Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері

 
3 
Қайырбаев Қ.Қ. 
 
 
КЛАССИКАЛЫҚ 
МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Павлодар, 2005 

 
4 
Министерство образования и науки Республики 
Казахстан 
Павлодарский государственный педагогический институт 
 
 
 
 
 
Қайырбаев Қ.Қ. 
 
 
 
 
 
 
 
КЛАССИКАЛЫҚ 
МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ 
 
 
 
 
 
Павлодар 2006 

 
5 
  
УДК  531 (071) 
ББК  22.2 я 73 
  
Қ 23 
Баспаға Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының 
Ғылыми кеңесi ұсынған 
 
Пікір жазған: 
С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің физика, 
математика және информатика институтының директоры, физика-математика 
ғылымдарының докторы, профессор С.К. Тлеукенов. 
 
Қайырбаев Қ.Қ. 
Қ 23  Классикалық механика негіздері. Оқулық. - Павлодар: ПМПИ баспасы, 
2006. - 176 б. 
 
 
Оқулықтың авторы физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент, 
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының профессоры.   
 
Оқулықтың басты мақсаты - Классикалық механиканың негізгі идеялары 
мен әдістерін студенттерге таныстыру. Көлемінің біршама аздығына қарамастан 
бұл оқулық келешекте теориялық физиканың басқа бөлімдерін жете меңгеру үшін 
қажетті дайындықты қамтамасыз ететін елеулі басшылық бола алады. 
 
Оқулықтың негізіне Классикалық механика курсынан педагогикалық 
институттардың физика мамандығына арналған бағдарламаға сәйкес, соңғы 40 
жыл ішінде автордың студенттерге оқыған дәрістері алынды.  
 
 
Оқулық университеттер мен педагогикалық оқу орындарының физика-
математика факультеттерінің студенттері мен ұстаздар қауымына арналған. 
 
Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының физика кафедрасы 
мақұлдады. 
 
© Қайырбаев Қ.Қ., 2006. 
© Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты, 2006. 
 

 
6 
I-ТАРАУ 
 
КІРІСПЕ 
 
§1. Классикалық механика пәні және бөліктері 
 
Әлемде кездесетін өте ұсақ бөлшектерден, атом, молекула және 
әр  түрлі  өрістен  бастап,  ең  үлкен  деп  қарастыратын  галактикаға 
дейінгі  заттардың  барлығы  үнемі  үздіксіз  қозғалыста  болады.  Заттар 
қозғалысының  түрі  өте  көп  те  және  әр  түрлі.  Осы  заттар  қозғалыс 
зандарын  қарастыратын  теориялық  физика  негізінен  мынандай 
бөліктерден  тұрады:  классикалық  механика,  электродинамика, 
кванттық механика, статистикалық физика және термодинамика, атом 
физикасы, ядро физикасы. 
Заттар  қозғалысының  ең  қарапайым  түрі  –  механикалық 
қозғалыс. Механикалық қозғалыс деп уақыт өзгерісіне байланысты 
механикалық денелердің кеңістікте орын ауыстыруын айтады. 
Классикалық  механиканың  зандарын  толық  түсіну  үшін  мынандай 
шамалар  енгізіледі,  масса,  күш,  инерциалық  санақ  жүйесі.  Ньютон 
заңдары, Галилейдің салыстырмалылық принципі. 
Механикалық  денелердің,  қозғалысын  қарастыру  кезінде 
ашылған  негізгі  заңдар,  кейбір  түзетулерден  кейін  теориялық 
физиканың  басқа  бөліктерінде  де  қолданылады.  Мысалы:  энергия, 
импульс және импульс моментінің сақталу заңдары. 
Теориялық  физиканың  әрбір  бөліктерінің  негізгі  заңдарының 
қолдану шегі болатыны сияқты классикалық механика заңдарыныңда 
өзіндік  қолдану  шегі  бар.  Мысалы:  Эйнштейн  салыстырмалылық 
теориясы  бойынша  жылдамдық  ν  жарықтың  жылдамдығына  с 
шамалас  болса  кез  келген  /макро,  микро  зат/  заттардың  қозғалысын 
классикалық механиканың зандарымен аңықтауға болмайды. Мұндай 
заттар  қозғалысы  релятивистік  кванттық  теорияның  заңдарымен 
анықталады.  Макроскопиялық  денелер  қозғалысының  жылдамдығы 
ν~с  болса,  олардың  қозғалысын  салыстырмалылық  теориясының 
зандарымен  анықтайды,  ал  микроскопиялық  денелер  қозғалысының 
жылдамдығы  ν  <  c  болса,  олардың  қозғалысы  релятивистік  емес 
кванттық  механика  заңдарымен  анықталады.  Макроскопиялық 
денелердің  жылдамдығы  ν  <<  с  болғандағы,  олардың  қозғалысы 
классикалық механика заңдарымен зерттеледі. 
 
Классикалық  механика  –  механикалық  денелердің  баяу 
қозғалысын сипаттайды.  
 
Классикалық  механика  мынандай  үш  бөлімнен  тұрады: 
кинематика, динамика, статика.  
 
Кинематика  –  денелер  қозғалысын  сол  қозғалысты  туғызатын 
себептерге  байланыссыз  қарастыратын  классикалық  механиканың 
бөлімі.  

 
7 
 
Динамика  –  механикалық  денелердің  қозғалысын  сол 
қозғалысты  туғызатын  себептерге  байланысты  қарастыратын 
классикалық механиканың ең бір күрделі бөлімі.  
 
Статика – денелердің тепе-теңдік шарттарын қарастырады. 
 
§2. Классикалық механикада қарастырылатын денелер моделі 
 
 
Жалпы алғанда механикалық денелердің қозғалысы өте күрделі, 
өйткені  ол  қарастырып  отырған  денелердің  формасына,  өлшеміне 
және  тағы  басқа  қасиеттеріне  байланысты.  Осы  себептен  денелер 
қозғалысын  қарастырған  кезде  сол  денелердің  кейбір  қасиеттерін 
ескермеуге  болатындай  жорамал  жасалады,  басқаша  айтқанда 
механикалық  денелердің  моделін  енгізу  керек.  Оларға  мыналар 
жатады:  материалдық  нүкте,  материалдық  нүктелер  жүйесі, 
механикалық жүйе, абсолюттік қатты дене және тұтас орта. 
 
Материалдық  нүкте  –  қарастырып  отырған  есептің  шартына 
байланысты  өлшемдерін  ескермеуге  болатын  дене.  Мысалы:  күнді 
айналған  кезде  жерді  материалдық  нүкте  деп  есептеуге  болады, 
өйткені траекторияның радиусы жердің радиусынаң өте үлкен. 
 
Материалдық  нүктелер  жүйесі  –  механикалық  денелер 
жиынтығын материалдық нүктелер жүйесі деп атауға болады, егер әр 
бір денені материалдық нүкте деп қарастыруға болса.  
 
Материалдық  нүктелер  жүйесін  механикалық  жүйе  деп 
атаймыз,  егер  әрбір  нүктенің  қозғалысы  басқа  қалған  нүктелерге 
тәуелді болса. 
 
Механикалық  жүйені  абсолюттік  қатты  дене  деп  атаймыз, 
егер  кез  келген  екі  нүктенің  арақашықтығы  қозғалыс  кезінде 
өзгермейтін болса.  
 
Тұтас орта – газдар, сұйықтар.  
 
§3. Кеңістік пен уақыт туралы ұғым 
 
 
Денелер  қозғалысы  уақыт  өзгерісіне  байланысты  кеңістікте 
болатыңдықтан,  уақыт  және  кеңістік  туралы  ұғым,  тек  қана 
классикалық  механика  үшін  емес  физиканың  барлық  бөлімдері  үшін 
де негізгі ұғымдар болып табылады. Кеңістік қасиеттері геометрияда, 
ал  уақыт  –  хронометрияда  жеке-жеке  қарастырылатын  болса, 
физикада  осы  ұғымдар  материямен  қоса  қарастырылады  да 
материяның  өмір  сүруінің  формалары  болады.  Классикалық 
механикада денелердің баяу қозғалысы қарастырылатындықтан, 
тәжірибелердің  нәтижелерін  салыстыра  келіп  кеңістік  пен  уақыт 
туралы қарапайым ұғым қабылданды. 
 
Кеңістік  –  үздіксіз,  біртекті  және  изотропты,  ал  оның 
өлшемдері 
эвклид 
геометриясының 
аксиомалар 
жиынымен 
сипатталады. 

 
8 
 
Уақыт  –  кеңістіктің  кез  келген  бөліктерінде  біркелкі  таралады 
да, үздіксіз және біртекті. 
 
Денелердің  механикалық  қасиеттері  кеңістіктің  кез  келген 
бөлігінде  және  кез  келген  уақыт  мезетінде  өзгермейтін  болса,  ондай 
кеңістікті және уақытты біртекті деп атайды. 
 
§4. Санақ жүйесі 
 
 
Кез  келген  материалдық  нүктенің  қозғалысын  анықтау  үшін 
басқа бір дене таңдап алып осы денеге қатысты, қарастырып отырған 
нүктенің қозғалысын сипаттау керек. Осындай денемен байланысқан 
тік  бұрышты  координаттар  жүйесімен,  уақытты  есептеу  үшін 
керекті сағаттан тұратын жүйені санақ жүйесі деп атайды. 
 
Классикалық механикада қозғалыс заңдарын қарастырған кезде 
мынадай үш постулатты негізге алады.  
1.  Механикалық  қозғалысты  сипаттайтын  кез  келген 
физикалық шамаларды бір уақыт мезетінде өлшеуге болады. Басқаша 
айтқанда  өлшеуіш  приборлардың  өлшенетің  физикалық  шамаға 
тигізетін әсерін ескермеуге болады. 
2.  Белгілі  бір  механикалық  процестің  өтетін  уақыты  кез 
келген қозғалыстағы санақ жүйелерінде бірдей болады, яғни 
1
2
1
2
t
t
t
t





 
мұндағы 


,
1
2
t
t

 


1
2
t
t



 екі  санақ  жүиесіне  қатысты  процестің  өту 
уақыты. 
 
3. Кез  келген  қозғалыстағы  санақ  жүйелерінде механикалық 
денелердің арақашықтығы бірдей болады, яғни 
'
12
12
r
r



 
Бұдан  кез  келген  екі  нүктенің  арақашықтығы,  кезкелген  санақ 
жүйесіне қатысты өзгермейтіндігін көреміз 
       
2
2
2
2
dz
dy
dx
dr



=тұр 
Осы  постулатардың  үшеуі  де  тек  қана  классикалық 
механикада орындалады. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
9 
II – ТАРАУ 
 
КИНЕМАТИКА 
 
 
Механиканың кинематика бөлімінде денелердің қозғалысын сол 
қозғалысты  тудыратын  себептерге  байланыссыз  қарастырады. 
Қарастырып  отырған  денелер  моделіне  байланысты  кинематиканы 
бөлшектер  (нүктелер)  және  қатты  денелер  кинематикасы  деп 
бөлуге  болады.  Денелердің  кинематикалық  сипаттамасына  мыналар 
жатады:  
1.
 
Қозғалыс теңдеуі (қозғалыс заңдары); 
2.
 
Қозғалыстың траекториясы; 
3.
 
Қозғалыс жылдамдығы; 
4.
 
Қозғалыс үдеуі. 
Осыларды  анықтау  денелердің  кинематикалық  заңдылықтарын 
табу болады. 
 
БӨЛШЕКТЕРДІҢ КИНЕМАТИКАЛЫҚ СИПАТТАМАСЫН 
АНЫҚТАУ ӘДІСТЕРІ 
 
 
Бөлшектердің (жалпы денелердің) кинематикалық сипаттамасын 
анықтаудың  үш  әдісі  бар:  векторлық,  координаттық  және  табиғи 
әдіс. Енді осыларға жеке-жеке тоқталайық. 
 
§1. Векторлық әдіс 
 
Қарастырылып отырған М нүктенің қозғалысын, бас нүктесі бір 
О  нүктесіне  бекітілген  декарттық  координаттар  жүйесіне  қатысты 
қарастырайық.Координаттың  бас  нүктесінен  қозғалыстағы  нүктеге 
бағытталған түзу жүргіземіз. 
Ол  түзуді  сол  нүктенің 
радиус-векторы  деп  атаймызда 
r

 
деп  белгілейміз.  Нүкте  қозғалған 
кезде  оның  радиус-векторы  уақыт 
бойынша  өзгеріп  отырады.  Оны 
математикалық 
түрде 
былай 
жазады: 
 
t
r
r



                    (1) 
Осындай 
функционалдық 
қатысты  қозғалыс  теңдеуі  немесе  қозғалыс  заңы  деп  атайды. 
Қозғалыстағы  нүктенің  әрбір  уақыт  мезетіне  сәйкес  өзінің  радиус-
векторы  болады.  Осы  радиус-векторлардың  әрқайсысының  ұштарын 
бастыра  қисық  жүргізсек  ол  KML  траекториясымен  сәйкес  келеді. 
Осылай  анықталған  траекторияны  радиус-вектордың  годографы  деп 
атайды (1-сурет). 

 
10 
 
Қозғалыстағы  нүктенің  келесі  кинематикалық  сипаттамасы 
жылдамдық, ол векторлық шама.  
 
Жылдамдық  векторы  дегеніміз  бірлік  уақыт  ішіндегі  радиус-
вектордың  өзгерісін  сипаттайтын  шама.  Басқаша  айтқанда 
o
t


 
ұмтылғанда 
t
r



 қатынасының ұмтылатын шегіне тең шама 

  
dt
r
d
t
t
r
t
t
r
t
r
t
t


















0
0
lim
lim

                             (2) 
1-  суреттен 
o
t


 ұмтылғанда 

1
ММ
доғаны  керіп  тұрған 
1
ММ
 
хордасы  М  нұктесіне  түсірілген  жанамамен  бағыттас  болуға 
ұмтылады. 
 
Сондықтан жылдамдық векторы траекторияға жанама бойымен 
бағытталады  да,  былай  анықталады 







,  мұндағы 


траекторияға 
түсірілген жанаманың бірлік векторы.  
 
Егер қозғалыс траекториясы түзу сызық болса, онда жылдамдық 
бағыты  өзгермейді,  оның  модулы  ғана  өзгеруі  мүмкін.  Жалпы 
жағдайда  нүкте  қозғалысының  жылдамдығы  бағыты  бойныша  да 
шамасы  бойынша  да  өзгереді.  Қисық  сызықты  қозғалыс  кезінде 
жылдамдықтың  модулі  өзгермей  бағыты  ғана  өзгерсе,  онда  оны 
шеңбер бойымен бір қалыпты қозғалады дейді. 
 
Өңдеу  векторы  деп,  бірлік  уақыт  ішіндегі  жылдамдық 
векторының  өзгерісін  айтады,  басқаша  айтқанда 
o
t


 ұмтылғанда, 
t




 қатынасының ұмтылған шегін айтады, яғни  


 























dt
d
t
t
t
t
t
w
t
0
lim
                       (3) 
Егер 2-суреттегі жылдамдық векторын өзіне-өзін параллель етіп 
кеңістіктің  бір 
P
 нүктесіне  көшіріп,  осы  жылдамдық  векторларының 
ұштарын  қосатын болсақ бір қисық сызық аламыз, оны  жылдамдық 
векторының  годографы  деп  атайды  (3-сурет). 
o
t


ұмтылғанда 

1
KK
 доғасын  керіп  тұрған 
1
КК
 хордасы 
1
K
 нүктесіне  түсүрілген 
жанаманың бойымен бағытас болуға тырысады.  
Сондықтан                           






w
w
                                             (3’) 
 
Мұндағы 



 жылдамдық  годографына  жүргізілген  жанаманың 
бірлік векторы.  
 

 
11 
 
Нүкте  қозғалыс  заңын  анықтау  үшін  координаттық  әдістің  үш 
түрі қолданылады. 
1.
 
Тік бұрышты декардтық координат 
2.
 
Цилиндрлік координат 
3.
 
Сфералық координат 
Осы әдістерді жеке-жеке қарастырайық. 
 
§2. Декардтық координат әдісі 
 
 
Қозғалыстағы 

 материалдық  нүктенің  қозғалысын  oxyz  тік 
бұрышты  декардтық  координат  өсіне  қатысты  қарастырайық  (2- 
сурет).  Нүкте  қозғалған  кезде  оның  x,y,z  координаталары  уақытқа 
байланысты өзгеріп отырады. Яғни, 
 
t
x
x

, 
 
t
y
y

,  
 
t
z
z

                                  (4) 
Осы  (4)  өрнекті  нүктенің  қозғалыс  заңы  немесе  қозғалыс 
теңдеуі деп атайды. Осы қозғалыс теңдеуі нүктенің траекториясының 
параметрлік  теңдеуі  де  болып  табылады,  өйткені  (4)-ші  теңдеуден 
уақытты  жою  арқылы  нүктенің  траекториясының  теңдеуін  табуға 
болады. 
Мысалы:                                   
t
x


sin

, 
t
y


cos

 
нүкте қозғалысының теңдеуі болсын. Сонда осы теңдеудің екі жағын 
квадраттап өзара қоссақ 
2
2
2
a
y
x


,  бұл  траекторияның  (шеңбердің) 
теңдеуі. 
Нүктенің 
r

 радиус-векторын,  кез  келген  вектор  сияқты  оның 
ox,oy,oz  координат  өстеріне  түсірілген  проекциялары  x,y,z  арқылы 
жазуға болады.  
z
k
y
j
x
i
r







                                            (5) 
мұндағы 
oz
oy
ox
k
j
i
,
,
,
,




 өстерінің бірлік векторлары. 
 
(5)-ші  өрнекпен  анықталатын  радиус-вектордан  (2)  және  (3) 
өрнектерге  сәйкес  уақыт  бойынша  туынды  ала  отырып,  нүктенің 
жылдамдығы мен үдеуін былай анықтауға болады. 
z
k
y
j
x
i
r













,                                           (6) 
z
k
y
j
x
i
r
w
















.                                           (7) 

 
12 
(6)  мен  (7)-ші  өрнектен  жылдамдық  векторымен  үдеу 
векторының проекцияларын былай табамыз, 
,
,
,
z
y
x
z
y
x









                                        (8) 
z
w
y
w
x
w
z
y
x









,
,
.                                       (9) 
Егер  кез  келген  вектордың  координат  өсіне  проекциялары 
белгілі  болса,  онда  ол  вектордың  шамасы  мен  бағытын  анықтауға 
болады.  
Жылдамдық  векторы  мен  үдеу  векторының  шамасы  былай 
анықталады: 
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x













.                            (10) 
2
2
2
2
2
2
z
y
x
w
w
w
w
z
y
x












.                           (11) 
 
Жылдамдық  векторы  мен  үдеу  векторының  бағытын  анықтау 
үшін  олардың  бағыттағыш  косинустарын  анықтауымыз  керек.  Ол 
былай анықталынады, 


x
x









^
cos
                                
w
x
x
w










^
cos
 


y
y









^
cos
            (12)             
w
y
y
w
соs




)
(
^
                    (13) 


z
z









^
cos
                                
w
z
z
w










^
cos
 
 
§3. Цилиндрлік координат әдісі 
 
Қозғалыстағы нүктенің кинемати-
калық 
сипаттамаларын 
цилиндрлік 
коор-динат  әдісімен  де  анықтауға 
болады.  Мұнда  кеңістіктегі  нүктенің 
қозғалы-сын  мынандай  үш  скалярлық 
шамалар-мен анықтайды. 
 
 
 
t
z
z
t
t



,
,




        (14) 
Осындай функционалдық тәуелді-
лікті  цилиндрлік  координаттағы  қозға-
лыс  теңдеуі  деп  атайды.  Нүктенің 
радиус-векторын 
цилиндрлік 
координаттар арқылы былай өрнектеуге болады. 
k
z
e
r







, 
2
2
z
r



                                    (15) 
 
4-суретте  көрсетілген 


k
e
e
r



,
,

 -  цилиндрлік  координат  өсінің 
бірлік  векторы  немесе  орта  деп  аталады.  Нүктенің  декарттық 
координаттары мен цилиндрлік координаттары арасындағы байланыс 
былай өрнектеледі: 

 
13 
z
z
y
x









sin
cos
                                             (16) 
Олардың бірлік векторларының арасындағы байланыс 


sin
cos
j
i
e
r





 



cos
sin
j
i
e






                                       (17) 
Осы  (17)  өрнектең  цилиндрлік  координаттың  бірлік  векторы 
айнымалы  шама  екенін  көреміз.  Олар  бағыты  бойынша  өзгереді. 
Сондықтан (17)-ші өрнектен туынды алсақ, онда 







e
j
i
e
r










cos
sin
 
(18) 


r
e
j
i
e
















sin
cos
 
 
Қозғалыстағы  нүктенің  жылдамдығын  анықтау  үшін  (15)-ші 
өрнекпен  анықталатын  радиус-вектордан  уақыт  бойынша  туынды 
аламыз. Сонда 
2
2
2
2
2
,
z
k
z
e
e
r
r



























                      (19) 
 
Осыдан  цилиндрлік  координат  өстеріне  түсірілген  жылдамдық 
векторының  проекцияларын былай анықтауға болады. 




 
z
k
e
e
z
r
r





























                                      (20) 
Мұндағы 
r

 - жылдамдық векторының радиалдық құраушысы, 
                           


 - көлденең құраушысы, 
                           
z

 -  акциалдық  құраушысы  деп  аталады.  Егер 
жылдамдық  векторының  проекциялары  белгілі  болса,  онда 
жылдамдықтың шамасы былай анықталады: 
2
2
2
2
2
2
2
z
z
r

















                          (21) 
Енді  осы  сияқты  қозғалыстағы  нүктенің  үдеуін  цилиндрлік 
координатта  табу  үшін  (19)  өрнекпен  анықталатын  жылдамдық 
векторынан  уақыт  бойынша  туынды  алып,  (18)-ші  өрнекті  ескере 
отырып үдеу векторының құраушыларын  былай анықтаймыз. 
z
w
w
w
z
r














,
2
,
2








                           (22) 
Осыдан үдеу векторы 




k
z
e
e
w
z


























2
                            (23) 
Сондықтан толық үдеудің шамасы 
2
2
2
z
r
w
w
w
w




                                      (24)  
өрнегімен анықталады. 
 
Егер  z  нөлге  тепе-тең  болса, 


0

z
 онда  цилиндрлік  координат 
полярлық  координатқа  көшеді  де  нүктенің  жазық  қозғалысын 
сипаттайды.  Нүктенің  жазық  қозғалысы  (r, 

)  -  координаталармен 

 
14 
анықталады,  олар  уақыт  өзгерісіне  байланысты  өзгеріп  отырады, 
сондықтан  
 
 
t
t
r
r




,


                                          (26) 
Осы  (26)  -шы  өрнек  полярлық  координаттар  әдісі  бойынша 
нүктенің  жазық  қозғалысының  теңдеуі  деп  аталады.  Осыдан 
уақытты жою арқылы нүктенің траекториясын анықтаймыз,  
)
(

r
r

                                               (27) 
(27)-ші  теңдеу  полярлық  координаттар  әдісіндегі  нүктенің 
жазық қозғалысының траекториясы болып табылады.