§15. Гамильтон теңдеулерін интегралдау әдістері

 
104 
 
Енді  (118)–қатыс  Гамильтон  теңдеулерінің  бірінші  интегралы 
болуы  үшін  қандай  шарттарды  орындау  керектігін  табайық.  Бірінші 
интегралдың анықтамасы бойынша, 


t
p
p
p
q
q
q
f
s
s
;
,...,
,
;
,...,
,
2
1
2
1
                             (119) 
функциясы,  мұндағы  р
α
  және  q
α
  айнымалылардың  орынына, 
Гамильтон  теңдеулерін  шешкенде  табылатын  р
α
 
және  q
α
 
айнымалылардың  мәндерін  қойғанда  тұрақты  болып  қалуы  керек. 
Сондытан, (119)–функциядан уақыт бойынша алынған толық туынды 
нольге тең болуы керек, яғни 
0
1


















S
p
p
f
q
q
f
t
f
dt
df







.                          (120) 
Осындағы 

q
және 

p
 айнымалылардың 
(117)–Гамильтон 
теңдеулеріне сәйкес Н Гамильтон функциясымен алмастырсақ 
,
0
1






















S
q
H
p
f
p
H
q
f
t
f
dt
df





                       (121) 
немесе 


0
,





f
H
t
f
dt
df
                                    (122) 
мұндағы 




















S
p
f
q
H
q
f
p
H
f
H
1
,





.                            (123) 
Пуассон жақшасы деп аталады.  
 
Сонымен,  кез  келген  f(q
α
,р
α
,t)  функциясы  қозғалыстың 
конондық  теңдеулерінің  бірінші  интегралы  болуының  қажетті  және 
жеткілікті шарыты 


0
,




f
H
t
f
.                                      (124) 
Егер f функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса 
0



t
f
, онда 
(H,f)=0,                                           (125) 
яғни,  f  функциясымен  Гамильтон  функциясынан  құрылған  Пуассон 
жақшасы нольге тең болу керек. 
 
Пуассон  жақшасын  пайдаланып,  (101)–Гамильтон  теңдеулерін 
q
α
  және  р
α
  айнымалыларға  қатысты  симметриалы  түрде  жазуға 
болады.  Ол  үшін  (123)–Пуассон  жақшасындағы  f  =  р
i
,  және  f  =  q
i
 
қойсақ, онда 




i
i
i
i
р
H
q
H
q
H
р
H







,
,
,
.                             (126) 
Сондықтан,  (101)–қозғалыстың  конондық  тендеуін  былай  жазуға 
болады, 

 
105 




i
i
i
i
q
H
q
р
H
P
,
,
,




,         (i = 1,2,… s).                  (127) 
 
Пуассон  жақшасын  тек  қана  Н  және  f  функциялары  үшін  ғана 
емес, кез келген қос функциялар f(q, p, t) және g(q, p, t) үшін де жазуға 
болады. Бұл жағдайда Пуассон жақшасы былай жазылады; 




















S
р
g
q
f
q
g
р
f
g
f
1
,





.                             (128) 
 
Егер  f  немесе  g  функциялары  жалпыланған  кординаттармен 
немесе жалпыланған импульстармен сәйкес келсе, онда (128)–Пуассон 
жақшасы 




k
k
k
k
q
f
р
f
р
f
q
f







,
,
,
.                               (129) 
Егер  осындағы  f  функциясы,  q
i
  және  p
i
  фукцияларымен 
алмастырсақ, онда 
(q
i
, q
k
)= (p
i
, p
k
)=0, (p
i
, q
k
) = δ
ik
,                          (130) 
мұндағы 






.
,
0
,
,
1
k
i
егер
k
i
егер
ik

                                   (131) 
(130)-өрнек  негізгі  немесе  фундаментальды  Пуассон  жақшасы 
деп аталады. 
 
Кез  келген  q
k
  және  p
k
  шамаларды  конондық  түйіндес  шамалар 
деп атайды, егер олар мынандай шартты қанағаттандырса 
(q
k
, q
k
) = (p
k
, p
k
) = 0, 
(p
k
, q
k
) = 1.                          (132) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
106 
VIІ ТАРАУ 
 
ОРТАЛЫҚ-СИММЕТРИЯ ӨРІСІНДЕГІ ҚОЗҒАЛЫС 
 
§1. Бір өлшемді (жинақы) эффективті потенциал 
 
 
Массалары 
1
m  және 
2
m
 болатын  екі  нүктелік  бөлшектердің 
арасындағы  өзара  әсерлесу  жүйесіндегі  салыстырмалы  қозғалысын 
зерттеу  сыртқы  орталық-симметрия  өрісіндегі  келтірілген  массасы 


2
1
2
1
/
m
m
m
m



 тең  бір  бөлшектің  қозғалысы  туралы  эквивалентті 
есепті  шешуге  келтіріледі.  Екі  дененің  осы  қиын  бөлігін  орталық- 
симметрия  өрісіндегі  қозғалыс  туралы  есеп  деп  атайды.  Еске  түсіре 
кетелік,  егер 
2
m

1
m = m болатын  болса,  онда  массасы 
2
m
 
қозғалмайтын  ауыр  бөлшектің  әсерінен  туатын  сыртқы  орталық- 
симметрия  өрісіндегі  m  жеңіл  бөлшектің  қозғалысы  туралы  айтуға 
болады. Екі дене туралы есептің осы дербес жағдайын қарастыратын 
боламыз. 
 
Сонымен,  орталық-симметрия  өрісіндегі  m  массалы  нүктелік 
бөлшектің  қозғалысын  қарастырайық.  Осы  өрісте  бөлшектің 
потенциалдық  энергиясының  теңдеуі 
)
(r
U
U

,  мұндағы  r  - 
бөлшектен өрістің центрі деп аталатын қандайда бір қозғалмайтын О  
нүктесіне дейінгі қашықтық. 
 
)
(r
U
стационарлы  күш  өрісіндегі  бөлшектің  қозғалысы  кезінде 
оның 
Е
 толық  механикалық  энергиясы  мен  өріс  центрімен 
салыстырғандағы  L

 импульс  моменті  сақталады.  L

 векторының 
бағытының  өзгеріссіз  сақталуы 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісіндегі 
бөлшектің қозғалысы жазық болатындығына әкеледі, яғни бөлшектің 
траекториясы  L

 векторына  перпендикуляр 
 
0

L
r


 жазықтығында 
жатады. 
 
)
(r
U
 өрісіндегі  бөлшектің  жазық  қозғалысын  сипаттау  үшін 
)
,
(

r
 полярлы 
координаттарды 
енгізейік, 
сонымен 
қатар 
координаттардың  полярлы  жүйесінің  полюсі  өрістің  О  центрімен 
ортақ,  ал  полярлық  өсті  әзірше  еркімізше  бағыттайық.  Осылайша, 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісіндегі  бөлшектің  қозғалысын  зерттеу 
)
(t
r
 және 
)
(t

 функцияларын  анықтауға  келтіріледі.  Осы  есептің 
шешуін  табудың  ең  жеңіл  жолы  мынадай:  энергия  мен  импульс 
моментінің абсолютті мәнінің сақталу заңдары арқылы 

 
107 
 












.
,
)
(
2
2
const
v
m
r
L
const
r
U
mv
Е


                                   (1) 
 
Шынында  да, 
)
,
(

r
 полярлы  координаттарды  және  r

 радиус-
векторы мен v  жылдамдық үшін бізге белгілі   
r
e
r
r



,     


e
r
e
r
v
r







.                                  (2) 







e
r
dt
d
r
e
r
r
r






)
(
1
)
(
2
2
, 
өрнектерді пайдалана отырып жоғарыдағы сақталу заңдарын мынадай 
түрге келтіруге болады: 
)
(
)
(
2
2
2
2
r
U
r
r
m
E






,                                     (3) 



2
mr
L
.                                                (4)   
 
Алынған  теңдіктер 
)
(t
r
 және 
)
(t

 белгісіз  функцияларға 
қатысты бірінші ретті дифференциялдық теңдеулерді сипаттайды. 
 
Соңғы  теңдеулер  жүйесіндегі 
)
(t
r
 және 
)
(t

 айнымалыларын 
оңай бөліп алуға болады. Шынында да соңғы теңдеудегі 

  бұрыштық 
жылдамдықты 
L
 механикалық момент арқылы өрнектеп 
2
mr
L
dt
d





,                                         (5) 
(3)-теңдеудегі  жылдамдықтың  орнына  қоямыз  да,  оны  мына 
түрде жазамыз 
)
(
2
2
r
U
r
m
E
жин



                                     (6) 
мұндағы 
2
2
2
)
(
)
(
mr
L
r
U
r
U
жин


                                  (7) 
функциясын  бір  өлшемді  жинақы  (эффективті)  потенциал  деп 
атайды.  Бұл  дегеніміз 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісіндегі  бөлшек 
қозғалысының  радиал  бөлігін,  өрісте  (7)-эффективті  потенциал 
энергиясы  бар  өрісті  бір  өлшемді  қозғалыс  деп  қарастыруға 
болатындығын  көрсетеді.  Және  де  (7)-жинақы  потенциалға  кіретін 
2
2
2mr
L
 шамасын  центрден тепкіш потенциал деп атайды. 
Расында  да,  бұл  атау  соншалықты  сәтті  қойылмаған,  өйткені 
нақты  жағдайда  көрсетілген  шама  бөлшектің  кинетикалық 
энергиясының  бөлігі  болып  табылады.  Осы  энергия  бөлшектің  өріс 
центріне қатысты айналмалы қозғалысымен байланысты. 
Әрі қарай  (6)-теңдеуінен мынаны табамыз: 

 
108 


)
(
2
r
U
E
m
dt
dr
r
жин





                               (8) 
немесе  r , 
t
 айнымалыларын бөліп интегралдау арқылы: 







0
)
(
2
t
r
U
E
m
dr
t
жин
.                               (9) 
Қозғалыстың  екінші  интегралынан  (9), 
)
(t
r
 функциясын 
анықтауға  болады,  оны  (5)  теңдеуге  қойғанда  тағы  да  бір  екінші 
интегралды алуға болады: 





0
2
)
(
)
(
t
r
dt
m
L
t
.                                 (10) 
Алынған (9) және (10)-өрнектер қозғалыстың екінші интегралдары 
бұрын  айтылып  кеткен  бөлшектің  қозғалысы  болатын  жазықтықтың 
теңдеуімен 
0




z
y
x
zL
yL
xL
r
L


                               (11) 
бірігіп,  берілген 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісіндегі  бөлшектің 
қозғалысы туралы есептің толық шешуін береді.  
Есептің  алынған  жалпы  шешулері  бастапқы  шарттармен 
анықталатын 
алты 
кезкелген 
тұрақтылардан 
тұрады, 
яғни 
)
,
,
,
,
,
(
0
0
t
L
L
L
E
z
y
x

.  (9)-теңдеудегі  интеграл  алдындағы  таңба 
)
0
(
0
r
r



 
бастапқы  радиалды  жылдамдықтың  таңбасымен  үйлесімді  болуы 
қажет.  
 
(11)-теңдеуімен  берілген  жазықтықтағы  бөлшектің 
)
(


r
r
 
траекториясының  теңдеуін  екі  тәсілмен  алуға  болады.  Біріншіден, 
кейбір  жағдайларда  мұны  (9)-  және  (10)-қозғалыстардың  екінші 
интегралдарымен  анықталатын 
)
(t
r
 және 
)
(t

 функцияларынан 
t
 
уақытты жою арқылы табуға болады. Сонымен қатар, кез келген 
)
(r
U
 
орталық-симметрия  өріс-
інде 
қозғалып 
келе 
жатқан  бөлшектің  траек-
ториясының 
теңдеуін 
квадратура түрінде жазу-
ға  болады.  Шынында  да 
(5)-  және  (8)-теңдеулер-
ден  алынған  dt  диффе-
ренциялды жою арқылы  


)
(
2
2
r
U
E
m
r
Ldr
d
жин




                                 (12) 
1-сурет 
Р 
0

 
0


 
 
            n. ось 
M
 
M

 
О 

 
109 
табамыз. Осыдан  









0
2
)
(
2
r
U
E
m
dr
r
L
жин
.                               (13) 
(13)-өрнек  кез  келген  орталық-симметрия  өрісінде  қозғалып  келе 
жатқан бөлшектің траекториясының жалпы теңдеуін береді. 
 
Енді 
)
(r
U
 орталық-симметрия  өрісінде  қозғалып  келе  жатқан 
бөлшектің  траекториясының  перицентрі  Р  болатын,  яғни  бұл 
жағдайда 
r
 айнымалысы  ең  кіші  мәнді  қабылдайтын 
0
min

r
  
жағдайды  қарастырайық.  Бұл  жағдайда 

 бұрыштарының  санағы 
жүргізілетін  полярлық  ось  ретінде  бөлшектің  траекториясының  Р 
перицентрі арқылы өтетін және апсида деп аталатын ОР түзуін таңдап 
алған  ыңғайлы  болады.Сонда  перицентрі  болатын  траекториялардың 
теңдеуі мынадай болады  
 







r
r
r
U
E
m
dr
r
L
жин
min
2
2
.                                 (14) 
 
Бұл  теңдеудегі  интегарал  алдында  тұрған  екі  таңба  сәйкес 
келетін  траекторияның  ОР  апсидасына  қатысты  симметриялы 
екендігін  көрсетеді.  Шынында  да,  траекторияның  координаттары 
)
,
(
0
0
r

 болатын  кезкелген 
М
 нүктесі  үшін  ОР  апсидасына  қатысты 
оған  симметриялы  болатын 
M

 нүктесі  бар  болады. 
M

 нүктесінің 
сәйкес  координаталары 
)
,
(
0
0


r
.
 
Сонымен  Р  перицентріне  ие 
)
(r
U
 
орталық-симметрия  өрісіндегі  бөлшектің  траекториясының  теңдеуін 
мынадай түрде жазуға болады: 
 



r
r
эфф
r
U
mE
dr
r
L
min
2
2

.                             (15) 
 
Қорытынды  ретінде,  екі  дене  туралы  есепке  ұқсас  бір  бөлшек 
туралы есепті шешуде жалпы жағдайда (
2
1
m
m

) барлық жоғарыда 
келтірілген  формулаларда 


m
 алмастыруын  жасау  керек,  ал 
өрістің  центрі 
1
m және 
2
m
бөлшектердің  массалар  центрімен  сәйкес 
келеді  деп  көрсетіп  кетуге  болады.  Сонымен  қатар,  (13)-  және  (15)-
формулалары 

-бөлшектің  траекториясын  анықтайды  (немесе 
бөлшектің  φ  полярлық  бұрыштан  бастап  алынған  r  салыстырмалы 
қашықтығының  тәуелділігін). 
1
m
және 
2
m
 нақты  бөлшектердің 
траекторияларын ц-жүйесінде анықтау үшін 

 
110 
r
m
m
m
r


2
1
2
1


, 
r
m
m
m
r


2
1
1
2



                            (16) 
формулаларын қолдану қажет. 
 
§2 Орталық-симметрия өрісіндегі қозғалысты сапалы зерттеу 
 
 
Орталық-симметрия  өрісіндегі  бөлшектің  қозғалысы  туралы 
есептің  жалпы  шешуін  таппас  бұрын  оның  сапалы  зерттеуін 
жүргізуден  бастау  дұрыс  болады,  яғни  r  координатының  өзгерісінің 
рұқсат  етілетін  немесе  тыйым  салынған  аймақтардағы  қозғалыстың 
түрін  анықтау,  рұқсат  етілетін  аймақтан  тыйым  салынған  аймаққа 
көшу  нүктесін  және  әрбір  рұқсат  етілетін  аймақтағы  қозғалыс 
сипаттамасын анықтау. 
 
Орталық-симметрия  өрісіндегі  қозғалыстың  осындай  сапалы 
талдануы  жалпы  жағдайда  L  механикалық  моменттің  белгіленген 
әртүрлі  мәндері  үшін  құрылатын  бір  өлшемді  жинақы 
)
(r
U
жин
 
потенциалдың  және  бөлшектің  толық  энергиясының  графиктері 
көмегімен жүргізіледі. 
 
)
(r
U
жин
 функцияның  және  Е  толық  энергияның  графиктері 
бойынша  алдымен  r  айнымалының  өзгеру  облысын  анықтауға 
болады.  Шынында  да,  бөлшектің  таза  радиалды  қозғалысының 
2
2
r
m 
 
кинетикалық  энергиясы  анықталған  оң  шама  болатындығынан, 
энергияның сақталу заңынан (6) төмендегі теңсіздік шығады 
0
)
(


r
U
E
жин
.                                       (17) 
 
Осы  теңсіздіктен  r  координатының  көрсетілген  өзгеру  облысы 
анықталады.  Рұқсат  етілген  және  тыйым  салынған  аймақты  бөліп 
тұратын айналу нүктелері (немесе қозғалыс шекаралары)  
)
(r
U
E
жин

.                                         (18) 
Мысал  ретінде  орталық-симметрия  өрісіндегі 

-бөлшектің 
қозғалысының  сапалы  зерттеуін  келтірейік.  Осы  өрісте  оның 
потенциялдық энергиясы мынадай 
n
r
r
U



)
(
.                                         (19) 
Зерттеу үшін (19)-потенциалдық функцияны таңдай отырып, біз 
сол  сияқты  кең  ауқымды  физикалық  есептерді  құарастырған-
дығымызды  ескерте  кетелік.  Шынында,  n=1  болғанда  (19)-функция 
кулондық  өрістегі  потенциалдық  энергияны  сипаттайды,  яғни 
тартылыс  өрісінде,  егер 
2
1
m
Gm


 (аспан  механикасының  есептері) 
немесе  нүктелік  зарядтың  электорстатикалық  өрісінде.  n=6  бастап 

 
111 
(19)-потенциалдық  функциясы  молекулалық  физика  есептерінде 
молекулалар  арасындағы  өзара  әркеттесуді  сипаттау  үшін  (Ван-дер-
Ваальс потенциалы) қолданылады. 
Алдымен  α>0  және 
2
1


n
 жағдайын  (тартылыстың  әлсіз 
сингулярлы  өрісі)  қарастырайық. 

 және  n , 
0

L
 болғандағы 
көрсетілген  параметрлердің  мәндерімен  қозғалып  келе  жатқан 

-
бөлшектің бір өлшемді жинақы потенциалы мынадай: 
2
2
2
)
(
r
L
r
r
U
n
жин





.                                    (20) 
Осы 
функцияның 
графигі 
төменде 2-суретте көрсетілген. 
Қозғалысты 
сапалы 
зерттеу  үшін 
0

r
 және 


r
  
болған 
жағдайлардағы 
осы 
қисықтың 
асимптоталарын 
зерттесек  жеткілікті,  ал  содан 
кейін  оның  экстремумдарының 
мүмкін  мәндерінің  r  өсімен 
қиылысу  нүктелерін  ескеріп 
графикті  аяғына  дейін  салуға 
болады.  
2-суретте  (20)-потенциал-
дық  қисығының  асимптоталық  бөліктері  қалың  сызықтармен 
салынған. 
)
(r
U
жин
 және  Е  графиктерінен  E>0  болғандағы  рұқсат 
етілген облысы 
)
,
(
1

r
 интервалы болады, яғни радиусы r
1
 шеңберінен 
басқа  L

 векторына  перпендикуляр  барлық  шексіз  жазықтықтар. 
Демек, осы жағдайдағы 

-бөлшектің қозғалысы инфинитивті болады; 
ол  гиперболалық  типті  траектория  арқылы  жүзеге  асады  (3-суретте 
тыйым салынған облыс штрихпен көрсетілген). 
 
Сонымен қатар 

-бөлшек  шексіздіктен  келіп  О  күштік центрге 
r
1
  қашықтыққа  дейін  жақындап,  одан  кейін  қарастырылып  отырған 
жағдайдағы  бөлшектің  қозғалыс  процесі  шашырау  процесі  болып 
табылады. E=0 болғанда да қозғалыс жоғарыдағыдай сипатта болады, 
бірақ энергияның теріс және оң мәндерінің күйлерінің  арсындағы осы 
жағдайдың  (оқиғаның)  аралық  мәнін  E=0  болғандағы  бөлшектің 
қозғалысы параболалық типті траектория бойымен орындалады.  
 
0  r
1 
r
2 
r
3 
r
4 
r
0 
E=0 
E<0 
E=(U
эфф
)min 
r 
U
эфф
(r)=-α/r
n
+L
2
/2μr
2        
E>0 
2-сурет 

 
112 
Е<0 үшін r
3
 және r
4
 радиустарымен  шектелген 
шеңбер рұқсат етілген аймақ болып табылады да, 

-
бөлшектің  қозғалысы  финиттік  деп  аталады.  Екі 
дененің  эквиваленттік  есебінде 

-бөлшектің 
финиттік  қозғалысына  m
1
  және  m
2
  бөлшектердің 
байланған  күйлері  сәйкес  келеді,  яғни  m
1
  және  m
2
 
бөлшектер  өзара  біртұтас  жүйені  құрайтын  күйлер 
(мысалы  электрон  және  протон  байланған  күйде 
сутегі атомын құрайды, ал екі өзара әсерлесуші екі А 
және В атомдар – екі атомды АВ молекуланы). 
 
)
,
(
4
3
r
r
потенциялды  шұңқырдағы 

-бөлшектің 
финиттік  қозғалысының  траекториясын  шартты 
түрде  эллиптикалық  типті  траекториялар  деп  белгілейік.  Көрсетілген 
траекториялар тек сол жағдайда ғана тұйық орбиталар болады, егер 
r
T  
және 

T
 периодтар,  r  және 

 айнымалыларының  өзгерістері  өзара 
өлшемдес болса, яғни егер 
 
n
r
U
E
r
L
r
r
жин



2
2
2
max
min
2





                                (21) 
немесе 
 











max
min
2
2
2
2
2
r
r
n
dr
r
L
r
U
E
L



                         (22) 
мұндағы n – рационал сан (бүтін немесе бөлшек). 
 
Кез  келген  бастапқы  шарттар  үшін  байланған  күйлер 
орбиталары  тұйық  қисықтар  болатын  (эллипс)  жалғыз  орталық-
симметрия  потенциялдары  кулондық  потенциял 
r
r
U



)
(
 және  үш 
өлшемді  изотропты  осциллятордың  потенциялы 
2
)
(
2
kr
r
U

.  Осыны 
Бертран теоремасы дейді. 
r


 немесе 
2
2
kr
деп  айырмашылығы  өте  төмен  болатын 
орталық-симметрия  өрісінде


,

2
-дің  рационалды  бөлігі  болып 
табылмайды.  Сондықтан  жалпы  жағдайда  финиттік  қозғалыстың 
траекториясы  тұйық  болмайды.  Қозғалыс  процесінде  бөлшек  шексіз 
сан  рет  перицентр  мен  апоцентр  арқылы  өтеді  және  шексіз  үлкен 
аралықтағы 
)
(
4
,
3
r
r
 сақинасын  тығыз  толтырады.  Ереже  бойынша 
қозғалысты  бөлшектің  үлкен  өсті  өрістің  центріне  қатысты 
прецессияланатын 
эллипсті 
айналуы 
ретінде 
елестетуге 
Р 
0 
r
1 
3-сурет 

 
113 
болады.
min
)
(
жин
U
E

үшін 
)
,
(
4
3
r
r
 сақинасы 
радиусы 
0
r  болатын  шеңберге  сығылады, 
бөлшектің  қозғалысы  осы  шеңбер  бойынша 
өтеді.  Көрсетілген  дөңгелек  орбита  бойымен 
жасалған  қозғалыс  тұрақсыз  болады,  өйткені 
0
r  нүктесіне  эффективті  потенциалдың  ең 
кіші мәні сәйкес келеді. Осыдан бөлшектің ең 
кіші  қозғалысының  ауытқуы  оның  дөңгелек 
орбитасын  өзгерте  алмайды. 

,  n  және  L=0 
дәл  сол  парамтрлерінің  мәндері  үшін  (20) 
жинақы  потенциалдың  графигі  5-суретте 
көрсетілген.  Осы  жағдайдағы  рұқсат  етілген  аумағы:
0

E
үшін 
барлық  шексіз  аймағы 
)
,
0
(

,  ал 
0

E
 үшін  - 
)
,
0
(
0
r
 аймағы.  Кез 
келген басқа бастапқы шарттар үшін – таза радиалды (бір өлшемді). 
Шынында  да, 
0

L
 теңдігі  төмендегі 
талаптарға 
бара-бар: 
соnst





0

. 
Энергияның  кез  келген  мәндері  үшін  күштік 
өріс  бөлшектерді  өзіне    жинап  алуы  әбден 
мүмкін: 
0

Е
 үшін кез келген 
үлкен  қашықтықтан,  ал 
0

Е
 үшін 
0
r
r

 
қашықтықтан.  Егер 
0

E
 және 
0
)
0
(

r
 болса, 
онда бөлшек шексіздікке кетеді. 
 
Енді 
0

L
жағдайымен  шектеліп, 
2

n
 
болғандағы  күшті  тартылыстың  сингулярлы 
өрісін  (19)  қарастырайық.  Осы  жағдай  үшін 
(20)-жинақы  потенциялдың  графигі  6-суретте 
көрсетілген. 
Рұқсат 
етілген 
аймақтар: 
0

E
 үшін 
– 
радиусы 
2
1
r
r

 болатын 
дөңгелек, 
max
)
(
жин
U
E

-барлық 
шексіз  жазықтық 
)
,
0
(

,  ал 
max
)
(
0
жин
U
E


 үшін екі рұқсат 
етілген аймақ бар. Олар 
)
,
(
4
3
r
r
 
потенциалдық 
тосқау-ылмен 
бөлінген 
)
,
0
(
3
r
 және 
)
,
(
4

r
аймақтар. 
)
,
0
(
1
r
 
аймақтағы  бөлшектің  қозғалы-
сы  спираль  тәріздес  траек-
0  r
3 
r
4 


 
4-сурет 
r 
 
0 
r
0 
E>0 
E<0 
n
эфф
r
r
U



)
(
 
5-сурет 
r 
E
0
=(U
эфф
)max 
0 
r
1 
r
2 
r
3 
r
0 
r
4 
E<0 
E>0 
U
эфф
(r)=-α/r
n
+L
2
/2μr
2
; n>2 
6-сурет 

 
114 
ториялар  бойымен  жүзеге  асатын  алыста  орналасқан  қашықтықтан 
центрге  құлауы  болып  табылады.  Ерекше  жағдайларда  бөлшектің 
центрге  құлауы  неғұрлым  ыңғайлы  траектория  бойынша  жүзеге 
асады,  мысалы  шеңбердің  доғасы  бойымен. 
0

Е
 болғанда 
бөлшектерді  күштік  өріспен  орап  алуы  оның  бастапқы  радиалды 
жылдамдығының  таңбасына  тәуелсіз  түрде  орындалады: 
0
)
0
(

r
 
болғанда  бөлшек  әрдайым  центрге  жақындай  отрып  оның  үстіне 
құлайды, ал 
0
)
0
(

r
 үшін  уақыттың қандай да бір t
1 
мезетіне дейін r
1
 
айналыс 
нүктесіне 
түспейінше 
және 
өзінің 
радиалды 
жылдамдығының 
бағытын 
өзгертпейінше, 
өрістің 
центрінен 
алшақтағаннан кейін сол центрге құлайды.  
 
Центрге құлау шартын (17)-теңсіздігінен алуға болады, егер оны 
E
r
L
r
U
r
2
2
2
2
)
(



                                       (23) 
түрінде жазып, r-ді нөлге ұмтылдырамыз. Сонда  






2
)
(
2
2
0
lim
L
r
U
r
r
.                                      (24) 
Міне,  дәл  осыған  (19)-өрістерінің  әлсіз  және  күшті  сингулярлы 
болып бөлінуі негізделген
. 
(19)-күшті  сингулярлы  өрісте 
max
)
(
жин
U
E

 болғанда  күштік 
центр  бөлшекті  алыс  қашықтықтан  басып  алады,  егер 
0
)
0
(

r
 болса, 
және кез келген қашықтықтан шексіздікке кетеді, егер 
0
)
0
(

r
 болатын 
болса. 
max
)
(
жин
U
E

 және 
0
)
0
(

r
 болғанда  радиусы  r
4
  болатын 
дөңгелек  орбита  бойымен  қозғалысы  мүмкін  болады.  Бірақ  бұл 
қозғалыс  тұрақты  емес,  өйткені  егер 
бөлшекке 
соншалықты 
аз 
шамада 
радиалды  импульс  беретін  болсақ  ол  не 
центрге  құлайды,  не  шексіздікке  кетеді. 
max
)
(
0
жин
U
E


 болғанда 
)
0
(
r
 бастапқы 
координатпен  салыстырғанда  бөлшек 
)
,
0
(
3
r
 немесе 
)
,
(
4

r
 аймағында 
қозғалады,  сонымен  қатар 
)
,
0
(
3
r
 аймақта 
бөлшектің  қозғалысы 
0

Е
 болғанда 
оның  центрге  құлауынан  ешқандай  ерекшелігі  жоқ. 
)
,
(
4

r
 аймақта 
қозғалыс  инфинитивті  болады  және  қозғалыс  гиперболалық 
траектория бойынша жүзеге асады, яғни бөлшектің шашырау процесі 
жүреді.  Және  де  мынаны  ескерте  кеткен  жөн,  егер  потенциялдық 
тосқауылдың  шыңына  жеткен  Е  энергияның  мәнінде  шашырау 
0 
7-сурет 
а 
б 
в 

 
115 
процесінің кейбір аномальдығы көрінуі мүмкін. Шынында да, егер Е 
энергияның мәні 
max
)
(
жин
U
 мәніне жақын болса, онда r
4
-ке жақын r-дің 
мәндерінің  аралығында  бөлшек  ақырын  жылжып  өтеді.  Дәл  осы 
уақытта, оның радиус-векторының айналуы жеткілікті үлкен 
2
4
2
2 r
L




 
бұрыштық  жылдамдықпен  жалғасады.  Сондықтан  тежелу  уақыты 
және  радиалды  жылдамдығының  бағытының  өзгеру  аралығында 
бөлшек өрістің О центрі бойымен одан алыстағанша бірнеше айналыс 
жасауға үлгереді (7-сурет, а қисығы). Соқтығысулар теориясында бұл 
құбылыс орбиталау құбылысы деп аталады. 
 
Керісінше,  егер  Е  мәні  нөлге  жақын  болған  сайын,  бөлшектің 
траекториясы түзулене түседі (7-сурет, б, в қисықтары). 
(19)  тартылыс  өрісінде  n=2  бастап  бөлшектің  бір  өлшемді 
жинақы потенциалы мынадай түрде болады: 
 

























.
2
,
2
1
,
2
,
2
1
2
2
2
2
2
2








L
егер
L
r
L
егер
L
r
r
U
жин
                        (24) 
Бұл  функциялардың  графиктері  8-суретте  көрсетілген,  осы 
суреттерден 
2
2
L


 болған жағдайда кез келген Е және 
0
)
0
(

r
 үшін 
бөлшек өрістің центріне құлауы мүмкін (тым жақын немесе өте алыс 
қашықтықтан), ал 
2
2
L


 E>0 бастап траектория бойымен 3-суретте 
көрсетілген  қисыққа  ұқсас,  тек  инфинитивті  қозғалыс  ғана  болуы 
мүмкін.  Екінші  жағдайда  Е  жеткілікті  үлкен  мәнінде  орбиталау 
құбылысы көрінуі мүмкін. 
Енді тебіліс өрісіндегі бөлшектің қозғалысын қарастырайық: 
)
0
,
0
(
)
(





n
r
r
U
n
.                                 (26) 
 
Осындай  өрісте  қозғалып  келе  жатқан  бөлшектің  бір  өлшемді 
жинақы 
потенциалының 
графигі 
8, 
б-суретте 
көрсетілген 
потенциалдық қисыққа ұқсас.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
r
0 
E>0 
E<0 
0 
0 
r
0 
E>0 
)
2
(
1
)
(
2
2




L
r
r
U
жин
 
a 
б 
8-сурет (а, б) 
)
2
(
1
)
(
2
2


L
r
r
U
жин



 
r 

 
116 
 
Осыдан  (25)-тартылыс  өрісінде  тек  E>0  бастап 
инфинитивті  қозғалыс  болуы  мүмкін.  Осы 
жағдайға  байланысты  бөлшектің  траекториясы 
9-суретте 
көрсетілген. 
Егер 
бөлшектің 
қозғалысы  гиперболалық  траектория  бойымен 
өтетін  болса,  онда  өрістің  центрі  оның  ішкі 
фокусымен сәйкес келеді. Осылайша (26)-өрістің 
инфинитивті  қозғалысы  (19)-өрістегі  осыған 
ұқсас қозғалыстан айырмашылығы осындай (3-суретті қара). 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: