§9. Механикалық жүйенің жалпыланған

 
87 
 
Электромагниттік  өрістегі  зарядталған  еркін  бөлшектердің 
жалпыланған импульсі (55) -өрнекке сәйкес, 
























.
,
,
z
z
y
y
x
x
qA
z
m
z
L
P
qA
y
m
y
L
P
qA
x
m
x
L
P






                                   (60) 
Жалпыланған  импульстің  (59)  -өрнегін  пайдаланып,  (50)  –Лагранж 
теңдеулерін былай жазуға болады: 


q
L
P




, 
 
(α = 1,2,….,s). 
 
  (61) 
 
Лагранж функциясына кейбір жалпыланған координаттар өздері 
кірмей  олардың  уақыт  бойынша  туындылары  кіретін  жағдайлар 
болады.  Осындай  координаттарды  циклдік  координаттар  деп 
атайды.  
 
Сонымен, q
α
 жалпыланған координаттарды циклдік деп атайды, 
егер 
0




q
L
.  Сондықтан,  осы  q
α
  циклдік  координаттарға  сәйкес  P
α
 
жалпыланған  импульстар  шамалары  тұрақты  болады,  шынында  да 
егер 
0




q
L
болса, онда (61) –ші өрнекке сәйкес 
P
α
 =тұр. 
      
 
 
 
 (62) 
 
Мысал  ретінде,  біртекті  ауырлық  күшінің  әсерінде  тұрған 
материалдық  нүктені  қарастырайық.  Егер  декарттық  координаттар 
жүйесінің  z  өсін, 
g

 еркін  түсу  үдеуінің  бағытына  қарсы  бағыттасақ, 
онда  материалдық  нүкте  үшін  Лагранж  функциясын  былай  жазуға 
болады. 


mgz
z
y
x
m
L




2
2
2
2



.  
 
 
   (63) 
 
Бұған  х  және  y  координаттары  тікелей  кірмейді,  (циклдік 
координаттар  болады)  сондықтан,    материалдық  нүктенің  импульс 
векторының екі проекциясы тұрақты болады: 


x
m
P
x

тұр, 


y
m
P
y

 тұр. 
 
§10. Функционал туралы ұғым және оның бірінші вариациясы 
 
 
Лагранж  теңдеулерін  қорытып  шығарудың  екінші  тәсілін 
қарастырайық, ол үшін, ең алдымен бір немесе бірнеше функцияларға 
тәуелді  қисық  сызықты  интегралдың  экстремальдық  қасиеттерін 

 
88 
зерттейтін  математиканың  бір  ерекше  бөлімі  –  вариациялық 
есептеудің кейбір элементтерімен танысайық. 
 
Вариациялық  есептеудің  дамуына  себеп  болған  брахистохрон 
туралы есеп. Ол есеп мынандай. 
 
Массасы  m  материалдық  нүкте  ауырлық  күшінің  әсерінен, 
бастапқы  жылдамдықсыз,  вертикаль  жазықтықта  бір  О  нүктесінен  А 
нүктесіне  бірнеше  қисық  сызық  бойымен  түсетін  болсын  (23  суретті 
қара).  Сонда  нүктенің  түсу  уақытын  мынандай  қисық  сызықты 
интегралмен табуға болады, 
 
 







e
x
dx
yg
y
y
l
T
0
0
2
2
1

.                                (64) 
Бұл интеграл белгісіз y(t) функциясына тәуелді. 
Осы  О  және  А  нүктелерін  қосатын  қисық 
сызықтардың  ішінен,  қарастырылып  отырған 
нүктенің  ең  аз  уақыт  ішінде  түсетін  қисық 
сызықты табу керек. 
 
Сондықтан  іздестіріліп  отырған  қисық 
брахистохрон  (брахистос  –  грекшке  қысқа, 
хронос-уақыт) деп аталады. (64) -өрнек тәріздес 
шамаларды математикада функционалдар деп атайды. 
 
Сонымен,  бір  ғана  y(x)  функцияға  тәуелді  қисық  сызықты 
интегралды  қарапайым функционал деп атап оны мына түрде жазуға 
болады,  
   





2
1
,
,
,
x
x
dx
x
y
x
y
x
F
J
.   
 
 
  (65) 
 
Вариациялық  есептеудің  негізгі  есебіне  осы,  (65)  -өрнекпен 
берілген  функционалдың  экстремумын  анықтайтын  және  мынандай 
шекаралық шарттарды 
y(x
1
) = y
1
,   y(x
2
) = y
2
 
 
                    (66) 
қанағаттандыратын y(x) функциясын табу жатады. 
Қарастырылып 
отырған 
вариациялық 
есептеудің шешуі y(x) функциясы болсын. Сонда J 
функционалдың  экстремумы  болуы  үшін осы  y(x) 
функциясы  қандай  шарттарды  қанағаттандыру 
керектігінің  қажетті  шартын  табу  керек.  Ол  үшін 
24-суретте 
көрсетілгендей  y(x)  функциясына 
жақын орналасқан y
1
(x) функциясын алайық, 
y
1
(x) = y(x)+αη (x).                         (67) 
Мұндағы,  η(x)  –кез  келген  функция,  ол  мынандай  шекарлық 
шарттарды қанағаттандыратын болсын 

 
89 
η(x
1
) = η(x
2
)=0 
 
 
 
 
   (68) 
α –шамасы аз сандық параметр. 
 
(67)  -өрнекті  (65)  -өрнекке  қойып,  тек  қана  α  параметрінің 
функциясы болатын мынандай өрнек аламыз, 
 
 
 
 
 
 
 















2
1
1
1
;
,
x
x
x
y
x
y
dx
x
x
y
x
x
y
x
F
J

 

 










. 
 
    (69) 
Сондықтан, (65) функционалдың экстремумын табудың орнына, 
бір  ғана  α  параметрге  тәуелді  (69)  –функцияның  экстремумын 
анықтау  жеткілікті.  Ол  үшін  (69)  –функциядан  α  параметр  бойынша 
туынды  алып,  шыққан  өрнектің  α=0  болғандағы  мәнін  нольге  теңеу 
керек.  Сондықтан,  алдымен  J  функциясынан  α  бойынша  туынды 
алайық, 
 
 















2
1
/
1
x
x
dx
x
y
F
x
y
F
d
dJ



.                           (70) 
Оң жақтағы екінші интегралды бөлімшелеп интегралдасақ, 
 
 
 




















2
1
2
1
2
1
1
1
/
x
x
x
x
x
x
dx
x
y
F
dx
d
x
y
F
dx
x
y
F



. 
                (71) 
Мұндағы  интегралданған  мүшеге  жоғарғы  және  төменгі 
шектерін  қойғанда  (68)  –шекарлық  шарттар  бойынша  нольге  тең. 
Сондықтан (71) -өрнекті (70) -өрнекке қойсақ, 
 




















2
1
1
1
x
x
dx
x
y
F
dx
d
y
F
d
dJ


. 
Осыдан 
 




























2
1
0
0
x
x
dx
x
y
F
dx
d
y
F
d
dJ



.   
 
    (72) 
Мұндағы,  η(х)  кез  келген  функция  болғандықтан  (72)  -өрнек 
орындалу  үшін  интегралдың  астында  тұрған  η(х)  функциясының 
алдындағы коэффициенті нольге тепе-тең болыу керек, яғни 
0













y
F
y
F
dx
d
.                                          (73) 
 
Бұл  Эйлер  теңдеуі  деп  аталады.  Сонымен  іздестіріп  отырған 
y(x)  функциясы  жоғарыда  айтылған  вариациялық  есептің  шешімі 
болуы үшін, ол Эйлер теңдеуін қанағаттандыруы керек. Осы шыққан 
қорытындыны 
басқаша 
да 
тұжырымдауға 
болады, 
егер 
функционалдың бірінші вариациясы туралы ұғым енгізсек.  
 
Мына  төмендегідей  түрде  анықталатын  шаманы  (65)  –
функционалдың бірінші вариациясы деп атайды, 

 
90 
0












d
dJ
J
.                                             (74) 
(72) -өрнекті ескерсек, онда 





















2
1
0
x
x
ydx
y
F
dx
d
y
F
J


.              
      (75) 
Мұндағы δy-y(x) функциясының вариациясы, 
δy=αη(x)=y
1
(x) – y(x).                                      (76)  
 
Жоғарыда  алынған  (75)-өрнектен  мынандай  қорытынды 
шығаруға  болады:  вариациялық  есептің  шешуі  болатын  y(x) 
функциясы δJ функционалдың бірінші вариациясын нольге айналдыру 
керек.  Бұл  тұжырым  жоғарыдағы  (73)-өрнектің  орындалуына  пара-
пар. 
 
Вариацияларды есептеу ережелерінің кейбіреуін  қарастырайық. 
Кез  келген  y(x)  функциясын  вариациялаған  кезде  оның  y
/
(x) 
туындысы  да  вариацияланады,  сондықтан  вариациялау  анықтамасы 
бойынша 
 
 
 
x
y
x
y
x
y







/



.                                    (77) 
 
Екінші  жағынан  (76)  -өрнектен  х  арқылы  дифференциал  алсақ, 
онда 
 
 
 
 
x
y
x
y
x
y
dx
d






/



.                                 (78) 
Осы (77) және (78) өрнектерді салыстыра келіп, 
 
,







dx
dy
y
dx
d


                                            (79) 
яғни,  диффренциалдау  және  вариациялау  амалдарын  өзара 
алмастыруға болатынын көреміз. 
 
Енді  интегралдау  және  вариациялау  амалдарын  да  өзара 
алмастыруға  болатынын  көрсетейік.  Ол  үшін  (70)-өрнектегі  α=0  деп, 
шыққан  өрнектің  екі  жағын  α-ға  көбейтіп,  (74),  (76)  және  (77)  -
өрнектерді ескеріп мынаны табамыз, 
,
2
1
2
1


















x
x
x
x
dx
F
dx
y
y
F
y
y
F
J




 
немесе 




2
1
2
1
x
x
x
x
dx
F
Fdx


                                          (80) 
Осыдан  интегралдау  және  вариациялау  амалдарын  да  өзара 
алмастыруға болатындығын көреміз. 

 
91 
 
Вариациялық  есептеудің  негізгі  есебін,  функционал  S  тәуелсіз 
y
i
(x) және оның y
i
/
(x) туындыларына байланысты болатын функциялар 
үшін де жазуға болады, яғни 
   
     
 


dx
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
F
J
x
x
S
S





2
1
,...,
,
;
,...,
,
;
2
1
2
1
.                  (81) 
Сонда  осы  функционалдың  вариациясын  мына  түрде  жазуға 
болады, 
















































2
1
2
1
1
1
'
0
1
x
x
S
i
i
S
i
x
x
i
i
i
i
i
i
i
S
i
i
dx
y
y
F
dx
d
y
F
dx
y
y
F
y
y
F
J
J
i







.    (82) 
y
i
(x)  функциялары  тәуелсіз  болғандықтан  δy
i
  вариациялары  да 
тәуелсіз  болады.  Сондықтан,  δJ=0  болуы  үшін  δy
i
  тәуелсіз 
вариациялардың алдындағы коэффициенттер нольге тең болуы керек. 
Сонымен, 
y
i
(x) 
функциялары 
(81) 
–функционалдың 
экстремумын  анықтау  үшін  мынандай  Эйлер  теңдеулер  жүйесін 
қанағаттандырулары керек, 
0













i
i
y
F
y
F
dx
d
,   
     (i=1,2,… s). 
 
   (83) 
Осы  теңдеулер  жүйесіне  формальды  түрде  мынандай 
алмастырулар жасасақ: 
 
   
 
t
q
x
y
t
q
x
y
t
x
i
i
i
i





,
,
 және F→L, 
Онда  (83)  –теңдеулдер  (50)  –Лагрнаж  тендеулеріне  сәйкес 
келеді.  Сондықтан  Лагранж  тендеулері  механиканың  кейбір 
вариациялық  есептері  үшін  Эйлер  теңдеулері  сияқты  болады  деген 
қорытынды шығады. 
 
§11. Экстремальдық әсер принципі 
(Остроградский – Гамильтон принципі) 
 
 
Енді  Лагранж  тендеулері  механиканың  кейбір  вариациялық 
есептері  үшін  Эйлер  теңдеуі  болатындығын  көрсетейік.  Ол  үшін 
механикалық  жүйенің  конфиурациялық  кеңістігі  деген  ұғым 
енгізейік. 
 
Механикалық  жүйенің  конфигурациялық  кеңістігі  деп,  q
1
,  q
2
, 
…,q
s
,    жалпыланған  координаттарға  және  t  уақытқа  тәуелді  (s+1) 
өлшемді кеңістікті айтады. 
 
Егер  абсцисса  өсінің  бойына  t  уақытты  ал  ордината  өсінің 
бойына  q
α 
  жалпыланған  координаттар  жиынын  салсақ,  онда  осы 
жазықтықта  жатқан  (q
α
,  t)  координаттары  мен  анықталатын  нүкте  t 

 
92 
уақыт  мезгіліндегі  жүйенің  белгілі  бір  конфигурациясына  сәйкес 
келеді. 
Механикалық  жүйе  (t
2
-t
1
)  уақыт  ішінде  А 
конфигурациясынан В конфигурациясына орын 
ауыстырды дейік (25–суретті қара) және жүйеге 
түсірілген байланыстар оның ықтималдық орын 
ауыстыруын  шектемейтін  болсын,  басқаша 
айтқанда,  жүйе  А  конфигурациясынан  В 
конфигурациясына 
ықтималдық 
орын 
ауыстыруды  бірнеше  траекториялармен  өте 
алатын болсын, ал солардын ішінде  біреуі  ғана 
(АСВ) жүйенің шын орын ауыстыруына сәйкес келсін. 
Осы  шын  орын  ауыстыру  траекториясын,  мүмкін  болатын 
бірнеше ықтималдық орын ауыстырулардың ішінен қалай бөліп алуға 
болады,  деген  сұраққа  экстремалдық  әсер  принцпі  (Остроградский-
Гамильтон  принципі)  жауап  береді.  Идеалдық  байланыста  және 
потенциалдық  (немесе  жалпыланған  потенциалдық)  белсенді  күштер 
өрісінде    тұрған  голономдық  механикалық  жүйелер  үшін  бұл 
принципті былай тұжырымдауға болады; 
 
Механикалық 
жүйенің 
А 
конфигурациясынан 
В 
конфигурациясына,  мүмкін  болатын  бірнеше  ықтималдық  орын 
ауыстыруларының 
ішінен, 
шын 
орын 
ауыстыру 
әсер 
функциясының экстремалдық (көп жағдайда ең аз) мәніне сәйкес 
келеді. 
 
Басқаша  айтқанда  механикалық  жүйенің  шын  орын  ауыстыру 
траекториясында (52)–әсер функциясының бірінші вариациясы нольге 
тең болуы керек, яғни 


0
;
,...,
,
;
,...
,
2
1
2
1
2
1



dt
t
q
q
q
q
q
q
L
S
S
s
t
t





.                           (84) 
 
Идеалдық  байланыста  және  жалпыланған  потенциалдық 
белсенді  күштер  өрісіндегі  голономдық  механикалық  жүйенің  шын 
орын  ауыстыру  траекториясын  табуда,  (84)–шарттың  орындалуы 
қажетті екендігін дәлелдейік. Ол үшін механиканың жалпы теңдеулері 
деп  аталатын  (43)–теңдеулердің  жалпыланған  координаттар  арқылы 
жазылған (47)–теңдеулерді пайдаланамыз, 





















S
S
q
q
T
dt
d
q
T
Q
q
A
Q
1
1
0












. 
Мұндағы  Q
α
  жалпыланған  күштерді,  (53)-өрнекке  сәйкес 
жалпыланған потенциал арқылы алмастырсақ, онда 

 
93 
0
1
1





































q
q
dV
dt
d
q
V
q
q
T
dt
d
q
T
S
S


.                (85) 
Мұндағы 


t
q
q
T
T
,
, 

 және 


t
q
q
V
V
,
, 

. 
 
Енді  δТ  және  δV  вариацияларды  есептейік.  Кинетикалық 
энергияның δТ  вариациясын  былай жазуға болады. 
 




























S
S
q
dt
d
q
T
q
q
T
q
q
T
q
q
T
T
1
1


















. 
Мұндағы, 
 









q
dt
d
q
T
q
q
T
dt
d
q
T
q
dt
d























, 
екендігін ескерсек, онда 




































q
T
q
dt
d
q
q
T
dt
d
q
T
T
S
S


1
1
.                     (86) 
Осы сияқты, δV есептесек, онда 




































q
V
q
dt
d
q
q
V
dt
d
q
V
V
S
S


1
1
.                    (87) 
Осы  шыққан  (86)-өрнектен  (87)-өрнекті  алып,  (85)-өрнекті  ескерсек, 
онда 

















S
q
q
V
T
dt
d
V
T
1






. 
Осындағы T-V = L Лагранж функциясы да, және 
,


P
q
L




 (α= 1,2,…,s) 
жалпыланған  импульс  екенін  ескерсек,  онда  жоғарыдағы  теңдікті 
былай жазуға болады, 









S
q
p
dt
d
L
1





.                                          (88) 
Осы  теңдіктің  екі  жағын  dt  ға  көбейтіп,  t
1
  ден  t
2
  ге  дейін  уақыт 
бойынша интеграл алсақ,  
2
1
2
1
1
t
t
S
t
t
q
P
Ldt









 
Осы теңдіктің оң жағына интегралдау шектерін қойып және  
δq
α
(t
1
) = δq
α
(t
2
) = 0  екенін ескерсек, онда 


2
1
0
t
t
Ldt

. 
Интегралдау  және  вариациалау  амалдарың  өзара  алмастыруға 
болатынын  ескерсек,  онда  (80)-өрнекке  сәйкес,  соңғы  теңдікті былай 

 
94 
жазамыз 


2
1
0
t
t
Ldt

 бұл  (84)  шарттың  орындалуының  қажеттілігін 
дәлелдейді. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: