§3. Механикалық энергияның сақталу заңы және

 
50 
әсерінен  болатын  потенциалдық  энергиялардың  қосындысына  тең 
болады,  бірақ  сыртқы  күштің  потенциалдық  энергиясы  уақытқа 
тікелей тәуелді болмайды. Сондықтан  
 













n
i
n
i
j
i
ij
n
j
n
e
i
r
r
U
r
r
r
U
U
1
1
1
2
1
2
1
,...,
,





.                         (23) 
Сонымен  қарастырып  отырған  екі  жүйе  үшін  де  толық 
потенциалдық  энергия  уақытқа  тікелей  тәуелді  еместігін  көреміз. 
Сондықтан  













n
i
i
n
i
i
i
i
r
U
t
r
r
U
dt
dU
1
1





.                                    (24) 
 
Егер  осы  жүйенің  толық  потенциалдық  энергиясы  уақытқа 
тікелей байланысты болса, яғни уақыт біртекті болмайтын болса, (24) 
-өрнектің  оң  жағында  U-дан  уақыт  бойынша  алынған  дербес  туынды 
болуы керек еді, яғни              









0
t
U
. 
 
Енді  қарастырып  отырған  жүйенің  қозғалысын  анықтайтын 
дифференциалдық  теңдеуді жазайық. Мұнда, егер жүйеге әсер ететін 
күштердің  потенциалдылығын  ескеретін  болсақ,  қозғалысты 
сипаттайтын дифференциалдық теңдеу былай жазылады: 
i
i
i
r
U
dt
d
m







. 
(i=1,2,…n),                               (25) 
Осы  теңдеудің  екі  жағын  да  нүктенің  жылдамдық  векторына 
көбейтейік. Сонда, 
i
i
i
i
i
r
U
dt
d
m












. 
Бұл теңдіктің сол жағын былай түрлендіруге болады: 







2
m
dt
d
dt
d
m
2
i
i
i
i
i





. 
Сонда жоғарғы теңдеу мына түрге келеді, 
i
i
i
i
r
U
m
dt
d















2
2
,  
(i=1,2,…n). 
 
Қозғалыстың  осындай  теңдеуін  жүйені  құрайтын  барлық 
нүктелер  үшін  жазып,  оларды  мүшелеп  қосатын  болсақ,  онда  тұтас 
жүйенің қозғалысын анықтайтын мынандай дифференциалдық теңдеу 
аламыз, 
i
n
i
i
n
i
i
i
r
U
m
dt
d
















1
1
2
2


. 

 
51 
Осы  теңдеудің  оң  жағын  (24)  -өрнекпен  салыстыра  отырып, 
оның 
dt
dU
 тең екендігін көреміз. Сонда, 
dt
dU
m
dt
d
n
i
i
i










1
2
2

, 
осыдан  
0
U
2
m
dt
d
n
1
i
2
i
i











.                                     (26) 
 
Осы  (26)  -өрнектен  квадраттық  жақшаның  ішінде  тұрған 
шаманың  тұрақты  екендігін  көреміз,  оны  Е-әрпімен  белгілейді  де, 
жүйенің толық механикалық энергиясы деп атайды, 





n
i
i
i
U
m
E
1
2
2


тұрақты.                                 (27) 
 
Жүйенің  толық  механикалық  энергиясы  екі  энергияның 
қосындысына тең болады. Оның біреуі   



n
1
i
2
i
i
2
m
T

.                                             (28) 
Кинетикалық энергия. Екіншісі, потенциалдық энергия  U=U(x,y,z). 
Кинетикалық энергия жүйенің қозғалыс жылдамдығына тәуелді 
болады  да,  потенциалдық  энергия  жүйені  құраушы  бөлшектердің 
өзара орналасуына байланысты болады. Жүйенің толық механикалық 
энергиясы  сақталатын  болса,  ондай  жүйені  консервативті  деп 
атайды,  ал  толық  механикалық  энергиясы  сақталмайтын  жүйені 
консервативті емес деп атайды. 
 
§4. Консервативті емес жүйенің кинетикалық 
 энергиясының өзгерісі туралы теорема 
 
 
өткен тақырыпта айтқандай, консервативті емес жүйенің толық 
механикалық  энергиясы  қозғалыс  кезінде  сақталмайды.  Сондықтан 
осы энергияның өзгерісін анықтау керек. Ол кинетикалық энергияның 
өзгерісі  туралы  теорема  бойынша  анықталады.  Осы  теореманы 
тұжырымдау үшін (28) кинетикалық энергиядан толық дифференциал 
алайық, 
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
r
d
dt
d
m
d
m
dT











1
1



.                                 (29) 
 
Жалпы  айтқанда  консервативті  емес  жүйені  тұйық  жүйе  деп 
қарастыруға  болмайды.  Мұндай  жүйелерді  потенциалдық  емес 
күштер  өрісіндегі  жүйелер  деп  қарастыруымыз  керек.  Сондықтан 

 
52 
мұндай жүйелер қозғалысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеуді 
былай жазамыз, 
 
ij
n
j
e
i
i
i
F
F
dt
d
m








1

. 
(i=1,2, …n),                        (30) 
Осы  қозғалыс  теңдеуін  пайдаланып  (29)  -өрнекті  былай  жазуға 
болады, 
 
i
n
i
ij
n
j
i
e
n
i
i
r
d
F
r
d
F
dT












1
1
1
.                               (31) 
 
Осы  (31)  -өрнек  жүйенің  кинетикалық  энергиясы  өзгерісінің 
дифференциалдық түрі болады да, оны былай тұжырымдауға болады: 
 
Жүйенің  кинетикалық  энергиясының  өзгерісі  сол  жүйеге  әсер 
ететін  сыртқы  және  ішкі  күштердің  жасайтын  элементар 
жұмыстарының қосындысына тең болады. 
 
Енді осы теореманың интегралдық түрін қарастырайық. Ол үшін 
қарастырып  отырған  жүйе  (t
2
  -  t
1
)  -уақыт  ішінде  кеңістіктің  бір  А 
бөлігінен В бөлігіне орын ауыстырды дейік (19- сурет).   
Сонда  жүйенің  әрбір 
нүктесі 
A
i
B
i
 
сызығының 
бойымен  орын  ауыстырады. 
Сонда  (31)-өрнектен  уақыт 
бойынша    интеграл  алатын 
болсақ, онда 
 
 
i
e
t
t
A
A
T
dT
2
1





,       (32) 
мұндағы 
   
,
t
T
t
T
T
1
2



 
 
 
,
1
 


n
i
i
B
A
e
i
e
r
d
F
A
i
i


 
 







n
i
i
B
A
ij
n
j
i
r
d
F
A
i
i
1
1


                            (33) 
 
Осыдан  кинетикалық  энергияның  өзгерісі  туралы  теореманы 
былай тұжырымдауға болады: 
Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгерісі ішкі және сыртқы 
күштердін жасайтын толық жұмыстарының қосындысына тең болады. 
 
Егер ішкі күштердің жасайтын толық жұмысы жүйені құрайтын 
бөлшектердің  өзара  орналасуына  байланысты  болмаса,  онда  ол 
потенциалдық энергияның өзгерісіне тең болады да,  
A
(i)
=-ΔU 
Онда (32) -өрнектен 
 
A
(e)
=ΔT+ΔU,                                            (34) 
 

 
53 
болатындығын  көреміз.  Осыдан  мынандай  қорытынды  шығады: 
жүйеге  әсер  еткен  сыртқы  күштердің  толық  жұмысы  сол  жүйенің 
кинетикалық  және  потенциалдық  энергияларының  өзгеруіне 
жұмсалады.  (34)  -өрнектен  күштердің  жасайтын  жұмысы  оң  және 
теріс  таңбалы  болатындығын  көреміз.  Егер  жүйе  үйкеліс  күшінің 
әсерінде болса, онда үйкеліс күшінің жасайтын жұмысы теріс болады.  
 
§5. Тұйық механикалық жүйе импульсының сақталу заңы.  
Оның кеңістіктің біртектілігімен және  
Ньютонның III-ші заңына байланыстылығы 
 
 
Қозғалыстағы  тұйық  механикалық  жүйе  үшін,  оның 
энергиясының сақталуымен бірге импульсыда сақталады, 



n
1
i
i
i
m
P



.                                            (35) 
 
Импульстың  сақталу  заңы  кеңістіктің  біртектілік  қасиетінің 
саладрынан болады. 
 
Шындығында  да  кеңістік  біртекті  болатындықтан  оның  кез 
келген  бір  бөлігінен,  екінші  бір  бөлігіне  жүйені  тұтас  күйінде  өзіне-
өзін  параллель  орын  ауыстырғанда  бұл  жүйенің  потенциалдық 
энергиясы өзгермейді. 
 
Жүйені  тұтас  күйінде  өзіне-өзін  параллель  орын  ауыстыру 
дегеніміз,  оның  әрбір  нүктесінің  белгілі  бір 

 қашықтыққа  орын 
ауыстыруын  айтады,  және  бұл  нүктелердің  радиус-векторлары 
мынандай қатыста болады (20-сурет). 



i
r
r


/
1
. 
Осыдан          



i
r

.                 (36) 
Егер  жүйені  тұтас  күйінде 
орын  ауыстырған  кезде  оның 
потенциалдық  энергиясы  өзгере-
тін болса, онда ол өзгерісті былай 
жазуға болар еді; 












n
i
i
n
i
i
i
r
U
r
r
U
U
1
1




.                                  (37) 
Кеңістіктің  біртектілік  қасиетінің  салдарынан  жүйені  тұтас 
күйінде  өзіне-өзін  параллель  орын  ауыстырған  кезде  оның 
потенциалдық энергиясы өзгермейді, 
ΔU=0. 
Сондықтан  (37)  -ші  өрнекке  сәйкес 
0


,  болғандықтан  мына 
қосынды 0-ге тең.  

 
54 





n
1
i
i
0
r
U

.                                               (38) 
 
Енді  қарастырып  отырған  жүйенің  қозғалысын  сипаттайтын 
дифференциалдық  теңдеу  жазамыз.  Оны  жүйені  құрайтын  нүктенің 
массасы  тұрақты  болатындықтан  және  тұйық  жүйе  болғандықтан 
былай жазамыз, (25) -өрнектен 


i
i
i
r
U
m
dt
d







.    


n
i
,...,
2
,
1

,                             (25) 
 
Осы  өрнекті  жүйені  құрайтын  барлық  нүктелер  үшін  жазып, 
оларды  өзара  қосып,  шыққан  өрнектің  оң  жағын  (38)-ші    өрнекке 
сәйкес 0-ге тең екендігін ескерсек, онда 
 
0
m
dt
d
n
1
i
i
i





. 
Осыдан  




n
1
i
i
i
m
P



 тұрақты.                                    (39) 
Осы  шыққан  теңдеуді  жүйе  импульсінің  сақталу  заңы  деп 
атайды.  Бұл  векторлық  теңдеу.  Осы  векторлық  теңдеуді  ox,  oy,  oz 
осьтеріне проекцияласақ, біз мынандай үш скаляр теңдеу аламыз, 




n
1
i
i
i
x
x
m
P

тұрақты, 




n
1
i
i
i
y
y
m
P

тұрақты,                                 (40) 




n
1
i
i
i
z
z
m
P

тұрақты, 
 
Сонымен  кеңістіктің  біртектілігінің  арқасында  біз  тағы  да 
қозғалыстың  үш  бірінші  интегралын  алдық.  Бұл  (40)  -өрнекпен 
көрсетілген импульс векторының проекцияларының тұрақтылығы. 
 
Енді  импульс  сақталу  заңының  Ньютонның  III-ші  заңымен 
байланысын  көрсетейік.  Бізге  белгілі  потенциалдық  энергияның 
градиенті  әсер  етуші  күштерге  тең.  Сондықтан  қарастырып  отырған 
тұйық  жүйеміз  үшін  толық  потенциалдық  энергия  ішкі  күштердің 
потенциалдық  энергияларына  тең  болады.  Сондықтан  да  оның 
градиенті ішкі күштердің қосындысына тең, 
 
ij
n
i
i
i
i
F
r
U
r
U














1
. 
Осыдан (38)-ші шарт бойынша, 





n
i
ij
n
j
F
1
1
0

.                                           (41) 

 
55 
Егер  қарастырып  отырған  жүйе  екі  нүктеден  ғана  тұратын 
болса, онда (41)-ші өрнек бойынша, 
21
12
21
12
,
0
F
F
F
F








. 
Бұл  екі  нүктеден  тұратын  тұйық  жүйе  үшін  Ньютонның  III-ші 
заңына  сәйкес  әсер  және  қарсы  әсер  ететін  күштер  болып  табылады. 
Сондықтан, (41)-ші өрнекті Ньютонның III-ші заңының  жалпыланған 
түрі деп  қарастыруға болады. 
 
§6. Тұйық емес жүйе импульсының өзгерісі туралы теорема 
 
 
Егер қарастырылып отырған қозғалыстағы жүйе тұйық болмаса, 
онда оның импульс векторы сақталмайды. Сондықтан оның өзгерісін 
анықтау  қажет.  Ол  импульс  векторының  өзгерісі  туралы  теорема 
бойынша анықталады. 
 
ТЕОРЕМА: Жүйе импульсынан уақыт бойынша алынған толық 
туынды осы жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің бас векторына тең 
болады, 
K
dt
P
d



.                                            (42) 
Мұндағы 
 
e
n
1
i
i
F
K





 -сыртқы күштің бас векторы деп аталады. 
 
 
i
n
1
i
i
m
P






  жүйенің импульсі. 
 
Теореманы  дәлелдеу  үшін  (30)-шы  өрнекпен  көрсетілген 
дифференциалдық теңдеуді жазамыз, 
 
ij
n
j
e
i
i
i
F
F
dt
d
m








1

.                                 (30) 
Сонда импульс векторынан уақыт бойынша алынған туындыны 
 
 
K
F
F
F
dt
d
m
dt
P
d
e
n
i
i
n
i
ij
n
j
e
n
i
i
i
n
i
i





















1
1
1
1
1

. 
Бұл  теңдеудің  оң  жағындағы  қосындының  соңғысы  (41)-ші 
өрнекте  көрсетілген  Ньютонның  III-ші  заңына  сәйкес  0-ге  тең. 
Сондықтан, 
 
K
F
dt
d
m
dt
P
d
n
1
i
n
1
i
e
i
i
i


















. 
Теорема дәлелденді. 
 

 
56 
§7. Сыртқы күштер өрісінің симметриялылығы және тұйық емес 
жүйе импульсының кейбір құраушыларының сақталуы туралы 
теорема 
 
 
өткен  тақырыпта  айтқандай  тұйық  емес  жүйенің  импульс 
векторы  сақталмайды.  Бірақ  кейбір  дербес  жағдайларда  ипульс 
векторының  құраушыларының  сақталуы  мүмкін.  Осыны  дәлелдеу 
үшін  тұйық  емес  жүйеге  әсер  ететін  күштер  потенциалды  деп 
қарастырайық, яғни 
 
 
i
e
i
e
i
r
d
U
F





. 
 
Сонда  импульс  векторының  өзгерісі  туралы  теоремаға  сәйкес 
(42)-ші өрнекті былай жазамыз, 
 






n
1
i
i
e
i
r
U
dt
P
d


.                                        (43) 
Осы  теңдеудің  екі  жағын  кез  келген  бірлік  вектор  l

-ға  скаляр 
көбейтейік,  
 
i
e
i
n
1
i
r
U
l
dt
P
d
l










.                                     (44) 
Осы  теңдіктің  екі  жағын  жеке-жеке  қарастырайық. l

-тұрақты  вектор 
болғандықтан (44)-ші өрнектің сол жағын былай түрлендіреміз, 
 
dt
dP
P
l
dt
d
dt
P
d
l
l







.
 
Мұндағы  
 
P
l
P
l




 -импульс  векторының  l

-  векторының  бағытына 
түсірілген  проекциясы.  Математикалық  анализ  курсынан  белгілі 
қатыс  бойынша  (44)-ші  өрнектің  оң  жағын  былай  түрлендіруге 
болады, 
 
 
 
 


















n
i
e
n
i
e
i
e
i
i
e
i
n
i
l
U
U
l
l
U
r
U
l
1
1
1





. 
Осы табылған өрнектерді (44)-ші өрнекке қойсақ, 
 
l
U
dt
dP
e
l





.                                          (45) 
Егер 
 
0
l
U
e




 болса, 
l
P
 -тұрақты  болады.  Осыдан  мынандай 
теорема тұжырымдауға болады. 
ТЕОРЕМА.  Сыртқы  потенциалдық  күш  өрісінде  тұрған  тұтас 
механикалық  жүйені  кеңістікте  l

векторының  бағытымен  өзіне-өзін 
параллель  орын  ауыстырған  кезде  жүйенің  потенциалдық  энергиясы 

 
57 
өзгермесе,  онда  мұндай  жүйенің  импульс  векторының  осы  бағытқа 
проекциясы сақталады. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: