Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері

 
119 
мұндағы 
E


.  Эллиптикалық  орбитаның  кіші  жартылай  өсі 
бөлшектің  ε  энергиясынан  қалайша  тәуелді  болса,  солайша  оның  L 
механикалық моментінен де тәуелді болады, ал үлкен жартылай өсі – 
тек  энергиядан.  Сондықтан  энергияның  берілген  осы  мәнінде 
бөлшектің  механикалық  моменті  неғұрлым  кіші  болса,  соғұрлым 
оның эллиптикалық орбитасы жинақы (сплюшена) болады (12-сурет).  
 

-бөлшектің  өрістің  центріне  дейінгі  ең  үлкен  және  ең  кіші 
арақашықтығын  (немесе  оның  траекториясының  перицентрі  мен 
апоцентрінің координаттары) 
)
1
(
1
),
1
(
1
max
min












a
p
r
a
p
r
                (36) 
өрнектерімен анықтауға болады. 
 
(35), (36) формулалары көмегімен 
3
2
а
Т
 қатынасын есептеуге 
және Кеплердің үшінші заңының орындалуын тексеруге болады. 

-
бөлшек үшін көрсетілген қатынас 



2
3
2
4

a
T
.                                       (37) 
 
Енді  «Планета  –  Күн  »  жүйесін  қарастырайық.  Осы  жүйе үшін 
2
1
m
Gm


, мұндағы m
1
 – планетаның массасы, ал m
2
 – күннің массасы. 
2
1
m
m

 жағдайы үшін (


2
m
 және күн қозғалмайды деп есептеуге 
болады)  жүйенің  келтірілген  массасы 
1
m


және  a=a
1
,  мұндағы  а
1
  – 
планетаның  эллиптикалық  орбитасының  үлкен  жартылай  өсі.  (37)-
теңдігінде көрсетілген μ, 

 және а мәндерін қойғанда: 


2
2
3
2
4
Gm
a
T

тұрақты                            (38) 
бұл өрнектен 
3
2
а
Т
 қатынасының осы жуықтауы күндік жүйенің барлық 
планеталары үшін бірдей екендігі көрініп тұр. 
 
Енді  осы  Күннің  қозғалысын  ескеретін  болсақ  (m
2
  шексіздікке 
ұмтылмайды), онда  
2
1
2
1
2
1
1
1
,
m
m
m
m
m
m
m
a





                             (39) 
алу керек. Осы жағдайда 
3
2
а
Т
 қатынасы мынадай болады 
 
 
 
 

 
120 
 
.
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
3
1
2
3
2
1
2
3
2
3
2
1
3
1
2
































m
m
Gm
m
m
Gm
a
T
немесе
m
m
a
T
m
m
a
T





                   (40) 
Осыдан Кеплердің алғашқы екі (32), (4) заңдарына қарағанда үшінші 
заң (38) үлкен дәлдікпен алынғанмен жуықтап алынады. 
 
E>0  болғанда 
r
r
U



)
(
 өрісіндегі 

-бөлшектің  қозғалысы 
өрістің  центрін  орап  өтетін  гиперболалық  траекториялар  (13-сурет) 
бойымен өтеді.       
 
Осындай  траекториялардың  асимптоталары  ОМ
1
  және  ОМ
2
 
сәулелеріне  параллель  түзулер  болады.  Осы  сәулелер  Ох  полярлық 
өсінің  бағытымен 



1
arccos
2
,
1


 бұрыштарын  құрайды.  Өрістің 
центріне дейінгі ең кіші арақашықтықты 
E
a
a
p
r
2
),
1
(
1
min








                            (41) 
 
E=0  болғанда  (41)-канондық  қиманың  эксцентриситеті  бірге 
тең.  Бұл 

-бөлшектің  қозғалысы  асимптоталары  Ох  өсіне  параллель 
(



2
,
1
)  болатын,  параболалық  траектория  бойымен  өтетінін  көруге 
болады.  Және  де  осы  параболалық  траекторияның  перицентрінен  О 
нүктесіне  дейінгі  қашықтық 
2
min
p
r

 тең.  Кулондық  тартылыс 
өрісіндегі  осы  инфинитивті  қозғалыс  орындалады,  егер 

-бөлшек 
шексіз  алыс  орналасқан  нүктеден  v(0)=0  бастапқы  жылдамдықпен 
қозғалатын болса. 
 
Енді  Кулондық  тебіліс  өрісіндегі 

-бөлшектің  қозғалысын 
қарастырайық. Осы өрісте бөлшектің потенциалдық энергиясы 
М
1 
М
2 
Р 
О 
у 
х 
1

 
2

 
13-сурет 
Р 
1

 
2

 
у 
х 
О 
14-сурет 
 

 
121 
)
0
(
)
(




r
r
U
.                                      (42) 
 
Жоғарыда  көрсетілгендей  осы  жағдай  үшін  толық  энергиясы 
E>0 болатын инфинитивті қозғалыс ғана орындалады. Осыған сәйкес 
траекторияның  теңдеуін  табу  үшін  (15)-жалпы  формуласына  қайта 
оралу  керек.  Сонымен  қатар  барлық  аралық  есептеулер  Кулондық 
тартылыс  өрісіндегі 

-бөлшектің  қозғалысын  қарастырғанда 
жасалынған амалдар қайталанылады. Нәтижесінде 


cos
1



r
p
                                      (43) 
өрнегін аламыз, мұндағы р және ε параметрлері (34)-формулаларымен 
анықталынады. 
 
(43)-теңдеуі  (42)-өрісіндегі 

-бөлшектің  траекториясы  өрістің 
центрінің жанынан өтетін гипербола болады (14-сурет). Осы жағдайда 
өрістің центрі гиперболаның сыртқы фокусымен сәйкес келеді. 
 
§4 Рунге-Ленц векторы және Кулондық өрістің «жасырын» 
симметриясы 
 
 
Жоғарыда  алынған  Бертран  теоремасы  орталық-симметрия 
өрісітерінің  ішінен 
r


 Кулондық  өріс  пен 
2
2
kr
 үш  өлшемді 
изотропты  осциллятордың  өрісіне  ерекше  көңіл  бөледі:  егер  кез 
келген 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісінде  бөлшектің  финиттік 
қозғалысы жалпы жағдайда (яғни E және L-дің кез келген мәндерінде) 
розетка  тәріздес  траектория  бойымен  өтетін  болса,  онда  көрсетілген 
өрісте ол тұйық эллиптикалық орбиталар бойымен қозғалысқа келеді. 
r


 және 
2
2
kr
 өрістерінің  көрсетілген  ерекшеліктері  кванттық 
механикалық  жағдайда  да  сақталады.  Кванттық  механика  кез  келген 
сфералы-симметриялы 
шұңқырда 

-бөлшектің 
(мысалы, 
2
2
)
(
r
A
r
e
r
U



 потенциалдық  энергияға  ие  болатын,  сілтілік  литий 
металының  атомындағы  электронның)  энергия  деңгейлерінің 
байланысқан  күйлері  m  және  l  екі  кванттық  сандарының  функциясы 
болатындығын көрсетеді, яғни E
nl
=f(n, l), мұндағы n – негізгі кванттық 
сан  (немесе  атомның  электрондық  бұлтшасы)  және  l  –  электронның 
)
1
(


l
l
L

 орбиталдық 
механикалық  моментін  анықтайтын 
орбитальдік  кванттық  сан  (мұндағы 


2
h

 Планк  тұрақтысы).  Сутек 

 
122 
атомының  энергетикалық  деңгейіндегі  электронның  потенциялдық 
энергиясы 
r
e
r
U
2
)
(


 болатын  болса,  онда  бұл  деңгейлер  бір  ғана  n 
кванттық  санына  тәуелді  болады,  яғни  E
n
=f(n).  Бұл  дегеніміз  сутек 
атомы  бірдей  n,  бірақ  әртүрлі  l  кванттық  саннан  тұратын  бірнеше 
байланысқан  күйлерде  E
n
  энергияға  ие  болады.  Осыған  байланысты 
r
r
U



)
(
 кулондық өрістегі электрон энергия деңгейі l орбитальдық 
кванттық  сан  бойынша  кездейсоқ  азғындалу  құбылысы  орындалады 
деп  айтуға  болады.  Энергия  деңгейінің  осындай  болуы,  сонымен 
қатар, үш өлшемді изотропты (біртекті) осцилляторда да көрінеді.  
 
Енді  біз  «кулондық  өрістің  осы  көрсетілген  ерекшелігі  неге 
негізделген?» деген сұраққа жауап беріп көрейік. Тек кулондық өрісте 
бөлшектің қозғалысы кезінде ғана 
E
 және  L

 шамаларымен қатар  
 
)
(r
U
r
L
v
A






                                       (44) 
 
Рунге-Ленц  векторы  деп  аталатын  векторлық  шама  да 
сақталуы мүмкін екендігін көрсетейік. 
 
А

 векторының сақталуы үшін  
 
0




dt
dU
r
U
v
L
v
dt
A
d





                                  (45) 
орындалуы керек. 
 
Бөлшектің қозғалысының теңдеуін  
r
r
dr
dU
v





                                            (46) 
және 
L

 векторының анықтамасын пайдалана отырып, 
 
 


dr
dU
r
v
dt
dU
v
r
r
r
v
r
v
v
v
r
v
r
v
L
v























)
(
)
(
)
(



      (47) 
болатындығын көрсетуге болады. 
 
Осыған қоса  
dt
dU
v
r
r
r
U
r
dt
dU
)
(
1








                                    (48) 
екендігі анық. 
 
(44)-теңдігіне (45), (46)-өрнектерін қою арқылы, (44)-шарты  
0


dr
dU
r
U
                                           (49) 
болып өзгереді. 
 
Көрсетілген  шартты  қанағаттандыратын 
)
(r
U
 потенциалдарды 
k
r
U

 түріндегі  функциялардың  арасынан  іздеп  көрелік;  сонымен 
қатар (49)-теңдігі былайша өзгереді r
k
+(
1+k)=0, мұндағы k=-1. Демек, 

 
123 
(46)-шартын  қанағаттандыратын  бір  ғана  потенциал  бар,  ол  - 
r
r
U



)
(
 кулондық потенциал. 
 
Сонымен,  кулондық  өрісте  қозғалатын  бөлшек  үшін 
E
энергия 
және 
L
импульс моментімен қатар Рунге-Ленц векторы да сақталады 
 
r
r
L
A








.                                        (50) 
 
А

 векторының  абсолют  мәнін  табамыз.  Ол  үшін  алдын  ала 
 
L



 
векторының  цилиндрлік  координаттар  жүйесінің  өсіне  проекциясын 
жазамыз: 
 





e
L
r
e
L
r
L
r
r
e
e
e
L
r
k
r














0
0
0
.                         (51) 
Осыдан  



e
L
r
e
L
r
A
r








)
(
                               (52) 
болатындығы көрініп тұр, демек 



















r
L
r
L
L
Lr
L
L
r
L
r
A














2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



 
немесе                                
E
r
v




2
2
 
екендігін ескеріп,  
2
2
2
2
2
2
2
1













EL
A
.                                (53) 
мұндағы  ε  –екінші  ретті  қисықтың  эксцентриситеті.  Осы  себепке 
байланысты 

A

 векторын кейде эксцентриситет векторы деп атайды. 
А

 векторының  бағыты  өрістің  центрін  бөлшек  траекториясының 
перицентрімен  (немесе  егер  бөлшектің  қозғалысы  финиттік  болатын 
болса,  оның  эллипстің  үлкен  өсімен)  қосатын  түзудің  бағытымен 
сәйкес келеді. 
 
(50)-векторы 
r
r
U



)
(
 кулондық 
өрісіндегі  бөлшектің 
қозғалысының тағы бір бірінші интегралы болады. Бұл өріс 
E
және 
L
 
шамаларынан  тәуелсіз,  өйткені 
А

 және 
L

 векторлары  өзара 
перпендикуляр. 

 
124 
 
Механикалық  жүйеде  қандай  да  бір  физикалық  шаманың 
сақталуы  оның  симметриясының  салдары.  Бұл  дегеніміз  координат 
пен  уақытты  түрлендірудің  қандай  да  бір  тұтастығымен 
салыстырғандағы  қозғалыс  теңдеулері  жүйесінің  инварианттылы 
болуы.  Энергия  E және бөлшектің импульс моменттің L

 сақталуына 
әкелетін 
r
r
U



)
(
өрістің  осы  симметриясы  кеңістік  пен  уақыттың 
қасиеттерінен  шығады,  сондықтан  оны  геометриялық  симметрия 
деп атайды.  
 
r
r
U



)
(
 кулондық  өріс  осы  көрсетілген  симметриядан  басқа 
да  қосымша  симметрияға  да  ие  болатындығын  В.А.  Фок  көрсеткен 
болатын.  Бұл  симметрия  бөлшектің  финиттік  қозғалысы  кезінде 
көрінеді.  Қандай  да  бір  ξ,  η,  ζ,  χ  евклидтік  кеңістікте  болатын 
бөлшектің 
қозғалыс 
теңдеуін 
түрлендіруге 
болады. 
Осы 
координаталар  р

 импульс векторымен былайша байланысқан: 


















.
1
,
,
2
,
2
,
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0








р
р
р
р
p
p
p
p
p
p
p
p
р
р
р
р
z
y
х
       (54) 
мұндағы  р
0
  –  энергиясы 
Е -ге  тең  еркін  бөлшектің  импульсі. 
А

 
векторының  сақталуы  мен  бөлшектің  финиттік  қозғалысының 
траекториясының  тұйықтығына  әкелетін  осы  кулондық  өріс 
симметриясын  жасырын  немесе  динамикалық  симметрия  деп 
атайды.  Осындай  жасырын  симметрияға 
2
)
(
2
kr
r
U

 өрісі  де  ие 
болады. 
 
А

 векторының сақталуын қолдану кулондық өрістегі бөлшектің 
траекториясын  табу  туралы  есепті  шешудің  ең  тиімді  әдісін  береді. 
Осы  мақсатпен  (52)-өрнекті  скаляр  түрде  r

векторына  көбейтеміз  де 





)
ˆ
,
(
A
r
 деп белгілейміз; көрсетілген амал  





L
r
A

cos
                                   (55) 
теңдігіне  әкеледі,  осыдан 
2
r
L




 алмастыруын  жасаймыз  да  α-ға 
қысқартып мынаны аламыз: 





cos
1
1
1
cos
2
r
p
немесе
r
L
A





.             (56) 
 
 
 

 
125 
VIIІ ТАРАУ 
 
 
БӨЛШЕКТЕРДІҢ ШАШЫРАУЫНЫҢ 
КЛАССИКАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ 
 
 
Орталық-симметрия  күш  өрісіндегі  бөлшектердің  шашырауы 
туралы есеп бөлшектердің серпімді шашырауымен байланысты есепке 
ұқсас.  Оның  таза  классикалық  секілді,  кванттық  механикалық  шешуі 
де  бар.  Егер  шашырайтын  бөлшектердің  өлшемі  атомдікіндей  болса, 
онда  кванттық  механика  көмегімен  оның  неғұрлым  толық  шешімін 
алуға болады. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: