§ 12. Лагранж теңдеулерін экстремалдық әсер

 
95 

 

 
t
q
f
dt
d
t
q
q
L
t
q
q
L
,
,
,
,
,





.                                 (92) 
Мұндағы, f(q,t)  кез келген функция. 
 
Сонда 
осы 
функцияларға 
сәйкес 
құрылған 
әсер 
функцияларының  өзара  мынандай  байланыста  болатындығын  аңғару 
қиын емес, 
 


 








S
t
t
q
f
t
t
q
f
S
S
1
1
2
2
;
;
тұр,                         (93) 
мұндағы 


,
,
,
2
1
dt
t
q
q
L
S
t
t





   


dt
t
q
q
L
S
t
t


2
1
,
, 
 
 
Тұрақты  шамалардың  вариациясы  нольге  тең  болатындықтан 
(93)  өрнекке  сәйкес  δS  =  0  болса,  онда  δS
*
  =  0  болады.  Сондықтан, 
жүйенің  L  лагранжианынан  L
*
  көшкенде  Лагранж  тендеулері 
өзгеріссіз қалады. 
 
§13. Вариациялық интегралдық принцип 
 
 
Экстремальдық  әсер  принципін  (Остроградский  –  Гамильтон 
принципін)  консервативті  емес  белсенді  күштер  өрісіндегі 
голономдық  жүйелер  үшін  де  қолдануға  болады,  яғни  жүйеге  әсер 
ететін  жалпыланған  күштерді  (53)-өрнек  түрінде  жазуға  болмайтын 
жүйелер  үшін.  Осындай  голономдық  жүйелер  үшін  экстремальдық 
әсер принципін былай тұжырымдауға болады: 
 
Консервативті  емес  белсенді  күштердің  әсерінен  механикалық 
жүйенің  шын  орын  ауыстыруы,  жүйенің  кинетикалық  энергиясының 
вариациясымен 
барлық 
белсенді 
күштердің 
виртуалды 
жұмыстарының қосындысынан алынған интеграл нольге тең болуына 
сәйкес келеді, яғни 





2
1
0
t
t
F
dt
A
T


,                                         (94) 
мұндағы, δА
F
 –белсенді күштердің виртуалдық жұмысы, 






q
Q
r
F
A
S
n
i
i
i
F






1
1


.                                   (95) 
Осы  (94)-өрнекті,  қарастырып  отырған  голономдық  жүйелер 
үшін  вариациялық  интегралдық  принцип  деп  атайды.  Осы 
принципті қолданып (47)-өрнекпен анықталатын Лагранж теңдеулерін 
шығарып алуға болатындығын көрсетейік. Шынында да, (94)-өрнекке 
(86)-өрнекпен  анықталатын,  жүйенің  кинетикалық  энергиясының 
вариациясын  және  (95)-өрнектен  белсенді  күштердің  виртуалдық 
жұмысының мәндерін қойсақ, онда 

 
96 















S t
t
dt
q
Q
q
T
dt
d
q
T
1
2
1
0







,                            (96) 
осыдан, δq
α
 тәуелсіз жалпыланған координаттар вариациясы екендігін 
ескерсек,  онда  (96)  теңдеудің  нольге  тең  болуы  үшін,  осы  δq
α
 
вариациялардың  алдында  тұрған  барлық  коэффициенттер  нольге  тең 
болуы керек, ол (47)–Лагранж тендеулері болады. 
 
Сонымен,  (94)-өрнекпен  берілген  вариациялық  интегралдық 
принцип  еркін  және  идеалдық  байланыстағы  еркін  емес  голономдық 
жүйелердің барлық динамикасын жинақы түрде қамтитынын көреміз. 
Бұдан  басқа  бұл  принципті  голономдық  емес  механикалық  жүйелер 
үшін  де  қолдануға  болады.  Осыдан,  классикалық  механиканы 
құрудын  екі  әдісі  бар  екендігі  шығады;  индуктивтік  және 
дедуктивтік. 
 
Индуктивтік әдістің негізіне, тәжірибеден шығатын Ньютонның 
дифференциалдық теңдеулері жатады, ал дедуктивтік әдістің негізіне, 
экстремальдық  әсер  принципі  жатады  да  (47)-өрнекпен  берілген 
қозғалыс  теңдеулері  (Лагранж  тендеулері),  механиканың  кейбір 
есептері үшін Эйлер теңдеулері болып табылады.  
 
Идуктивтік 
әдістің 
көрнекілігімен 
қарапайымдылығына 
қарамастан  классикалық  механиканы  құруда  дедуктивтік  әдістің 
артықшылығы көп.  
 
Бұл 
әдістің 
артықшылығы, 
біріншіден, 
жалпыланған 
координаттар  жүйесін  таңдап  алуға  байланыссыздығы,  осының 
салдарынан  санақ  жүйесіне  тәуелсіздігінде,  ал  индуктивтік  әдістің 
негізіне  Ньютонның  қозғалыс  теңдеулері  қолданылады.  Сондықтан 
бұл  әдісте  тек  қана  инерциалдық  санақ  жүйесін  қолданамыз. 
Шынында  да,  экстремальдық  әсер  принципіне  тек  қана  кинетикалық 
және потенциалдық энергиялар кіреді де, олар санақ жүйесіне тәуелсіз 
болады. 
 
Дедуктивтік  әдістің  екінші  артықшылығы,  оны  еркіндік 
дәрежесі  шексіз  көп  жүйелер  үшін  де  қолдануға  болады,  яғни 
механикалық емес жүйелер, мысалы, серпімді орта, электромагниттік 
өріс және ұсақ бөлшектер өрісі. Басқаша айтқанда, физиканың барлық 
салалары  үшін  (84)-өрнек  тәріздес  экстремальдық  әсер  принципін 
тұжырымдап,  соның  нәтижесінде  “қозғалыс  теңдеулерін”  алуға 
болады.  Мысалы,  классикалық  электродинамикадағы  Максвелл 
теңдеулері,  кванттық  механикадағы  Шредингер  тендеулерін  т.с.с. 
Физиканың  әрбір  бөліктері  үшін  жазылған  экстремальдық  әсер 
принциптерінің  бірдей  болуы  материяның  біртұтастығында  және 
әртүрлі физикалық процестердің пайда болу түрлерінің ұқсастығанда. 
 

 
97 
§14. Гамильтон теңдеулері және Гамильтон функциясы. 
Гамильтон теңдеулерін экстремальдық әсер принципінен 
қорытып шығару 
 
 
Жоғарыда 
қарастырылған 
қозғалыс 
теңдеулері, 
еркін 
механикалық  жүйенің  қозғалысын  анықтайтын  Ньютон  теңдеулері; 
еркін емес механикалық жүйенің қозғалыстарын анықтайтын Лагранж 
теңдеулері  екінші  ретті  дифференциалдық  теңдеулерге  жатады. 
Математикадан  белгілі,  кез  келген  s  екінші  ретті  дифференциалдық 
теңдеулер жүйесін оған пара-пар 2s бірінші ретті тендеулер жүйесімен 
алмастыруға  болады.  Бірінші  ретті  дифференциалдық  теңдеулер 
түрінде  жазылған,  механикалық  жүйенің  қозғалыс  теңдеулерін, 
қозғалыстың  конондық  теңдеуі  деп,  немесе  Гамильтон  теңдеулері 
деп атайды. 
 
Механикалық  жүйе  қозғалыстарын  Лагранж  әдісімен  (Лагранж 
теңдеулері арқылы) қарастырғанда, t уақытты және жүйе нүктелерінің 
q
α
 
жалпыланған  координаттарын  тәуелсіз  айнымалылар  деп 
қарастырды,  ал 

q
 жалпыланған 
жылдамдықтарды  Лагранж 
функциясына  және  Лагранж  теңдеулеріне  тікелей  кіретіндігіне 
қарамастан  оларды  тәуелді  айнымалылар  деп  есептеді.  Мұны,  жүйе 
қозғалысын  анықтау  үшін  Лагранж  әдісінде  конфигурациялық 
кеңістіктегі  нүкте  траекториясы  деген  ұғымды  енгізуден  байқауға 
болады.  Шындығында  да,  мұдай  кеңістікте  кез  келген  нүктенің 
траекториясын  анықтау  үшін  тек  қана  s  алғы  шарттар  беріледі,  ал 
жүйе  қозғалысын  толық  анықтау  үшін  мынандай 
 
0
0


q
q



 тағыда  s 
шарттар  берілуі  керек.  Осының  салдарынан,  конфигурациялық 
кеңістіктің  кез  келген  нүктесі  арқылы шексіз  көп,  жүйе  нүктелерінің 
траекториялары  өтеді.  Сондықтан  да,  жалпыланған  координаттармен 
қоса  жалпыланған  жылдамдықтарды  да  (немесе  жалпыланған 
импульсті)  тәуелсіз  айнымалылар  деп  қарастыру  керек  (Гамильтон 
әдісінде осылай қарастырылады). 
Сонымен,  Гамильтон  әдісінде  тәуелсіз  айнымалылар  ретінде 
жүйенің  s  жалпыанған  координаттары  q
1
,q
2
,...,q
s
  және  (59)  өрнекпен 
анықталатын  s  жалпыланған  импульстары  p
1
,p
2
,…,p
s
  алынады. 
Механикалық  жүйе  қозғалысының  геометриялық  интерпретациясын 
беру үшін фазалық кеңістік туралы ұғым енгізу керек. Координаттар 
осьтеріне  s  жалпыланған  координаттар  q
α
  және  s  жалпыланған 
импульстар  p
α
  салуға  болатын  2s  өлшемді  кеңістікті  фазалық 
кеңістік  дейді.  Фазалық  кеңістіктің  әрбір  нүктесіне  жүйенің  белгілі 
бір күйі сәйкес келеді (ондай нүктені кескіндегіш нүкте деп атайды). 
Жүйе қозғалысы кезінде кескіндегіш нүкте фазалық кеңістікте қисық 

 
98 
сызады,  оны  механикалық  жүйенің  фазалық  траекториясы  дейді. 
Конфигурациялық  кеңістікке  қарағанда  фазалық  кеңістіктің  әрбір 
нүктесі  арқылы  механикалық  жүйенің  жалғыз  бір  ғана  фазалық 
траекториясы өтеді.  
Осы  айтылған  әдіс  арқылы  жүйе  күйін  сипаттайтын, 
механикалық  жүйе  қозғалысының  теңдеуін  қорытып  шығарудың 
бірнеше тәсілдері бар. Соның біреуі, математикадан белгілі, Лежандр 
түрлендіруі  деп  аталады.  Бұл  тәсілмен,  термодинамикалық 
параметрлердің 
біріншісінен 
екіншісіне 
көшкен 
кезде 
термодинамикалық функцияларды түрлендіру үшін термодинамикада 
кеңінен  қолданады.  Біздің  қарастырып  отырған  жағдайымызда 
Лежандр  түрлендіруін,  Лагранж  әдісінде  қолданылатын  q
α
  және 

q
 
айнымалылардан,  q
α
  және  р
α
  айнымалыларға  көшу  үшін  былай 
пайдалануға болады.  
Жүйе  нүктелерінің  q
α
  жалпыланған  координаттарына, 

q
 
жалпыланған  жылдамдықтарына  және  t  уақытқа  тәуелді  жүйе 
Лагранжианынан толық дифференциал алайық,  
dt
t
L
q
d
q
L
dq
q
L
dL
S
S





















1
1
.                         (97) 
 
Қарастырылып  отырған  жүйеге  тек  қана  жалпыланған 
потенциалды (немесе потенциалды) күш әсер етеді деп есептеп, (59)-
және (61)-өрнектерге сәйкес, мынандай алмастырулар жасасақ,  
,
,




р
q
L
р
q
L








 
(97)–теңдік мынандай түрге келеді, 
dt
t
L
q
d
р
dq
р
dL
S
S









1
1








.                             (98) 
Мына теңдікті ескерсек 
,
1
1
1














S
S
S
dр
q
q
d
р
q
р
d












 
онда (98)–теңдікті былай жазуға болады, 
,
1
1
1
dt
t
L
dр
q
dq
р
q
р
L
d
S
S
S






























 
немесе 
dt
t
L
dр
q
dq
р
L
q
р
d
S
S
S



















1
1
1












.                     (99) 
 
Осы 
теңдіктің 
оң 
жағында 
dq
α
, 
dр
α
 
және 
dt 
дифференциалдарының болуы, сол жақтағы дифференциал белгісінің 
астында 
тұрған 
мүше, 
жүйе 
нүктелерінің 
жалпыланған 

 
99 
координаттарына, жалпыланған импульстарына және уақытқа тәуелді 
функция екендігін көрсетеді,  яғни 


L
q
р
t
р
р
р
q
q
q
H
S
S
S




1
2
1
2
1
,
,...
,
:
,...
,




.                       (100) 
Осы функцияны Гамильтон функциясы немесе механикалық 
жүйенің  гамильтонианы  деп  атайды.  8-тақырыпта  айтқанымыздай, 
егер  жүйенің  лагранжианы  уақытқа  тікелей  тәуелді  болмаса,  онда 
(100)–теңдеудің  оң  жағында  тұрған  қосынды  тұрақты  болатындығы 
дәлелденіп, осы тұрақты шаманы жүйенің толық энергиясы деп атаған 
болатынбыз. Сондықтан, уақытқа тікелей тәуелді болмаса, Гамильтон 
функциясын  жүйенің  толық  энергиясы  деп  атауға  болады,  бұл 
Гамильтон функциясының физикалық мағынасы, Н = Е=тұр. 
 
Гамильтон функциясының толық дифференциалын табайық, 
dt
t
H
dp
p
H
dq
q
H
dH
S
S













1
1






. 
Осы  шыққан  өрнекті  (99)-өрнекпен  салыстырсақ,  онда 
мынандай теңдеудер аламыз; 




p
H
q
q
H
p









,
, 
  (α = 1,2,…,S).                  (101) 
және 
t
L
t
H






.                                           (102) 
(101)–теңдеулер  Гамильтон  теңдеулері  немесе  қозғалыстың 
конондық  теңдеулері  деп  аталады.  Гамильтон  теңдеулері  арқылы 
механикалық  жүйелердің  қозғалысын  q
α 
жалпыланған  координат-
тармен  р
α
  жалпыланған  импульстардың  өзгерісіне  байланысты 
анықтауға болады. Гамильтон теңдеулері 2s белгісіз функциялар q
α
(t) 
және  р
α
(t)  табу  үшін  арналған  бірінші  ретті  2s  дифференциалдық 
теңдеулер жүйесі болып табылады.  
 
(102)–теңдеу, 
механикалық 
жүйенің 
гамильтонианымен 
лагранжианының  уақытқа  тәуелді болуы  немесе  тәуелді болмауы  бір 
мезетте болатындығын көрсетеді.  
 
Жүйе  гамильтонианының  уақытқа  тікелей  тәуелсіздігінен 
жүйенің  толық  энергиясының  сақталатындығын  дәлелдейік.  Ол  үшін 
Гамильтон функциясынан уақыт бойынша толық туынды алайық,  

















S
p
p
H
q
q
H
t
H
dt
dH
1







.                           (103) 
осы  теңдеудегі 

q
 және 

p
 айнымалыларды  (101)–қозғалыстың 
конондық  теңдеулеріне  сәйкес  мәндерімен  алмастырсақ,  онда 
теңдеудің оң жағындағы қосынды нольге тең болады, сондықтан 

 
100 
t
H
dt
dH



.                                           (104) 
Осыдан, егер Гамильтон функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса 


0
/



t
H
, онда ол жүйенің Е толық энергиясына тең болады 
H(q
1
, q
2
,…,q
s
; p
1
, p
2
,…p
s
) =E=тұр.                        (105) 
 
Механикалық  жүйелер  қозғалысын  Гамильтон  теңдеулері 
арқылы анықтау үшін, есептеуді мынандай тәртіпте жүргізу керек: 
1.
 
Қарастырылып отырған механикалық жүйенің s еркіндік дәрежесін 
анықтау, 
2.
 
Сан  жағынан  механикалық  жүйенің  s  еркіндік  дәрежесіне  тең  q
α
 
жалпыланған координаталар  таңдап алу, 
3.
 
Жүйенің,  q
α
  жалпыланған  координаттарға  және 

q
 жалпыланған 
жылдамдықтарға 
тәуелді 
кинетикалық 
энергиясымен 
потенциалдық энергиясын табу, 
4.
 
(51)-өрнекке сәйкес Лагранж функциясын табу, яғни L = T-U,  
5.
 
(59)-өрнекті пайдаланып, жүйенің p
α
 жалпыланған импульсін табу, 
6.
 
Шыққан  теңдеулерді  шешіп 

q
 жалпыланған  жылдамдықтарды 
тауып (100)–теңдеулерге сәйкес жүйе нүктелерінің q
α
 жалпыланған 
координаттарына  p
α
  жалпыланған  импульстарына  және  t  уақытқа 
тәуелді H(q
α
, p
α
, t) Гамильтон функциясын табу, 
7.
 
Гамильтон  функциясы  бойынша  (101)-өрнекке  сәйкес  Гамильтон 
теңдеулерін жазу, 
8.
 
Шыққан  теңдеулерді  интегралдау  арқылы  жүйе  нүктелерінің 
қозғалыс заңдарын табамыз. 
Қозғалыстың  конондық  теңдеулерін  және  Гамильтон  функциясын 
анықтауға арналған мынандай есептерді қарастырайық. 
1.
 
Массасы  m  еркін  материалдық  нүктенің 
 
r
U
U


 өрісіндегі 
қозғалысын қарастырайық. Мұндай нүкте қозғалысы үшін Лагранж 
функциясын  декарттық  координаттар  арқылы  былай  жазуға 
болады, 




z
y
x
U
z
y
x
m
L
,
,
2
2
2
2







. 
Сондықтан 










.
,
,
2
,
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
U
z
y
x
m
z
y
x
U
z
y
x
m
z
y
x
m
L
z
L
z
y
L
y
x
L
x
L
L











































               (106) 
Осы  табылған  айырма  (100)-өрнекке  сәйкес  Гамильтон  функциясы 
болуы  үшін,  мұндағы 
z
y
x



,
,
 жалпыланған  жылдамдықтарды  р
x
,  р
y
,  р
z
 
жалпыланған 
импульстармен 
алмастыру 
керек. 
Ол 
үшін 
қарастырылып отырған жағдай үшін  

 
101 
,
,
,
m
P
z
m
P
y
m
P
x
z
y
x






 
екендігін  ескерсек,  онда 
 
r
U

 өрісінде  қозғалатын  нүкте  үшін 
Гамильтон функциясы былай жазылады да,  




z
y
x
U
p
p
p
m
H
z
y
x
,
,
,
2
1
2
2
2




                           (107) 
 
нүкте  қозғалысының  конондық  тендеулері  декарттық  координаттар 
арқылы мынандай болады : 
.
,
,
,
,
,
m
P
z
m
P
y
m
P
x
z
U
P
y
U
P
r
U
P
z
y
x
z
y
x





















                         (108) 
Осы  нүкте  үшін  Гамильтон  функциясы  мен  қозғалыстың 
конондық  теңдеулері,  сфералық  координаттар  жүйесінде  былай  
жазылады:   




















































U
P
mr
P
U
P
P
P
mr
r
U
P
r
U
r
P
r
P
P
m
H
r
r



,
sin
cos
,
sin
1
,
,
,
sin
2
1
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
                      (110) 
және 




2
2
2
sin
,
,
mr
P
mr
P
m
P
r
r







.                              (111) 
2. өзара тартылыс күшінің (Ньютон заңына сәйкес) әсерінен xоy 
жазықтығында қозғалатын M
1
 және М
2
 нүктелерден тұратын жүйенің 
Гамильтон  функциясын  және  қозғалыстың  конондық  теңдеулерін 
жазайық.  Нүктелердің  массалары  m
1 
және  m
2
,  ал  бастапқы  уақыт 
мезетінде олардың массалар центрі тыныштықта тұрған деп есептейік. 
 
өзара  тартлыс  күшінің  әсерінен  болатын  екі    материалдық 
нүктеден  тұратын  жүйенің  қозғалысын,  ішкі  күштердің  әсерінен  деп 
есептеуге  болады.  Жүйенің  массалар  центрі  қозғалысы  туралы 
теоремаға  (IV–тарау,  9  тақырып)  сәйкес,  ішкі  күштер  жүйенің 
массалар  центрінің  қозғалысын  өзгертпейді.  Сондықтан  қозғалыс 
кезінде қарастырылып отырған жүйенің массалар центрі тыныштықта 
қалады, үйткені есептің шарты бойынша бастапқы уақыт мезетінде ол 
тыныштықта  тұр.  Сонымен,  санақ  жүйесінің  бас  нүктесін  жүйенің 
массалар  центріне  орналыстырып,  M
1
  және  М
2
  нүктелердің  санақ 

 
102 
жүйесінің  бас  нүктесінен  арақашықтарын  сәйкес  r
1
  және  r
2
  деп 
белгілейік (26-суретті қара). 
Қарстырып  отырған  механикалық 
жүйенің еркінді дәрежесі s=2 тең. Шынында 
да  M
1
  және  М
2
  нүктелерінің  орнын  (r
1
,  φ) 
және  (r
2
,  π+φ)  полярлық  координаттар 
арқылы  табуға  болады.  Егер  осы  M
1
  және 
М
2 
нүктелерінің  арақашықтығын  r  деп 
белгілесек,  онда  r=r
1
+r
2
  және  массалар 
центрінің 
координатасын 
анықтайтын 
m
1
r
1
=m
2
r
2
  өрнекті  ескеріп,  r
1
  және  r
2 
қашықтықтарды r арқылы былай өрнектеуге болады, 
,
2
1
2
1
r
m
m
m
r


             
r
m
m
m
r
2
1
1
2


. 
Сондықтан,  жүйенің  қозғалысын  (r,  φ)  координаттары  арқылы 
анықтауға  болады,  бұлар  жүйенің  жалпыланған  координаттары 
болады. 
 
Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы 


2
2
2
2
1
1
2
1


m
m
T


. 
Мұндағы υ
1
2
 және υ
2
2
 полярлық координаттар арқылы өрнектесек, 




.
,
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1














r
r
m
m
m
r
r
r
r
m
m
m
r
r






















 
Сондықтан 


2
2
2
2
1
2
1
2
1



r
r
m
m
m
m
T




. 
өзара тартылыс күшінің потенциалы,  
r
m
m
k
U
2
1



, 
k
 – тартылыс тұрақтысы. 
 
Сонымен қарастырылып отырған жүйенің лагранжианын былай 
жазамыз, 


r
m
m
k
r
r
m
m
m
m
U
T
L
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1











.                  (112) 
 
Лагранж функциясының уақытқа тікелей тәуелді емес екендігін 
көреміз,  сондықтан    Н  Гамильтон  функциясы  да  уақытқа  тікелей 
тәуелді  болмайды  да,  ол  (105)  -өрнекке  сәйкес  толық  механикалық 
энергияға тең болады. 

 
103 
 
Лагранж  функциясын  (112)  -өрнекті  пайдаланып  (59)  -өрнекке 
сәйкес P
α
 жалпыланған импульстарды табамыз 





2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
,
r
m
m
m
m
L
P
r
m
m
m
m
r
L
P










.                (113) 
Осыдан 
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
,
r
P
m
m
m
m
P
m
m
m
m
r







.                         (114) 
Осы жоғарыда айтылғандарды ескеріп Гамильтон функциясын былай 
жазамыз, 
r
m
km
r
P
P
m
m
m
m
U
T
H
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1




















.             (115) 
Осыдан Гамильтон теңдеулерін былай жазуға болады; 



































2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
2
2
1
2
1
2
2
1
1
,
,
0
,
r
P
m
m
m
m
P
H
P
m
m
m
m
P
H
r
H
P
r
P
m
m
m
m
r
m
km
r
H
P






                      (116) 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: