§11. Тұйық емес механикалық жүйенің

 
64 
 
 


 
ij
i
n
j
e
i
i
i
i
F
r
F
r
P
r
dt
d













/
1
. 
 
Осындай  теңдеуді  қарастырып  отырған  жүйенің  барлық 
нүктелері үшін жазып, шыққан теңдеулерді сәйкес бір-біріне қосатын 
болсақ, онда 
 
 


 


















n
i
ij
i
n
j
n
i
e
i
i
n
i
i
i
F
r
F
r
P
r
dt
d
1
/
1
1
1






. 
(64)  өрнек  бойынша  осы  теңдеудің  оң  жағындағы  соңғы 
қосынды нольге тең, осыдан: 
 


 









n
1
i
e
i
i
n
1
i
i
i
F
r
P
r
dt
d




. 
немесе                                          
N
dt
L
d



.                                              (67) 
Мұндағы                                
 






n
1
i
e
i
i
F
r
N



                                          (68) 
сыртқы  күштер  моментінің  бас  векторы  деп  аталады.  (67)  өрнек 
тұйық  емес  жүйе  үшін  импульс  моментінің  өзгерісін  анықтайды. 
Мұны  былай  қорытындылауға  болады:  импульс  моментінен  уақыт 
бойынша  алынған  туынды  сыртқы  күштер  моментінің  бас 
векторының  геометриялық  қосындысына  тең.  Осы  импульс 
моментінің өзгерісі туралы теореманың векторлық түрі болады. 
 
§12. Сыртқы күштер өрісінің симметриялылығы және  
тұйық емес жүйенің импульс моменті векторының кейбір 
құраушыларының сақталуы туралы теорема 
 
 
Біз  өткен  тақырыпта  тұйық  емес  жүйенің  импульс  моментінің 
сақталмайтындығын, 
оның 
өзгерісі 
(67) 
өрнек 
бойынша 
анықталатындығын көрдік. Бұдан тұйық емес жүйелер үшін импульс 
моменті  векторының  барлық  құраушыларыныңда  сақталмайды  деген 
қорытынды  шықпайды.  Шынында  да  сыртқы  күштер  өрісінің 
симметриясына байланысты кейбір дербес жағдайда импульс моменті 
векторының  кейбір  құраушыларының  сақталуы  мүмкін.  Мынандай 
дербес  жағдайды  қарастрайық.  Қарастырып  отырған  жүйеге  әсер 
ететін сыртқы күш потенциалды болсын. Басқаша айтқанда  
 
 
i
e
i
e
i
r
U
F






.                                         (69) 
Сонда бұл күштің моменті (68) -өрнек бойынша 

 
65 
 













n
1
i
i
e
i
i
r
U
r
N



.                                      (70) 
Осы векторлық теңдеудің oz -өсіне проекциясын жазайық, 
 
e
i
n
i
i
i
i
i
z
U
x
y
y
x
N















1
.                                 (71) 
 
Осы  жазылған  өрнекті  есептеу  үшін  (x
i
,
 
y
i
,  z
i
)  координаталарға 
тәуелді 


i
i
i
z
y
x
,
,

 функциясын  қарастырайық  және  осы  функциядан 
кез келген бір φ
z
 -бұрышы бойынша туынды алайық, 


z
i
i
z
i
i
z
i
i
z
i
i
i
z
z
y
y
x
x
z
y
x

























,
,
.                      (71
/
) 
Мұндағы  φ
z
  -бұрышы  тұтас  механикалық  жүйені  oz  өсінен 
бұрғандағы бұрыш.  
Ψ(x
i
,
 
y
i
, z
i
) функциясынан φ
z
  арқылы  туынды  алу  үшін  (x
i
,
 
y
i
, z
i
) 
декарттық  координаталар  және 


z
i
i
,
,
r



 сфералық  координаталар 
арасындағы мынандай қатысты пайдаланамыз, 











.
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
i
i
i
z
i
i
i
z
i
i
i
r
z
r
y
r
x


                                       (72) 
Сонда  
.
0
,
cos
sin
,
sin
sin

















z
i
i
z
i
i
z
i
i
z
i
i
z
i
z
x
r
y
y
r
x





 
Осы, соңғы өрнектерді пайдаланып, (71
/
)өрнектен мынаны табамыз, 

















i
i
i
i
z
x
y
y
x
. 
Осы теңдеудің екі жағын ψ -ға қысқартсақ, 
i
i
i
i
z
x
y
y
x









. 
Осы табылған өрнекті (71) -өрнекке қойсақ, 
 
 
 
z
e
n
i
e
i
z
n
i
z
e
i
z
U
U
U
N

























1
1
.                        (73) 
Тұйық  емес  механикалық  жүйенің  импульс  моменттерінің 
өзгерісін көрсететін (67) -векторлық теңдеудің oz -өсіне проекциясын 
жазсақ, онда 

 
66 
 
z
e
z
z
U
N
dt
dL






.                                        (74) 
Осы  қарастырылып  отырған  жағдайда  біз  тұтас  механикалық 
жүйені  oz  өсінің  айналасында  φ
z 
  -бұрышына  бұрдық  деп  есептедік. 
Осы  сияқты  біз  тұтас  механикалық  жүйені  ox,  oy  өсьтерінің 
айналасында  да  белгілі  бір  бұрышқа  бұра  аламыз.  Сондықтан  (74)  -
тендеуді жалпылама түрде былай жазуға болады, 
 
,
U
dt
dL
e







       (α = x , y , z).                               (75) 
Осыдан  мынандай  теорема  тұжырымдауға  болады:  егер  сыртқы 
потенциалды  күш  өрісінде  тұрған  тұтас  механикалық  жүйені  кез 
келген  бір  α  өсінің  айналасында  белгілі  бір  бұрышқа  бұрған  кезде, 
оның  потенциалдық  энергиясы  өзгермейтін  болса  (
 
0
U
e





),  онда 
бұл  жүйенің  импульс  моменті  векторының  осы  α  өсіне  проекциясы 
тұрақты шама болады. (L
α
 =тұр). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
67 
VI ТАРАУ 
 
АНАЛИТИКАЛЫҚ МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ 
 
 
Классикалық механикада біз негізінен еркін материалдық нүкте 
немесе 
берілген 
еркін 
механикалық 
жүйелер 
қозғалысын 
қарастырдық. Еркін материалдық нүкте қозғалысы деп, қозғалысы 
тек  қана  берілген  алғы  шарттармен  және  тікелей  әсер  етуші  күшпен 
анықталатын  материалдық  нүктенің  қозғалысын  айтады.  Еркін 
механикалық  жүйе  деп,  әрбір  нүктенің  радиус-векторы  және 
жылдамдықтары  берілген  алғы  шарттармен  және  тікелей  әсер  етуші 
күшпен  анықталатын  материалдық  нүктелер  жүйесін  айтамыз.  Еркін 
материалдық  нүкте  мен  еркін  механикалық  жүйенің  қозғалыстары 
Ньютон  заңдарына  бағынады.  Классикалық  механикада  біз  осыны 
қарастырдық.  Табиғатта  кездесетін  материалдық  нүкте  мен  
материалдық  нүктелер  жүйесі  (механикалық  жүйе)  еркін  болмайды. 
Сондықтан біз енді еркін емес материалдық нүктенің және еркін емес 
нүктелер жүйесінің қозғалысын қарастыруға көшеміз. 
 
§1. Байланыстар және олардың классификациясы.  
Жүйенің еркіндік дәрежесі. Белсенді күштер және байланыстар 
реакциясының күші 
 
Еркін  емес  материалдық  нүкте деп, қозғалысы берілген алғы 
шарттарға  және  тікелей  әсер  етуші  күшке  байланыссыз  шектелген 
материалдық  нүктені  айтады.  Еркін  емес  немесе  байланысқан 
механикалық  жүйе  деп,  әрбір  нүктелердің  радиус-векторын  және 
жылдамдықтарын 
байланыстыратын 
қосымша 
шарттар 
мен 
шектелетін материалдық нүктелер жүйесін айтады. Жүйелердің орын 
ауыстыру бостандығын шектейтін қосымша шарттарды байланыстар 
деп  атайды.  Байланыстар  әсер  ететін  механикалық  жүйенің  орын 
ауыстыруын  және  жылдамдықтарын  шектеумен  қатар  жүйе 
нүктелерінің  траекториясында  өзгертуі  мүмкін.  Мұны  жүйеге 
түсірілген  байланыстар  тарапынан  күш  әсер  етеді  деп  қарастыруға 
болады.  Осындай  күш  байланыстар  рекциясының  күші  деп 
аталады.  Байланыстар  реакциясының  күші-механикалық  жүйеге 
түсірілген байланыстардың әсерін алмастыратын күш. Сонымен еркін 
емес  механикалық  жүйені  құрайтын  материалдық  нүктелердің 
әрқайсысына екі түрлі  күш әсер етеді. Біріншісі-белсенділік  күш 
i
F

 
ол нүктеге әсер ететін ішкі және сыртқы күштердің қосындысына тең,  

 
68 
ij
n
j
e
i
i
F
F
F



/
1
)
(




. 
Екіншісі  –  байланыстар  реакциясының  күші,  оны 
i
R

 деп 
белгілейміз. 
Сонымен  еркін  емес  механикалық  жүйе  нүктелерінің 
қозғалысын  анықтайтын  дифференциалдық  тендеуді  былай  жаза 
аламыз: 
i
i
i
i
R
F
r
m






,                (i=1,2,…,n). 
немесе 











.
,
,
iz
iz
i
i
iy
iy
i
i
ix
ix
i
i
R
F
z
m
R
F
y
m
R
F
x
m






                                          (1) 
n – жүйені құрайтын нүктелердін саны. Байланыстар – теңдеу түрінде 
беріледі. Байланыстар теңдеуі деп, байланыстағы механикалық жүйе 
нүктелерінің  жылдамдығы  мен  координаттары  қанағаттандыратын 
теңдеуді айтады. Байланыс теңдеуін жалпы түрде былай жазады: 
).
,...,
2
,
1
(
,
0
)
;
,...,
,
;
,...,
,
(
2
1
2
1
k
t
r
r
r
f
n
n
є













 
мұндағы К –  жүйеге түсірілген байланыстар, саны. 
 
Байланыстағы  механикалық  жүйенің  қозғалысын  шектейтін 
байланыстарды  әртүлі  қасиеттеріне  қарай  мынандай  төрт  түрге 
бөледі: 
1.
 
Голономдық және голономдық емес; 
2.
 
Стационарлық және стационарлық емес; 
3.
 
¦стамды және ұстамсыз; 
4.
 
Идеалдық және реалдық. 
Голономдық  немесе  геометриялық  байланыс  деп,  тек  қана 
нүктенің  тұрған  орнын  шектейтін  және  байланыс  теңдеуі  тек  қана 
нүктенің  координатасына  және  жалпы  жағдайда  уақытқа  да  тәуелді 
болатын байланысты айтады. Оның теңдеуі мына түрде берілген, 


0
;
,...,
,
2
1

t
r
r
r
f
n




,  
   


k
,...,
2
,
1


.                              (2) 
 
Голономдық байланыс тек қана жүйенің орын ауыстыруын ғана 
шектеп қоймайды, сонымен қатар жүйенің жылдамдығын да шектейді. 
Шынында да (2) байланыс теңдеуінен уақыт бойынша туынды алсақ, 
 
0
1












dt
df
r
d
df
dt
df
n
i
i
i






,  


k
,...,
2
,
1


.                              (3) 
 
Осы  өрнек  байланыстардың  дифференциалдық  теңдеуі  деп 
аталынады.  Байланыстардың  дифференциалдық  теңдеуінен  мынаны 
аңғаруға  болады.  Байланыстар  жүйе  қозғалысының  жылдамдық 

 
69 
векторын  шектемейді,  тек  қана  онын 
i
r
d
df


 -  векторына  параллель 
құраушысын  ғана  шектейтіндігін  көреміз.  Байланыстардың  (3)  –
дифференциалдық  теңдеуін  толық  дифференциалдық  түрге  келтіруге 
болады, яғни,  


0
;
,...
,
2
1

t
r
r
r
df
n



. 
Сонан  соң  шыққан  өрнекті  интегралдауға  болады,  сондықтан 
голономдық байланысты интегралданатын байланыс деп атайды. 
 
Голономдық  емес  немесе  интегралданбайтын  байланыстар 
деп,  байланыстар  теңдеуін  (2)-өрнекке  келтіруге  болмайтын 
байланысты айтады. 
 
Стационарлық байланыс деп, уақыт өткен сайын өзгермейтін, 
яғни байланыс теңдеуіне уақыт тікелей кірмейтін байланысты айтады.  
 
Стационарлық  емес  байланыс  деп,  уақыт  өткен  сайын 
өзгеретін, яғни байланыс теңдеуі уақытқа тәуелді байланысты айтады.  
 
¦стамды  байланыс  деп,  нүктелер  жүйесінің  қозғалысына  өз 
әсерін  үнемі  сақтайтын  байланысты  айтады.  ¦стамды  байланыс 
мысалына  қозғалыс  кезінде-үнемі  белгілі  бір  жазықтықта  жататын 
денелер  қозғалысын  шектейтін  шарттарды  айтуға  болады.  ¦стамды 
байланыс  тендеу  түрінде  беріледі.  Мысалы,  егер  материалдық  нүкте 
қозғалыс кезінде  үнемі радиусы а-ға тең сфералық бетте жатса, онда 
ұстамды байланыс теңдеуі мынандай болады; 
x
2
 +y
2
+z
2 
 = a
2
. 
¦стамсыз  байланыс  деп,  белгілі  бір  уақыт  аралықтарында 
әсерін  қайталап  отыратын  немесе  тоқтататын  байланысты  айтады. 
¦стамсыз  байланыс  теңсіздік  түрінде  жазылады.  Мысалы,  егер 
материалдық  нүкте  қозғалыс  кезінде  үнемі  радиусы  а-ға  тең, 
сфераның ішкі бөліктерінде жататын болса, онда,  
x
2
+y
2
+z
2
 

 a
2
. 
 
¦стамды  байланыстар  жүйенің  еркіндік  дәрежесін  азайтады. 
Механикалық  жүйенің  еркіндік  дәрежесі  деп,  осы  жүйенің 
қозғалысын  анықтайтын  тәуелсіз  координаттар  санын  айтады.  n  – 
материалдық  нүктеден  тұратын  механикалық  жүйенің  еркіндік 
дәрежесі  S=3n.  Егер  осы  жүйеге  к  ұстамды  байланыс  әсер  ететін 
болса,  онда  мұндай  жүйенің  еркіндік  дәрежесі  S=3n-k.  Басқаша 
айтқанда ұстамды байланыс жүйенің еркіндік дәрежесін кемітеді. 
 
Идеалдық және реалдық байланыстардың толық анықтамаларын 
беру  үшін  осы  байланыстардың  кейбір  геометриялық  қасиеттерін 
білуіміз  қажет.  Оны  келесі  тақырыптарда  қарастыратын  боламыз. 
Қазір біз идеалдық және реалдық байланыстардың анықтамасын  тек 

 
70 
қана  белгілі  бір  бетте  немесе  түзудің  бойымен  қозғалатын 
материалдық нүкте үшін берейік. 
 
Егер  байланыс  реакциясының  күші,  нүкте  қозғалатын  бетке 
немесе  түзуге  түсірілген  нормаль  бағытымен  бағытталатын  болса, 
ондай  байланысты  идеалдық  байланыс  деп  атайды.  Егер  байланыс 
реакциясының  күші  нүкте  қозғалатын  бетке  немесе  қисыққа 
түсірілген  нормальдың  бағытына  бұрыштай  бағытталатын  болса, 
ондай байланысты реалдық байланыс деп атайды. 
 
§2. Байланысқан механикалық жүйелер 
 қозғалысының жалпы теңдеуі  
 
 
Еркін қозғалатын механикалық жүйелердің жалпы есебі сияқты 
(тура  және  кері  есептер)  еркін  емес  механикалық  жүйе  қозғалыс 
заңдары  туралы  да жалпы  динамикалық  есеп  тұжырымдауға  болады. 
Еркін емес механикалық жүйе қозғалысы туралы жалпы динамикалық 
есепті былай тұжырымдауға болады. 
 
Белгілі  бір  белсенді  күш 
i
F

 және  берілген  байланыстар 
теңдеуі  бойынша  жүйенің  қозғалыс  заңын  және  байланыстар 
реакциясының  күшін 
i
R

 табуға  болады.  Бұл  есеп  байланыстар 
теңдеулері  мен  жүйе  қозғалысының  дифференциалдық  теңдулерін 
біріктіріп шешу арқылы анықталады, яғни, 






,
,...,
2
,
1
.
0
;
,...,
,
,
,...,
2
,
1
.
2
1
k
t
r
r
r
f
n
i
R
F
r
m
n
i
i
i
i















                             (4) 
Мұндағы  n- жүйені құрайтын нүктелер саны, 
 
        k- жүйеге түсірілген байланыстардың саны. 
(4)-өрнекпен  анықталынатын  теңдеулер  жүйелерінің  саны  (3n+k)-ға 
тең,  ал  осы  теңдеулер  жүйесін  шешу  арқылы  анықтайтын 
белгісіздердің  саны  6n,  олар  3n-  белгісіз  координаталар  және  3n- 
реакция күшінің проекциялары. Сонымен, жалпы жағдайда (k<3n), ал 
анықтауға  тиісті  белгілісіздердің  саны  6n,  берілген  теңдеулер 
жүйесінің  санынан  көп:  6n>(3n+k).  Сондықтан,  математикалық 
тұрғыдан қарастырғанда берілген есеп анықталмаған деп аталады. Бұл 
есепті шешудің мынадай екі түрін көрсетуге болады. 
1.
 
Жүйеге түсірілген байланыстардың идеалдылығынан және 
жүйе  нүктелерінің  координаталарымен  байланыстар  реакциясы 
күшінің  арасыңдағы  байланыстардан  шығатын  (3n-k)  қатыстарды 
пайдаланып,  (4)  -  өрнекпен  анықталатын  теңдеулер  жүйесін 
толықтырады,  шыққан  теңдеуді  Лагранж  теңдеуінің  бірінші  түрі  деп 

 
71 
атайды. Осы теңдеулерден жүйе нүктелерінің координаталарын және 
байланыстардың реакция күшін табуға болады. 
2.
 
(4) 
- 
теңдеулер  жүйесін  (3n-k)  тәуелсіз  немесе 
жалпыланған  деп  аталынатын  координаталар  арқылы  өрнектелген 
байланыстар  реакциясының  күші  тікелей  кірмейтін,  Лагранж 
теңдеуінің  екінші  түрі  деп,  аталынатын  дифференциалдық 
теңдеулермен алмастаруға болады. Сонда осы теңдеуден ең алдымен 
жүйе  нүктелерінің  қозғалыс  заңын  анықтайтын  теңдеуді  табамыз  да, 
содан кейін (4) - теңдеулер жүйесінен белгісіз байланыстар реакциясы 
күшін анықтаймыз.    
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: