Абай атындағы

 
60 
к некоторой прямой (корректной) задаче. 
В качестве прямой задачи будем рассматривать следующую задачу  
,
0
=
2
u
k
u
u
yy
xx


 
,
)
,
(


y
x
 
 
 
 
(5) 
0,
=
)
(0, y
u
x
  
],
[0,


y
 
 
 
 
(6) 
),
(
=
)
,
(
y
q
y
l
u
 
],
[0,


y
 
 
 
 
(7) 
0,
=
)
,
(
=
,0)
(
l
x
u
x
u
y
y
  
].
[0,l
x

 
 
 
 
(8) 
Обратную  задачу  сформулируем  следующем  образом:  найти 
 
,
,
)
(
y
l
u
y
q

 
используя соотношения (5) – (6), (8) и  дополнительную информацию 
),
(
=
)
(0,
y
f
y
u
 
],
[0,


y
 
 
 
 
(9) 
Введем оператор  
   
   
.
,
0
,
:
y
u
y
f
y
l
u
y
q
A



 
Тогда обратную задачу можно записать в операторной форме  
.
= f
Aq
 
 Для  численного  решения  задачу 
f
Aq =
рассмотрим  задачу  минимизации 
целового функционала  
dy
y
f
q
y
u
q
J
2
0
)]
(
)
;
(0,
[
=
)
(



   
 
 
 
 
(10) 
 Будем  минимизировать  квадратичный  функционал  (10)  методом  сопряженных 
градиентов.  Пусть  известно  приближение 
n
q
.  Последующее  приближение  определим 
из:  
n
n
n
n
p
q
q



=
1
 
 
 
 
 
 
(11) 
где 
 
,
'
0
0
q
J
p

 
,
'
=
1
1
1
n
n
n
n
p
q
J
p





 
 
2
2
1
1
'
'
n
n
n
q
J
q
J





 и 


.
min
arg
n
n
n
p
q
J





 
Вывод формулы для градиента функционала.  
Зададим приращение 
q
q


. Тогда имеем:  
)
;
,
(
)
;
,
(
=
~
=
q
y
x
u
q
q
y
x
u
u
u
u





   
 
 
(12) 
Используя обозначение (12) вычисляем приращение 
:
q
  
dy
y
f
q
y
u
dy
y
f
q
q
y
u
q
J
q
q
J
2
0
2
0
)]
(
)
;
(0,
[
)]
(
)
;
(0,
[
=
)
(
)
(












 
 
 
 
.
,
0
)
;
(0,
)]
(
)
;
(0,
2[
)
;
(0,
=
0
0
u
o
dy
y
q
y
u
u
o
dy
y
f
q
y
u
q
y
u

















 
(13) 
Получим задачу для приращения 
).
;
,
(
q
y
x
u

 Для этого используем уравнения (5) – (8). 
Имеем:  
,
0
=
~
~
~
2
u
k
u
u
yy
xx


 
,
)
,
(


y
x
 
 
 
 
(14) 
0,
=
)
(0,
~
y
u
x
 
],
[0,


y
 
 
 
 
 
(15) 
,
=
)
,
(
~
q
q
y
l
u


 
],
[0,


y
 
 
 
 
(16) 
0,
=
)
,
(
~
=
,0)
(
~
l
x
u
x
u
y
y
 
].
[0,l
x

 
 
 
(17) 
Из соотношений (14) – (17) вычтем соотношения (5) – (8) и, учитывая (12), получим для 
приращения следующую задачу:  
,
0
=
2
u
k
u
u
yy
xx





 
,
)
,
(


y
x
 
 
 
(18) 
0,
=
)
(0, y
u
x

  
],
[0,


y
 
 
 
 
(19) 
,
=
)
,
(
q
y
l
u


 
],
[0,


y
 
 
 
 
(20) 

 
61 
0,
=
)
,
(
=
,0)
(
l
x
u
x
u
y
y


  
].
[0,l
x

 
 
 
(21) 
Вычисление градиента 
Умножая (18) на произвольную функцию 

 и проинтегрируем по 
x
 от 
0
 до 
l
, 
по 
y
 от 
0
 до 

, имеем:  


udxdy
dy
u
dy
u
dxdy
u
k
u
u
xx
l
l
x
l
x
yy
xx
l





















0
0
0
0
0
0
2
0
0
|
|
=
=
0
 


udxdy
k
udxdy
k
udxdy
dx
u
dx
u
yy
xx
l
yy
l
y
l
y
l














2
1
0
1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
=
|
|











 




dy
y
u
y
y
l
u
y
l
dy
y
u
y
y
l
u
y
l
x
x
x
x
)
(0,
)
(0,
)
,
(
)
,
(
)
(0,
)
(0,
)
,
(
)
,
(
0
0
















 


dx
x
u
x
x
u
x
dx
x
u
x
x
u
x
y
y
l
y
y
l
,0))
(
,0)
(
)
,
(
)
,
(
(
,0)
(
,0)
(
)
,
(
)
,
(
0
0


















 
Откуда,  с  учетом  (18)  –  (21)  и  полагая 
  
0,
=
)
,
( y
l

 
  
0,
=
)
,
(


x
y
 
0
=
,0)
(x
y

,  вытекает 
постановка сопряженная задача: 
0,
=
2



k
yy
xx


 
,
)
,
(


y
x
 
 
 
 
(22) 
0,
=
)
,
( y
l

 
],
[0,


y
 
 
 
 
 
(23) 

  


,
;
,
0
2
=
)
(0,
y
f
q
y
u
y
x


 
],
[0,


y
 
 
 
(24) 
 
0,
=
,0)
(
,
x
x
y
y




 
],
[0,l
x

 
 
 
 
(25) 
Тогда  
.
)
,
(
=
,
1
0
qdy
y
l
q
q
J
x







 
По определению главная часть приращения функционала есть градиент, т.е.  
).
,
(
=
y
l
q
J
y


   
 
 
 
 
(26) 
здесь 
)
,
(
y
x

 есть решение сопряженной задачи (22) – (25). 
Решение прямой задачи 
Решение прямой задачи (5) – (8) будем искать в виде: 
 
 
.
cos
,
0




m
m
my
x
a
y
x
u
 
 
 
 
(27) 
Поставим (27) в (5) – (8) и получим  


,
0
2
2




m
m
a
m
k
a
   
 
 
 
(28) 
 
,
0
0


m
a
 
 
 
 
 
(29) 
 
.
m
m
q
l
a

 
 
 
 
 
(30) 
здесь 
 




0
.
cos
2
mydy
y
q
q
m
(28)  –  (30)  линейное  дифференциальное  уравнение  второго 
порядка с постоянными коэффициентами Тогда решение задачи  (28) – (30) имеет вид 
x
e

[2]. Поставив уравнение получаем значение 
.

 

 
62 















k
m
k
m
i
k
m
k
m
k
m
   
          
          
0
    
      
2
2
2
2

 
Отсюда получаем общее решение  
 













k
m
x
C
C
k
m
x
C
x
C
k
m
e
C
e
C
x
a
mk
mk
x
x
m
mk
mk
          
          
          
     
sin
cos
      
          
2
1
2
1
2
1




 
здесь 
.
2
2
k
m
mk



 Из условии (29) и (30) находим 
1
C
 и 
2
C
 
1. 
k
m

  
 
 












m
l
l
m
mk
mk
m
q
e
C
e
C
l
a
C
C
a
mk
mk




2
1
2
1
0
0
l
l
m
mk
mk
e
e
q
C
C






2
1
 
 






l
ch
x
ch
q
e
e
e
e
q
x
a
mk
mk
m
l
l
x
x
m
m
mk
mk
mk
mk












 
2. 
k
m

  
 
 









m
mk
m
mk
m
q
l
C
l
a
C
a


cos
0
0
1
2


0
      
cos
2
1


C
l
q
C
mk
m

 
 




l
x
q
x
a
mk
mk
m
m


cos
cos

 
3. 
k
m

  
 
 









m
m
m
q
C
l
a
C
a
1
2
0
0
0
      
2
1


C
q
C
m
 
 
m
m
q
x
a

 
Итак получаем решение задачи (28) – (30):  
 

















k
m
l
x
q
k
m
l
ch
x
ch
q
x
a
mk
mk
m
mk
mk
m
m
    
          
cos
cos
      
          




 
 
 
 
(31) 
Вывод уравнения для решения обратной задачи  
В (27) полагая 
,
0

x
 получаем выражение для 
 
:
y
f
 
   
 
.
cos
cos
0
,
0
0
0









m
m
m
m
my
f
my
a
y
u
y
f
 
Теперь преобразуем целевого функционала  
 


 


.
;
0
2
cos
;
0
)]
(
)
;
(0,
[
=
)
(
0
2
2
0
0
2
0





















m
m
m
m
m
m
f
q
a
dy
my
f
q
a
dy
y
f
q
y
u
q
J



  
(32) 
Решение сопряженной задачи 
Решение сопряженной задачи (22) – (25) будем искать в виде: 
 
 
.
cos
,
0




m
m
my
x
b
y
x

 
 
 
 
 
(33) 
Поставим (33) в (22) – (25) и получим  


,
0
2
2




m
m
b
n
k
b
 
 
 
 
 
(34) 
 
,
0

l
b
m
 
 
 
 
 
 
(35) 
 
.
0
m
m
b



 
 
 
 
 
 
(36) 
здесь 








0
.
cos
)
(
)
(0,
4
mydy
y
f
y
u
m
 (34) – (36) линейное дифференциальное уравнение 
второго  порядка  с  постоянными  коэффициентами  Тогда  решение  задачи  (34)  –  (36) 

 
63 
имеет вид 
x
e

[2]. Поставив уравнение получаем значение 
.

 















k
m
k
m
i
k
m
k
m
k
m
   
          
          
0
    
      
2
2
2
2

 
Отсюда получаем общее решение  
 













k
m
x
C
C
k
m
x
C
x
C
k
m
e
C
e
C
x
a
mk
mk
x
x
m
mk
mk
          
          
          
     
sin
cos
      
          
2
1
2
1
2
1




 
здесь 
.
2
2
k
m
mk



 Из условии (35) и (36) находим 
1
C
 и 
2
C
 
1. 
k
m

  
 
 












m
mk
mk
m
l
l
m
C
C
b
e
C
e
C
l
b
mk
mk





2
1
2
1
0
0








m
l
mk
mk
l
mk
mk
e
C
C
e
C
C





2
1
1
2
1
2
 























l
ch
e
e
e
C
l
ch
e
e
C
mk
mk
l
m
l
mk
l
m
mk
mk
l
m
l
mk
m
mk
mk
mk
mk
mk















2
1
2
1
2
2
2
2
1
 
 
 
 










l
ch
l
x
sh
l
ch
e
e
x
b
mk
mk
mk
m
mk
mk
l
x
l
x
m
m
mk
mk
















2
 
2. 
k
m

  
 
 










m
mk
m
mk
mk
m
C
b
l
C
l
C
l
b




2
2
1
0
0
sin
cos




   
          
cos
sin
1
2









l
l
C
C
mk
mk
mk
m
mk
m






 
 

 


 











l
l
x
l
l
x
x
l
x
b
mk
mk
mk
m
mk
mk
mk
mk
mk
mk
m
m











cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin





 
3. 
k
m

  
 
 










m
m
m
C
b
l
C
C
l
b

2
2
1
0
0







m
m
C
l
C


2
1
0
 
 


l
x
x
b
m
m



 
Итак получаем решение задачи (34) – (36):  
 






























k
m
l
x
k
m
l
l
x
k
m
l
ch
l
x
sh
x
b
m
mk
mk
mk
m
mk
mk
mk
m
m
        
          
          
   
          
cos
sin
     
          









 
 
 

жүктеу/скачать 4,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: