Абай атындағы

 
40 































































































)
2
2
(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
i
x
i
x
x
i
y
x
i
y
x
y
x
i
y
x
i
y
x
y
x
i
x
i
x
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k



























































































)
2
(
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
i
x
y
i
x
i
y
x
i
y
x
y
x
i
y
x
i
y
x
y
x
i
x
i
x
y
k
k
k
k
k
k
k
k

























































































)
2
(
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
i
x
i
y
x
i
y
x
i
x
x
i
y
x
i
x
x
i
x
i
x
k
k
k
k
k
k
k
k






























 







 

1
1
1
1
1
1
1
2
)
1
(
2
1
)
(
2
1
y
y
x
y
x
x
y
x
x



 














































2
)
(
2
)
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x





 














































2
1
)
1
(
2
1
)
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
x
y
y
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x




 

 


 





y
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x

















1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(





 
 
Теорема 1 доказано полностью.  
Для  доказательства  теоремы  2  покажем,  что  найденное  при 
 
 


2
,
L
y
x
f
 
решение задачи D является сильным.  
Заметим, что в силу результатов лемм 3-4 и представления решения по формуле 
(6) следует выполнение неравенства (4) при всех 
 
 


2
,
L
y
x
f
. Из оценки (4) следует 
также  единственность  сильного  решения  задачи  D.  В  силу  плотности  в 
 

2
L
 
множества 
 
























y
f
x
f
f
C
y
x
f
y
x
f
C
),
(
)
,
(
:
)
,
(
1
1
0
  где   


  граница  области 

,  для  любой  функций 
 
 


2
,
L
y
x
f
  существует  последовательность 
 
 


1
0
,
C
y
x
f
n
, 
такая что 
   
0
,
,
0


y
x
f
y
x
f
n
 при 


n
. 
Через 
 
y
x
u
n
,
  обозначим  регулярное  решение  задачи  D  для  уравнения  (1)  с 
правой частью 
 
y
x
f
n
,
, а через 
 
t
n

решения уравнения (8). 
Здесь 
 
t
F
n
  отличается  от  функции 
 
t
F
  тем,  что  вместо 
 
y
x
f
,
  надо  писать 
 
y
x
f
n
,
. 
В  силу  леммы  1  и  2  имеем 
 
]
1
,
0
[
3
C
t
n


,  следовательно,  согласно  формуле  (6) 
получаем  
 
W
y
x
u
n

,
при всех 
 
 


1
0
,
C
y
x
f
n
. 
В  силу  полноты  пространства   
 

2
L
  последовательность 
 
y
x
f
n
,
  будет 
фундаментальной. Из линейности уравнения (1) и оценки (4) получаем, что 
 
 
 
0
1
,
,
y
x
f
y
x
f
C
u
u
m
n
m
n



,  то  есть  последовательность   


)
,
(
y
x
u
n
 
будет 
фундаментальной в 
)
(
1
2

W
.  
 
Принимая  во  внимание  полноту  пространства 
)
(
1
2

W
,  получаем,  что  существует 
единственный  предел 
)
(
1
2


W
u
последовательности   


)
,
(
y
x
u
n
,  который  и  будет 

 
41 
искомым  сильным  решением  задачи  D  для  уравнения  (1)  с  правой  частью 
 
 


2
,
L
y
x
f
. Теорема 2 доказана.  
 
 
1.
 
А.В.Бицадзе. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.-Наука. -1981.-
448с. 
2.
 
А.М.Нахушев. Уравнения математической биологии. - М., Высшая школа, 1995, 301 с. 
3.
 
М.С.Салахитдинов.  Уравнения  смешанного  и  смешанно-составного  типов.  Ташкент, 
ФАН, 1974г. 164 с. 
4.
 
О.С. Зикиров О корректности задачи Дирихле для гиперболических уравнений третьего 
порядка. Узбекский математический журнал. 2009 г. №4. –с 70-75. 
5.
 
Б.М.Айбеков  Задачи  типа  Дарбу  и  типа  Дирихле  для  гиперболического  уравнения 
третьего порядка. Наука и образование Южного Казахстана. 1997 г. №6. с 235-239. 
6.
 
М.А. Садыбеков О сопряженной задаче Дарбу. Доклады АНСССР 1990г. Т. 314, №2 стр. 
304-306.  
7.
 
М.С.Салахитдинов,  А.С.  Бердышев  Краевые  задачи  для  параболо-гиперболического 
уравнения в области с отходом от характеристики. Доклады РАН. №3. том 327. 1992г. - 
С.303-305. 
8.
 
А.С.Бердышев  О  вольтерровости  некоторых  задач  с  условиями  типа  Бицадзе  – 
Самарского  для  смешанного  параболо-  гиперболического  уравнения.  //Сибирский 
математический журнал. №3 том 46. 2005г. – С. 500-510. 
 
 
 
 
УДК 621.373.8 
Г.К. Байменшина 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДОВ МОДЕЛИ 
СКОРОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ЛАЗЕРА 
 
(г. Алматы, КазНТУ имени Сатпаева) 
 
Жартылай  ӛткiзгiш  лазердiң  моделi  сабақтас  дифференциалды  теңдеулердiң 
негiзiнде  ұсынылған.  Осы  моделдi  құрастыру  үшiн  4-шi  реттiк  Рунге  Кутта  әдiсi 
қолданылған.  Фотондар  және  заряд  тасымалдаушылардың  шоғырлануының  уақытта 
ӛзгеруi жүйедегi ауыспалы процесстердi талқылауға мүмкiндiк бередi. Генерацияның 
басталу    уақыты  мен  инжекция  тоғының  аралығында  байланысы  кӛрсетiлген,  яғни 
тоқтың үлкеюi генерацияның ерте басталуына себеп болады. Сонымен бiрге моделдеу 
нәтижесiнде  байытушы  тоқтың  үлкеюi  релаксациялық  тербелiстер  процесiнiң  
қысқаруынын туғызатын негізгі себеп екендігі деп кӛрсетедi. 
Представлена  модель  полупроводникового  лазера  на  основе  связанных 
дифференциальных  уравнений,  так  называемыми  ―скоростными  уравнениями‖.  Для 
построения  данной  модели  был  использован  метод  Рунге  Кутта  4-го  порядка. 
Изменение  во  времени  концентрации  фотонов  и  носителей  позволяет  изучить 
переходные  процессы,  действующие  в  системе.  Демонстрирована  связь  между 
временем задержки генерации и инжекционным током выше порогового значения так, 
что  раннее начало генерации излучения происходит при увеличении тока накачки. В 
результате  моделирования  было  также  отмечено,  что  увеличение  тока  накачки  
приводит к уменьшению продолжительности  процесса релаксационных колебаний. 
A  single-mode  semiconductor  laser  simulator  based  on  coupled  differential  equations, 
called rate equations was presented.  A model, which represents the rate equations, was built 
using  a  fourth  order  Runge  Kutta  method.  The  temporal  evolutions  of  photon  and  carrier 

 
42 
densities  of  the  rate  equations  show  the  transients  occurring  in  the  system.  The  relation 
between the turn on delay time and the injected current over threshold are demonstrated, so 
that  the  higher  applied  current  leads  to  the  earlier  starting  of  lasing.  As  a  result  of  the 
simulation was also point out that as the current pump increases the duration of the transition 
process (relaxation oscillations) decreases. 
 
Полупроводниковые  лазеры  были  разработаны  в  1962  году.  Их  основными 
отличительными  особенностями    являются:  высокая  эффективность;  малые  габариты; 
возможность  модуляции  выходных  оптических  характеристик  путем  изменения 
инжекции.  Ранее  в  полупроводниковых    лазерах  на 
-  переходах  использовался 
только  один  полупроводник  на  основе  GaAs,  полированный  с  обоих  концов.  Такие 
лазеры  известны  как  гомолазеры.  Позднее,  с  применением    гетероструктур  (для 
получения  которых  требуется  не  менее  двух  различных  полупроводников) 
производительность 
полупроводниковых 
лазеров 
значительно 
улучшилась. 
Использование  гетероструктуры  снизило  значение  порогового  тока  лазерных 
диодов [1]. 
Обладая данными   свойствами, полупроводниковые лазеры на основе арсенида 
галлия  и  других  соединений  (AlGaAs,  InP,  InGaAsP)  в  настоящее  время  широко 
используются  в  различных  областях  техники,  таких  как  оптические  системы 
волоконных связей. 
Для  построения  различных  электронных  систем,  включающих  полупроводниковый 
лазер,  как  составной  элемент,  необходимо  проанализировать    динамику    возможных 
переходных процессов. Простое физическое описание изменения  лазера по отношению 
к  изменению  тока  инжекции,  может  быть  получено  с  помощью  системы  скоростных 
уравнений.  В  этой  статье  мы  рассмотрим  некоторые  аспекты  динамики 
полупроводниковых лазеров с использованием компьютерного моделирования. 
Динамическое  поведение  полупроводниковых  лазеров  описывается  системой 
нелинейных дифференциальных уравнений  [2]: 
                                               
(
)
th
p
e
dS
S
N
G N
N
S
dt
t
t




 
                                                 (1) 
                                                
(
)
th
e
dN
I
N
G N
N
S
dt
eV
t




,                                                 (2) 
где t
p
  -    время  жизни фотона  в  резонаторе,  G-коэффициент  оптического  усиления; 
e
t
-  
время    рекомбинации  носителей  заряда; 
I
eV
-  скорость  накачки  (или  через  плотность 
тока 
J
ed
), здесь e – заряд электрона, V-объем активного слоя; 
th
N
- порог просветления 
(концентрация    носителей  в  зоне  проводимости,  при  которой  достигается  инверсная 
населенность). 
Уравнение  (1)  показывает,  что  скорость  увеличения  плотности  фотонов  равна 
скорости рождения фотонов при стимулированном излучении 
(
-
)
th
G N N
S
    за  вычетом 
потерь  фотонов  в  резонаторе 
p
S

  плюс  скорость  спонтанного  излучения  фотонов  в 
лазерную моду
e
N
t

. 
Уравнение (2) представляет собой скорость увеличения носителей (электронов), 

 
43 
которая  равна  скорости  накачки 
I
eV
  за  вычетом  скорости  потерь  носителей  при 
спонтанном переходе 
e
N

  и  потерь,  обусловленных  вынужденным  (стимулированным) 
переходом 
(
-
)
th
G N N
. 
Лазеры  обладают  широким  разнообразием  динамического  поведения.  Эти  два 
связанных уравнения нелинейные, и поэтому они могут при определенных условиях до 
установления    лазером  стационарного  состояния  проявлять  пичковый  характер  и 
совершать релаксационные колебания.   
Для  анализа  динамического  поведения  одномодового  полупроводникового  лазера 
необходимо изучить эволюцию системы, интегрируя скоростные уравнения (1, 2).  
Для упрощения  приведем систему уравнений к безразмерному виду. Для этого, введем 
следующие безразмерные переменные: 
                                                   
0
S
s
S

, 
th
n
N
N

 , 
e
t
t


                                                    (3) 
Подставляя новые переменные (3) в уравнения (1) и (2), получим следующую  систему 
уравнений в безразмерном виде: 
(
(
1) 1)
)
e
p
t
ds
s
n
n
d
t

 



    
 
 
(
1)
th
dn
I
n
s n
d
I


   
        ,   где 
th
p
G N
t

 

, 
0
1
e
S
G t


, 
/
th
th
e
I
N
e V t

 
. 
Для  решения  данных  нелинейных  дифференциальных    уравнений  первого 
порядка необходимо использовать приближенные численные методы. Основные из них 
базируются  на  разложении  в  ряд  Тейлора,  которые  сводятся  к  алгоритмам  метода 
Рунге-Кутта.  Наиболее  распространенным  и  приемлемым  по  точности  для  данного 
класса задач является метод Рунге-Кутта четвертого порядка, который использовался в 
решении данной модели.  
На  рисунке  1  показана  временная  развертка  изменения  плотности  фотонов  и 
концентрации  носителей.    Значения    параметров,  использованных  в  расчетах, 
приведены в таблице 1 [3]. 
Таблица 1 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: