
15 –есеп.  
2
1
2
3
1
1
x
x
x
x







теңдеуін қарастырайық. 
Шешуі. 
 
1
;
x
p
r
және   


.
x
-
3
 
;
1
x
q
p

Осы  вектолардың  скаляр  кӛбейтіндісі 
,
3
1
1
x
x
x
g
p









 
ал 
модульдерінің 
кӛбейтіндісі 
q
p
q
x
x
x
x
q
p












p
 
;
1
2
3
1
1
2
2
  анықтама  бойынша  векторлар 
коллинеар (бағыттас) болады.  
 


2
1
  x
;
2
1
  x
;
1
x
  
0
1
2
1
-
x
 
 ;
0
1
3
 x
;
3
1
1
3
2
1
2
2
3

















x
x
x
x
x
x
x
 
Жоғарыда  кӛрсетілгендей,  мектеп  математикасын  векторлық  негізде  оқыту-таза 
әдістемелік  сұрақ.  Бұл  сұрақтың  шешімі  –  математика  мен  басқа  ғылымдардағы 
вектордың  рӛлін  түсіну,  яғни  вектор  геометрияны  алгебралауға,  ал  алгебраны 
геометриялауға мүмкіндік беретінін ұғыну. 

 
26 
Сондықтан болашақ мұғалімдер үшін мектеп бағдарламасындағы және одан тыс 
математиканың негізгі бӛлімдерін игеруі олардың кәсіби іс-әрекетінің жоғары болуын 
қамтамасыз етеді.  Әсіресе, математика мұғалімдері үшін есептеу дағдысы мен есептеу 
мәдениетін,  теориялық  білген  білімдерін  есеп  шығаруда  қолдана  білуді  және  есеп 
шығардың әртүрлі әдіс-тәсілдерін игеріп, тиімді пайдалана білуді, меңгерудің маңызы 
зор. Себебі, Н.Лобачевский сӛзімен, «Математика – бұл нақты ғылымдардың сӛйлейтін 
тілі». 
 
 
1.
 
Асқарова М.А. Векторлар және оларға амалдар қолдану. Алматы, «Мектеп», 1981. 
2.
 
Асқарова М.А. Математика есептерін шешу практикумы. Геометрия. Оқу құралы. 
1,2 бӛлім. Алматы. Абай атындағы ҚазҰПУ, 2009.        
 
 
 
УДК 517.948.34 
Н. Атахан*, М.К. Дауылбаев 
 
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 
ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
 
(г. Алматы, КазНУ имени аль-Фараби, * - магистрант) 
 
Жұмыс  Фредгольмнің  интегралдық  операторы  бар  кез-келген  ретті  сызықты 
интегралды  дифференциалдық  теңдеуге  арналған  шекаралық  есеп  шешімінің  кіші 
параметр  бойынша  асимптотикалық  сипатын  сапалы  түрде  зерттеуге  арналған. 
Сингулярлы ауытқыған біртекті дифференциалдық теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі, 
бастапқы  және  шекаралық  функциялары  құрылды.  Бастапқы  және  шекаралық 
функциялардың  кӛмегімен  шешімінің  айқын  аналитикалық  формуласы  алынды. 
Берілген шекаралық есептің асимптотикалық бағалауы алынды. 
Работа  посвящена  качественному  исследованию  асимптотического  по  малому 
параметру  поведения  решений  краевой  задачи  для  линейных  интегро-
дифференциальных  уравнений  произвольного  порядка  с  интегральным  оператором 
типа  Фредгольма.  Для  сингулярно  возмущенного  однородного  дифференциального 
уравнения  построены  фундаментальная  система  решений,  начальные  и  граничные 
функции.  С  помощью  начальных  и  граничных  функции  получены  явная 
аналитическая  формула  решений.  Получены  асимптотические  оценки  решений 
исходной краевой задачи.  
The  work is  dedicated  to quality research in  the  small  parameter of  the  asymptotic 
behavior  of  solutions  of boundary-value  problem for  linear integro-differential  equations  of 
arbitrary  order  with an  integral  operator of  Fredholm  type. For a  singularly  perturbed 
homogeneous differential equation constructed a fundamental system of solutions, the initial 
and  boundary functions. With initial and  boundary functions  are  obtained explicit  analytical 
formula solutions. Asymptotic estimates of solutions of initial boundary value problem. 
 
 
Рассмотрим на отрезке 
 
1
,
0
 следующее линейное сингулярно возмущенное 
интегро-дифференциальное уравнение: 










1
0
1
0
)
(
)
1
(
1
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
...
)
(
n
i
i
i
n
n
n
dx
x
y
x
t
H
t
F
y
t
A
y
t
A
y
y
L



   
(1) 
с краевыми условиями: 

 
27 
 
,
,
,
1
,
)
,
1
(
     
          
          
          
          
          
          
          
,
,
1
,
,
0
1
0
)
(
1
0
)
(


























p
i
b
y
y
h
n
p
l
l
i
a
y
y
h
i
i
n
j
j
ij
i
l
i
i
n
j
j
ij
i




   
 
 
 
(2) 
где


0

малый параметр, 
p
i
b
l
i
a
i
i
,
1
,
 
;
 
,
1
,


 - некоторые известные постоянные, не 
зависящие от 

. 
Предположим выполнение следующих условий: 
I.
 
n
i
t
F
t
A
i
,
1
,
)
(
),
(

 являются достаточно гладкими на отрезке 


0

 
 
1
,
0
. 
II.
 
1
0
,
0
)
(
1





t
const
t
A

. 
III.
 
1
,
0
,
)
,
(


n
i
x
t
H
i
- достаточно гладкие в области 
)
1
0
,
1
0
(





x
t
D
.
 
IV.
 
0
2
,
1


n

 
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее 
уравнению (1): 
0
)
(
...
)
(
)
1
(
1
)
(






y
t
A
y
t
A
y
y
L
n
n
n


                                          
(3) 
 
 
Лемма 1. Пусть выполнены условия I, II. Тогда для фундаментальной системы 
решений 
n
i
t
y
i
,
1
),
,
(


 сингулярно возмущенного однородного уравнения 
0

y
L

 
справедливы следующие асимптотические при  
0


 представления: 


























,
1
,
0
)),
(
)
(
)
(
(
)
(
1
exp
1
)
,
(
,
1
,
0
,
1
,
1
),
(
)
(
)
,
(
0
0
)
(
)
(
0
)
(
n
j
O
t
y
t
dx
x
t
y
n
j
n
i
O
t
y
t
y
n
i
t
j
j
n
j
i
j
i








   
 
     (4)
 
где 
0
)
(
)
(
1



t
A
t

, 
1
,
1
),
(
0


n
i
t
y
i
 
является решением задачи 
0
)
(
...
)
(
0
)
1
(
0
1
0
0





i
n
n
i
i
y
t
A
y
t
A
y
L
,  








1
,
0
1
,
1
)
0
(
)
(
i
j
i
j
y
j
io
2
,
1

i
,
1
,
0

j
,















t
n
n
dx
x
A
x
A
t
A
A
t
y
0
1
2
1
1
1
0
)
(
)
(
exp
)
(
)
0
(
)
(
. 
 
Функцию 
)
,
,
(

s
t
K
 
при 
1
0



t
s
, являющуюся решением задачи 
,
0
)
,
,
(



s
t
K
L
1
)
,
,
(
,
2
,
0
,
0
)
,
,
(
)
1
(
)
(







s
s
K
n
j
s
s
K
n
j
  
   
(5) 
назовем функцией Коши. Она представима в виде [1]:
 
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(



s
W
s
t
W
s
t
K

, 
где   
)
,
(

s
W
 
- 
вронскиан, 
составленный 
из 
фундаментальной 
системы 
решений  
)
,
(
),
,
(
),
,
(
3
2
1



s
y
s
y
s
y
уравнения  (3),  а 
)
,
,
(

s
t
W
-определитель,  полученный  из 
)
,
(

s
W
 
заменой его i-ой строки на 
)
,
(
),
,
(
),
,
(
3
2
1



s
y
s
y
s
y
. Для функции Коши справедливы при 
1
0



t
s
следующие оценки: 


С
s
t
K
j

)
,
,
(
)
(
, 
2
,
0


n
j
, 





















)
(
exp
)
,
,
(
)
1
(
s
t
С
s
t
K
n
 
 
 (6) 
 
Функции 
n
k
t
k
,
1
),
,
(



 называются граничными функциями краевой задачи (1), 
(2), если они являются решениями следующей задачи 

 
28 










n
i
t
h
n
k
t
L
ik
k
i
k
,
1
,
)
,
(
,
,
1
,
0
)
,
(




 
Рассмотрим  определитель  
   
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
...
...
...
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
...
...
...
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1










t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
t
y
h
n
n
n
n
n
n
l
n
l
l
n
n





      
 
(7) 
Для определителя (7) с учетом (2), (4) получим следующее асимптотическое 
представление 


)
(
)
0
(
)
1
(
)
(
10
2
,
1
2
2
1





O
n
n
n
n









,  
 
 
(8) 
где  
0
,
1
10
...
...
...
0
,
1
2
10
2
10
...
...




n
n
n
n
y
h
y
h
y
h
y
h
 
 
Пусть 
 
V. 
0
10


   
 
Лемма 2. Пусть выполнены условия I-V. Тогда граничные функции 
n
k
t
k
,
1
),
,
(



 на отрезке [0,1] существуют, единственны и выражаются формулой: 
,
,
1
,
)
(
)
,
(
)
,
(
n
k
t
t
k
k








   
 
 
 
 
(9) 
где 
)
,
(

t
k

- определитель, полученный из 
)
(


 заменой 
k
- ой строки  
фундаментальной системой решений 
)
,
(
),...,
,
(
1


t
y
t
y
n
 уравнения 
0

y
L

. Из (9) для 
граничных функции 
n
k
t
k
,
1
),
,
(



 с учетом (4), (8) получаем следующие 
асимптотические при 
0


 представления: 





















t
n
n
j
n
j
n
j
n
n
j
dx
x
t
t
y
t
t
0
2
,
1
2
0
2
10
)
(
21
2
,
1
3
,
2
)
(
1
)
(
1
exp
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
0
(
)
,
(












 
1
,
0
,
)
(
1
exp
0
1























n
j
dx
x
O
t
j
n




 
 
 
 
   (10) 


























t
k
n
n
j
n
j
n
k
j
k
j
k
dx
x
t
t
y
t
t
0
10
0
2
,
1
2
0
2
1
10
)
(
1
,
1
)
(
)
(
1
exp
)
0
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
,
(








n
k
n
j
dx
x
O
t
j
n
,
2
;
1
,
0
,
)
(
1
exp
0
1




























 
Для граничных функций 
n
k
t
j
k
,
1
),
,
(
)
(



  с помощью (10) имеем следующие 
асимптотические при 
0


 оценки: 
1
,
0
,
exp
)
,
(
2
)
(
1



















n
j
t
C
t
j
n
j





, 
 
 
(11) 
,
exp
1
)
,
(
2
)
(





















t
C
t
j
n
j
k
n
k
n
j
,
2
;
1
,
0



 

 
29 
 
 
Решение задачи (1), (2) будем искать в виде [2]: 
 







t
n
n
ds
s
z
s
t
K
t
С
t
С
t
y
0
1
1
)
,
(
)
,
,
(
1
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(






 ,        (12) 
где 
n
i
C
i
,
1
,

 
неизвестные  постоянные,  а 

)
,
(

t
z
неизвестная  функция, 
определяемая из следующего интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода: 






1
0
1
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
ds
s
z
s
t
H
t
C
t
F
t
z
k
n
k
k





.                  (13)
 
Здесь    
n
k
dx
x
x
t
H
t
i
k
n
i
i
k
,
1
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
1
0
1
0









, 
 
 
 




1
1
0
)
(
)
,
,
(
)
,
(
1
)
,
,
(
s
n
i
i
i
dx
s
x
K
x
t
H
s
t
H



   
 
 
(14) 
 
Пусть 
VI. Число 
1


 не является собственным значением ядра 
)
,
,
(

s
t
H
. 
Тогда интегральное урванение (13) имеет единственное решение, представимое в виде: 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1




t
C
t
F
t
z
k
n
k
k




,            
 
 
   (15) 
где 



1
0
)
(
)
,
,
(
)
(
)
,
(
ds
s
F
s
t
R
t
F
t
F


, 




1
0
,
1
,
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
n
k
ds
s
s
t
R
t
t
k
k
k







,          
 
      (16) 
а 

)
,
,
(

s
t
R
 резольвента ядра 
)
,
,
(

s
t
H
. Поставляя (15) в парвую часть (12)  получим 
решение задачи (1), (2) в виде: 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1



t
P
t
Q
C
t
y
k
n
k
k




,  
 
 
 
(17) 
где 




t
k
k
k
ds
s
s
t
K
t
t
Q
0
)
,
(
)
,
,
(
1
)
,
(
)
,
(






, 


1
0
)
,
(
)
,
,
(
1
)
,
(
ds
s
F
s
t
K
t
P




    
            (18) 
Теперь  определим  неизвестные  постоянные 
k
C
  так,  чтобы  функция 
)
,
(

t
y
, 
определяемая  формулой  (17),  удовлетворяла  краевым  условиям  (2).  Тогда  имеем 
l
i
a
C
i
i
,
1
,


,  а  для  определения 
n
l
i
C
i
,
1
,


  получаем  систему  алгебраических 
уравнений 









































)
(
)
(
))
(
1
(
...
)
(
)
(
...
...
...
...
...
...
),
(
)
(
)
(
...
)
(
))
(
1
(
1
2
2
,
1
1
,
1
1
1
1
1
2
2
,
1
1
1
,
1










p
i
pi
l
i
p
n
pn
l
l
p
l
l
p
i
i
l
i
n
n
l
l
l
l
e
a
d
b
C
d
C
d
C
d
e
a
d
b
C
d
C
d
C
d
(19) 
где 
n
k
p
i
ds
s
s
K
d
i
n
j
k
j
ij
ik
,
1
,
,
1
,
)
(
)
,
,
1
(
)
(
1
0
1
0
)
(



 








, 

 
30 
p
i
ds
s
F
s
K
e
i
n
j
j
ij
i
,
1
,
)
(
)
,
,
1
(
)
(
1
0
1
0
)
(


 







 
Для главного определителя 
)
(


 системы (19) справедливо асимптотическое 
представление 
),
(
)
(




O


где 
pn
l
p
l
p
n
l
l
d
d
d
d
d
d







1
...
...
...
...
...
...
1
2
,
1
,
1
2
,
1
1
,
1

.  
Предположим, что 
 
VII. 
0


 
 
 
 
 
 
   
Тогда справедлива следующая  

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: