Абай атындағы

 
36 
результатов  по  гиперболическим  уравнениям  содержится  в  книгах    А.В.  Бицадзе    [1], 
А.М. Нахушева [2],  М.С. Салахитдинова [3] и других. В большинстве своем, это были 
работы,  посвященные  теоретическим  и  прикладным  аспектом  уравнений 
гиперболического типа второго порядка.   
Задача  Дирихле  для  гиперболического  уравнения  третьего  порядка,  когда  вся 
граница  области  является  характеристической    рассмотренного  уравнения  изучены  в 
работе О.С. Зикирова [4]. 
Локальные задачи для гиперболических уравнений третьего порядка исследовано 
в работе Б.М. Айбекова [5].  
Близкие задачи, рассмотренные в данной работе для гиперболического уравнения 
второго  порядка  в  областях  с  отходом  от  характеристики,  изучены  в  работе 
М.А. Садыбекова  [6],  а  для  параболо-гиперболического  уравнения  в  работе 
М.С. Салахитдинова [7].и А.С. Бердышева [8]. 
Данная  работа  посвящена  изучению  корректности  задачи  типа  Дирихле  для 
гиперболического уравнения третьего порядка.  
Функцию 
 
 


C
y
x
u ,
  называют  регулярным  решением  задачи  D,  если  она 
обладает  непрерывными  производными,  входящими  в  уравнение  (1)  в  области 

  и  в 
этой области удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2), (3). 
Через  W  –  обозначим  множество  функции  из  класса 
 


C
u
u
yyy
xxy
,
 
удовлетворяющих условиям (2), (3).  
Функцию 
 
 


2
,
L
y
x
u
 называют сильным решением задачи D, если существует 
последовательность  функции 
 
W
y
x
u
n

,
  такая,  что 
n
u
  и 
n
Lu
сходятся  в 
 

2
L
 
соответственно к  
 
y
x
u ,
 и 
 
y
x
f
,
.  
Через 
 

l
W
2
  -  обозначим  пространство  С.Л.Соболева  с  нормой 
;
l

 
 
 



2
0
2
L
W
 - пространство квадратично суммируемых в 

 функций.  
Основным результатом работы является следующие теоремы:  
Теорема  1.  Для  любой  функции 
 
 


1
,
C
y
x
f
  существует  единственное 
регулярное решение задачи D и оно удовлетворяет неравенству  
 
 
 
 
 
0
1
f
C
u

 
 
 
 
 
(4) 
и представимо в виде  
 
 
 
 

 

,
,
,
,
,
,
1
1
1
1
1
1



dy
dx
y
x
f
y
x
y
x
K
y
x
u
 
 
 
(5) 
где  








2
1
1
,
,
,
L
y
x
y
x
K
. 
В (4) и в дальнейшем через С будем обозначать положительную постоянную, не 
зависящую от 
 
y
x
u ,
, не обязательно одну и ту же.  
Теорема  2.    Для  любой  функции 
 
 


2
,
L
y
x
f
  существует  единственное 
сильное  решение  задачи  D.  Это  решение  принадлежит  классу 
 
 



1
2
W
C
  и 
удовлетворяет неравенству (4) и может быть представлено в виде (5).  
Доказательство теоремы 1: Нетрудно, установить, что решение уравнения  (1), 
удовлетворяющее условиям (3), в области 

 имеет вид 
 
 









 













 













 

2
0
1
1
1
1
0
1
1
1
,
,
2
4
1
2
1
2
1
2
2
,


















dz
z
f
d
d
u
 
 (6) 
где 
 
,
2
,
2
,
,
,





















u
u
y
x
y
x
 

 
37 
 
x

  -  произвольная    функция  из  класса   
 
1
,
0
3
C
.  Не  ограничивая    общности 
можно предполагать, что функция 
 
x

 удовлетворяет условиями 
0
2
1
2
1

















 
Удовлетворяя в (6) условию (2), имеем  
 
 
 
 









 













 








2
0
1
0
,
2
4
1
2
1
2
1
2










dz
z
f
d
d
t
t
t
t
t
 
 
(7) 
Дифференцируя  (7) дважды получим   
 
 
 
1
0
,
2
1
2
4
1
2
4
1








 











t
t
F
t
t
t



   
 
(8) 
где   
 
dz
z
t
f
d
dz
z
t
f
d
d
t
t
f
d
t
t
f
t
F
t
t
t
t
t
t
t
t





 







 




























,
2
,
2
2
,
2
2
,
2
8
2
0
0
2
0
1
0
1












 (9) 
Лемма 1. Если 
 
)
(
,
1


C
y
x
f
, тогда 
 
1
,
0
)
(
1
C
t
F

 
Доказательство  леммы  1:  В  представлении  функций 
)
(t
F
  в  (9)  преобразуем 
третье и четвертое слагаемые следующим образом. 
 
,
)]
,
2
(
)
,
(
[
2
)
,
2
(
2
2
,
2
2
,
2
,
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0





































 





 








 







 

t
t
z
t
z
t
t
z
t
t
t
t
t
dz
z
t
f
z
z
t
f
dz
z
t
f
t
d
z
t
f
dz
d
z
t
f
dz
dz
z
t
f
d











  (10) 
 

































 














 







 





 








 







 

0
2
1
0
2
1
1
2
1
2
0
2
1
1
2
0
2
1
2
0
1
,
,
2
1
2
,
2
2
2
,
2
2
,
2
,
2
t
t
z
t
z
t
t
z
t
t
t
t
t
dz
z
z
t
f
z
t
f
dz
z
t
f
t
d
z
t
f
dz
d
z
t
f
dz
dz
z
t
f
d











    (11) 
Теперь  из  выражения  (9)  и  с  учетом  вышеприведенных  вычислений,  нетрудно 
установить справедливость леммы 1.  
Лемма 2. Если 
 
 
1
,
0
1
C
t
F

  то существует единственное решение уравнения (8) 
из класса 
 
1
,
0
1
C
 
 Доказательство  леммы  2:  Введем  в  рассмотрение  оператор,  действующий  по 
формуле  
 
 
 
 
 
 











 








2
1
2
2
4
1
t
t
t
A



,  
 
 
(12) 
где  
 
 
 
 
 
)
(
)
(
t
t




 
 
 
 
 
(13) 
Нетрудно убедиться, что  
 








 

1
2
0
2
2
2
1
n
k
n
n
n
k
t
t
A


 
  
 
 
 (14) 
С учетом (12) и (13) уравнение (8) запишем в виде  

 
38 
 
 
 
 
 


 
 
1
0
,




t
t
F
t
A
E

 
 
 
 
(15) 
где Е- тождественный оператор.  
Нетрудно установить, что оператор  
 
 
 
 
 
 





0
1
k
k
A
B
 
 
 
 
 
(16) 
является формально обратным к оператору 
A
E
B


. Поэтому покажем, непрерывность 
оператора 


1
1




A
E
B
 в соответствующем пространстве C[0,1].  
 
Из (14) методом математической индукции, нетрудно установить, что  
 
 
 
 
 
 
 
 
1
,
0
1
0
1
,
0
2
1
max
2
1
C
n
t
n
C
n
t
t
t
A







  
(17) 
Поэтому 
 
 
 
 
 
 
   
.
2
1
1
,
0
1
,
0
n
C
C
n
A


 
 
 
 
(18) 
следовательно, в силу (16) 









0
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
1
2
2
1
1
1
2
1
k
k
C
C
B
 
что и показывает непрерывность оператора 
1

B
 в пространстве 
 
1
,
0
C
. 
Рассмотрим  теперь  уравнение  (15)  в 
 
1
,
0
1
C
.  Очевидно,  что  если 
 
 
1
,
0
1
C
t
F

,  то 
дифференцируя  уравнение  (15),  мы  получим,  аналогичное  уравнение 
)
(t


, 
однозначная  разрешимость  в  пространстве 
 
1
,
0
C
  устанавливается  точно  также  как  и 
выше. Лемма 2 доказано. 
Таким  образом,  в  силу  леммы  1  и  2,  мы  установили,  что  если 
 
)
(
,
1


C
y
x
f
,  то 
 
]
1
,
0
[
3
C
x


.  Тогда  из  представления  (6)  мы  получим  регулярную  разрешимость 
задачи D.  С  учетом  (10)  и  (11)  из  (9)  нетрудно,  доказать  справедливость  следующей 
леммы. 
Лемма 3. Если 
)
(
)
,
(
2


L
y
x
f
, то 
)
1
,
0
(
)
(
2
L
t
F

 и  
 
 
 
 
)
(
)
1
,
0
(
2
2
)
,
(
)
(


L
L
y
x
f
C
t
F
 
Лемма 4. Если
 
 
1
,
0
2
L
t
F

, то существует единственное решение уравнения (15) 
из класса 
 
1
,
0
2
L
 и оно удовлетворяет неравенству 
 
 
 
 
 
 
 
1
,
0
1
,
0
2
2
L
L
t
F
C
t


   
 
 
 
(19) 
Доказательство леммы 4: Рассмотрим уравнение (15) в пространстве 
 
1
,
0
2
L
. Из 
(14) непосредственным вычислением нетрудно, убедится, что   
 
 
 
 
 
 
 
 
1
,
0
1
,
0
1
2
0
2
1
2
0
2
1
1
0
2
2
2
1
1
0
2
1
2
0
2
1
,
0
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
L
n
L
k
n
k
n
n
k
n
n
L
n
t
t
dt
k
t
dt
k
t
t
A
n
n
n





















 
























 


 
 






 
Поэтому  
 
 
 
 
 
n
L
L
n
A
2
1
1
,
0
1
,
0
2
2


 
Отсюда  в  силу  (16)  следует  ограниченность оператора 
1

B
  в 
 
1
,
0
2
L
  и  справедливость 
оценки (19). Это и доказывает лемму 4.  

 
39 
В  силу  леммы  3  и  4  из  (6)  нетрудно  показать  справедливость  оценки  (4)  если 
)
(
)
,
(
2


L
y
x
f
. Для завершения доказательства теоремы 1 покажем, что решение задач 
D представим в виде (5). 
Действительно, в силу (12)- (14) из (15) имеем  
 
 
 















 




1
2
0
0
2
0
1
2
2
1
)
(
)
(
)
(
k
i
k
k
k
k
k
i
t
F
t
F
A
t
F
B
t

 
Отсюда, с учетом  
0
2
1
2
1

















 и (12) имеем  











 



































 










































 













 





























0
2
1
1
1
2
1
1
2
0
0
2
2
1
1
1
2
1
0
2
0
2
1
1
1
1
2
0
0
2
2
1
1
1
2
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
1
1
1
1
,
2
)
(
4
1
,
2
2
)
(
4
1
2
1
,
2
,
2
2
)
(
4
1
2
1
2
)
(
2
1
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
i
z
k
t
i
i
z
k
k
t
k
k
i
z
k
i
i
z
k
k
t
k
k
i
t
k
k
k
dy
y
i
z
f
dz
z
t
dy
y
i
z
f
dz
z
t
dy
y
i
z
f
dy
y
i
z
f
dz
z
t
dz
i
z
F
z
t
t

  (20) 
Теперь поставляя (20) в (6), после некоторых преобразовании имеем (5), где 
































































































1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1
1
2
1
1
0
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
)
,
,
,
(
y
i
i
x
y
x
i
x
x
i
x
i
x
y
y
i
x
i
y
y
x
y
x
K
k
k
k
k
k
k
k
k
i
k
k
k
k
k
k
k







 



























































1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
y
i
y
x
i
y
x
x
i
x
i
x
i
y
k
k
k
k
k
k
k





 



































































































)
(
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
)
(
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
y
x
x
i
y
x
i
x
i
y
y
i
i
y
x
y
y
x
i
x
x
i
y
x
i
y
x
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k









жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: