§1. Нүктенің қозғалыс мөлшері (импульс)

 
38 



n
1
i
i
i
m
P



                                             (2) 
 
Массасы  m  нүктенің  кинетикалық  энергиясы  деп  сол  нүктенің 
массасы 
мен 
жылдамдығының 
квадратының 
көбейтіндісінің 
жартысына тең скалярлық шаманы айтады,  
2
m
E
2
k


                                             (3) 
 
Механикалық  жүйенің  кинетикалық  энергиясы  деп  осы  жүйені 
құрайтын  материалдық  нүктелердің  кинетикалық  энергияларының 
қосындысына тең скалярлық шаманы айтады, 



n
i
i
i
k
m
E
1
2
2

.                                            (4) 
 
Күш  импульсі  жүйеге  түсірілген  күш  әсерін  сипаттайтын 
векторлық  шама.  Ол  шамасы  жағынан  жүйеге  түсірілген  күшті  сол 
күш әсер еткен уақыттың көбейтіндісіне тең. 
t
F
J





                                             (5) 
 
Күш  жұмысы  жүйеге  түсірілген  күштің  әсерін  сипаттайтын 
скалярлық шама. Ол шамасы жағынан жүйеге түсірілген күшпен осы 
күштің әсерінен жүйенің орын ауыстырған кездегі орын ауыстырудын 
шамасының скалярлық көбейтіндісіне тең. 
 
r
F
cos
s
F
r
F
A













                              (6) 
 
Жүйенің айналмалы қозғалысын сипаттайтын векторлық шама - 
қозғалыс  мөлшерінің  моменті  (кинетикалық  моменті)  болып 
табылады. Осы кинетикалық моментінің анықтамасын екі түрлі беруге 
болады; 
Массасы m нүктенің осы нүктеден 
r

 қашықтықта тұрған полюс 
деп  аталатын  0  нүктесіне  қатысты  кинетикалық  моменті  деп,  осы 
нүктенің 
r

 радиус-векторымен  қозғалыс  мөлшерінің  вектолық 
көбейтіндісіне тең шаманы айтады.  




m
r
K
0


                                                (7) 
Нүктенің  өське  қатысты  кинетикалық 
моменті  деп  осы  нүктенің  полюске  қатысты 
моментінің полюс арқылы өтетін оське түсірілген 
проекциясын айтады (17-сурет). 
0
u
K
K


 векторының 
OU
 өсіне 
проекциясы. 
 
Енді  осы  қозғалыс  мөлшерін  сипаттайтын 
шамалардың өзгерісін жеке-жеке қарастырайық. 
 
 

 
39 
§2. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгерісі туралы теорема 
 
Массасы  m  материалдық  нүктенің  белгілі  бір  F

 күшінің 
әсерінен  болатын  қозғалысын  қарастырайық.  Нүктенің  мұндай 
қозғалысын  зерттеу  үшін  Ньютонның  II  -  заңына  сәйкес  мынандай 
дифференциалдық теңдеу жазамыз, 
F
dt
d
m




 
m- тұрақты шама болғандықтан, бұл теңдеуді былай жазуға болады. 
 
F
dt
m
d




                                                  (8) 
осыдан мынандай тұжырым жасауға болады; 
 
Нүктенің қозғалыс мөлшерінең уақыт бойынша алынған туынды 
осы нүктеге әсер ететін күштердің қорытқы күшіне тең. 
 
Массасы  m
1
,  m
2
,  …m
n
  нүктелерден  тұратын  механикалық 
жүйені  қарастыратын  болсақ  мұндай  жүйе  үшін    мынадай  теорема 
тұжырымдауға болады; 
Теорема: 
 
Механикалық  жүйенің  қозғалыс  мөлшерінең  уақыт  бойынша 
алынған  туынды  осы  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  күштердің  бас 
векторына тең болады, 
 
 
e
n
1
i
i
i
F
m
dt
d






.                                             (9) 
 
Енді  осы  теореманы  дәлелдейік.  Ол  үшін  қарастырып  отырған 
жүйенің  массасы  m
i
  нүктесі  үшін  Ньютонның  II-заңына  сәйкес 
дифференциалдық теңдеу жазайық. Ол мынаған тең, 


 
 
,
i
ij
n
i
j
e
i
i
i
F
F
m
dt
d









       (i=1,2,… n) 
мұндағы  
 
 



n
1
i
e
i
e
F
F


 
 
 
i
e
i
m
F


 нүктесіне әсер ететін сыртқы күштердің қорытқы күші. 
 
 
i
ij
n
j
F




1
 - m
i
 нүктесіне әсер ететін ішкі күштердің қорытқы күші. 
Осындай  тендеуді  механикалық  жүйенің  әрбір  нүктесі  үшін 
жазып  оларды  өзара  қосатын  болсақ,  онда  қарастырып  отырған 
механикалық  жүйенің  қозғалысын  анықтайтын  мынандай  теңдеу 
аламыз: 

 
40 
 
 
















n
i
i
ij
n
j
n
i
e
i
n
i
i
i
F
F
m
dt
d
1
1
1
1




 
мұндағы 
 
 
e
n
1
i
e
i
F
F





 механикалық  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  күштердің 
бас  векторы  деп  аталады,  ал 
 




n
i
i
ij
n
j
F
1
1

механикалық  жүйеге  әсер 
ететін  ішкі  күштердің  қосындысы.  Ол  Ньютонның  III-заңы  бойынша 
нольге  тең  болады.  Сонымен  соңғы  өрнек  (9)  өрнекпен  пара-пар 
екендігін  көреміз.  Сондықтан  теорема  дәлелденді  деп  есептеуге 
болады. 
 
§3. Нүктенің қозғалыс мөлшері  
моментінің өзгерісі туралы теорема 
 
 
Енді  материалдық  нүктенің  қозғалыс  мөлшері  моментінің 
өзгірісі туралы теореманы қарастырайық. Ол теорема былай оқылады: 
 
Қозғалыс мөлщері моментінең уақыт бойынша алынған туынды 
осы қозғалысты туғызатын сыртқы күштердің моментіне тең.  
 
Осы  теореманы  дәлелдейік.  Ол  үшін  нүктенің  қозғалысын 
анықтайтын дифференциалдық теңдеуді жазайық, 
 
F
m
dt
d




 
 
Осы  теңдеудің  екі  жағында  нүктенің  радиус-векторына 
векторлық түрде көбейтейік. Сонда 
 
 
F
r
m
dt
d
r









 

                                         (10) 
мұндағы, 
 
F
r



 - нүктеге қатысты күш моменті деп аталады да, былай 
белгіленеді, 
 
F
m
mo
F
r
0






. 
Енді алдын ала мынандай бір қатысты қарастырайық. 


 
 



 




 




















m
dt
d
r
m
dt
d
r
m
dt
r
d
m
r
dt
d
 
өйткені 
dt
r
d

 және  m


 векторы  коллинеар  болғандықтан,  олардың 
векторлық көбейтіндісі нольге тең,  
0
m
dt
r
d









. 
Сонымен, осы сонғы өрнекті (10) өрнекпен салыстырсақ, онда 

 
41 


 
F
r
m
r
dt
d








,  
F
m
mo
dt
K
d
0
0




.                           (11) 
мұндағы, 






m
r
о


 қозғалыстағы  нүктенің  О  нүктесіне  қатысты 
импульс моменті. 
Сонымен, теорема дәлелденді. 
 
§4. Нүктенің кинетикалық энергиясының  
өзгерісі туралы теорема 
 
 
Енді 
нүктенінің 
кинетикалық 
энергиясының 
өзгерісін 
қарастырайық.  Ол  үшін  қозғалысты  сипаттайтын  дифференциалдық 
теңдеуді  жазайық  та  оның  екі  жағында  нүкте  қозғалысының 
жылдамдық векторына скаляр түрде көбейтейік. Сонда 
 









F
m
dt
d
. 
Бұл теңдеудің сол жағын былай түрлендіруге болады. 
 

















F
2
m
dt
d
m
dt
d
2
. 
Мұндағы 
2
m
E
2
k


 нүктенің  кинетикалық  энергиясы, 
 
F




 қуаттың 
шамасын көрсетеді. Cондықтан, соңғы өрнекті былай жазуға болады, 
dt
F
dE
k





. 
Осы теңдеудің екі жағынан интеграл алсақ, онда былай болады,  




2
1
2
1
t
t
K
dt
F
dE



 
немесе 
A
dt
F
E
E
t
t
k
k





2
1
1
2



                                    (12) 
мұндағы  А  -  сыртқы  күштердің  жұмысы.  Осы  (12)  өрнек  нүктенің 
кинетикалық 
энергиясының 
өзгерісі 
туралы 
теореманы 
тұжырымдайды да былай оқылады; 
 
Материалдық  нүктенің  кинетикалық  энергиясының  өзгерісі 
сыртқы күштердің жұмысына тең. 
 
 
 
 
 

 
42 
§5. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің, қозғалыс мөлшері моментінің 
және кинетикалық энергиясының сақталу заңдары. 
 
 
Жоғарыда 
айтылған 
қозғалыс 
мөлшерін 
сипаттайтын 
шамалардың  өзгерісі  туралы  теоремаларды  пайдаланып  осы 
шамалардың  сақталу  заңдарын  анықтауға  болады.  Шындығында  бұл 
теоремаларға сәйкес осы шамалар сақталады сол уақытта егер нүктеге 
әсер  етуші  сыртқы  күштердің  қорытқы  күштері  нольге  тең  болса. 
Сонымен (8) өрнектен егер  F

 нольге тең болса,  
const
m



. 
Ал (9) өрнекте 
 
0
F
e


 тең болса,  
const
m
n
1
i
i
i




                                        (13) 
бұл қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы. 
 
(11) өрнектен 
0
F
m
mo
0



 тең болса, онда 

0
K

 тұрақты         (14) 
Бұл қозғалыс мөлшері моментінің сақталу заңы. Осы векторлық 
теңдеуді  ox,  oy,  oz    өстеріне  проекциялайтын  болсақ,  онда  біз  үш 
скалярлық теңдеу аламыз: 






const
x
y
y
x
m
К
const
z
x
x
z
m
K
const
y
z
z
y
m
K
oz
oy
ox















                                     (15) 
(12) өрнекті пайдаланып 
0
F


 тең болса, онда  
Е
к
 = тұр                                             (16)  
бұл энергияның сақталу заңы болып табылады. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
43 
V ТАРАУ 
 
БӨЛШЕКТЕР Ж‡ЙЕСІНІҢ ДИНАМИКАСЫ 
 
§1. Қозғалыстың дифференциалдық теңдеуінің бірінші  
және екінші интегралы туралы түсінік 
 
 
Массалары  m
1
,  m
2
,  …  m
n
  материалдық  нүктелерден  тұратын 
механикалық  жүйе  қозғалысының  дифференциалдық  теңдеуін 
Ньютонның екінші заңына сәйкес былай жазамыз: 
i
i
i
F
r
m




    (i=1,2,3,… n),                                     (1) 
мұндағы 
i
F

 -  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  және  ішкі  күштердің 
геометриялық қосындысына тең, 
 
ij
n
j
e
i
i
F
F
F








1
 
(i=1,2,… n).                                 (2) 
 
өткенде  III-тараудың  бесінші  тақырыбында  айтқанымыздай 
осындай  жүйенің  қозғалысын  анықтау  үшін  осы  жүйені  құрайтын 
нүктелердің  3n  координаталарын  және  3n  жылдамдық  векторының 
проекцияларын білуіміз керек. Басқаша айтқанда, 
;
,
,
,...,
,
,
;
,
,
,...,
,
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x






     немесе     
n
n
r
r
r
r
r
r






,...,
,
,
,...
,
2
1
2
1
                              (3) 
 
Механикалық 
жүйе 
қозғалысы 
кезінде 
(3)-өрнекпен 
анықталатын  параметрлердің  әрқайсысы  уақыт  бойынша  өзгереді. 
Бірақ  та  осы  параметрлерден  тәуелді  болатын  кейбір  функция  жүйе 
қозғалысы  кезінде  өзгермей  тұрақты  болып  қалады.  Осындай 
функцияны  қозғалыстың  дифференциалдық  теңдеуінің  бірінші 
интегралы деп атайды. Мұны былай жазуға болады; 


0
2
1
2
1
;
,...,
,
;
,...,
,





f
t
r
r
r
f
n
n







=тұр.                           (4) 
 
0

f
 -  тұрақты  шама  алғы  шарттар  бойынша  анықталады. 
Сонымен  жүйе  нүктелерінің  координаттарына,  жылдамығына  және 
уақытқа  тәуелді  болатын  f
α
  функция  жүйенің  қозғалысы  кезінде 
өзгермейтін  болса,  ондай  функцияны  қозғалыстың  диффенциялдық 
теңдеуінің  бірінші  интегралы  деп  атайды.  Жалпы  алғанда 
қозғалыстың бірінші интегралының саны S≤6n болады. Егер жүйенің 
қозғалысын  анықтайтын  дифференциалдық  тендеуді  айнымалыларға 
толық  айыруға  болатын  болса,  онда  S=6n  болады.  Шынында  да  егер 
(1)  тендеудің  айнымалыларын  айыруға  болатын  болса,  онда  бұл 
теңдеулер  жүйесін  шешуге  болады  және  оның  шешімін  мына  түрде 
жазуға болады; 

 
44 


n
6
2
1
i
1
c
,...,
c
,
c
;
t
r
r



 
(i=1,2,3,…, n),                      (5) 
мұндағы  с
1
,  с
2
,  …,с
6n
  -  тұрақты  сандар.  Осы  (5)  -өрнектен  уақыт 
бойынша туынды алып жылдамдық векторын табамыз;  


n
6
2
1
i
i
c
,...,
c
,
c
;
t





 
(i=1,2,3,…, n).                      (6) 
Осы  соңғы  (5),  (6)-өрнектерді  біріктіріп  шешіп,  ондағы  с
α
  - 
тұрақты шамаларды анықтауға болатын өрнекті былай табуға болады, 


0
n
2
1
n
2
1
c
t
;
,...,
,
;
r
,...,
r
,
r
c












 
(α=1,2,…, 6n),
 
мұндағы 


0
20
10
0
20
10
0
0
,...,
,
;
,...,
,
;
n
n
r
r
r
t
c
с












. 
 
Механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеуінің 
бірінші интегралы мен қоса, оның екінші интегралы да болады.  
 
Жүйе  қозғалысының  диффенциалдық  теңдеуінің  екінші 
интегралы  деп  жүйені  құрайтын  нүктелердің  координаттарына,  3n 
тұрақты  шамаға  және  уақытқа  тәуелді  функцияны  айтады,  егер  бұл 
функция қозғалыс кезінде тұрақты мәнін сақтайтын болса, 


0
3
2
1
2
1
;
,...,
,
;
,...,
,


f
t
c
c
c
r
r
r
f
n
n




= тұр.                              (7) 
Шынын  айтқанда  механикалық  жүйе  қозғалысының  бірінші 
және  екінші  интегралдарының  барлығы  бірдей  механикада  маңызды 
роль  атқарады  деп  айтуға  болмайды.  Олардың  ішінде  кейбіреулері 
кеңістік пен уақыттың симметриялық қасиетіне байланысты, басқаша 
айтқанда  олардын  біртектілік,  изотроптық  қасиеттеріне  байланысты 
тұрақты болып қалатын  қозғалыстың осындай бірінші интегралдарын 
жеке топқа бөліп алады да, оларды сақталу заңдары деп атайды, 


0
2
1
2
1
,...,
,
;
,...,
,





f
r
r
r
f
n
n







= тұр.                              (8) 
Мұндай  сақталу  заңдарына  энергияның,  қозғалыс  мөлшерінің 
және қозғалыс мөлшері моментінің сақталу заңдары жатады. 
 
§2. Күш жұмысы. Күш өрісінің потенциалдылығы  
және потенциалдық энергия 
 
 
Күш  жұмысы  денеге  түсірілген 
күш  әсерін  сипаттайтын  скалярлық 
шама.  Ол  осы  дененің  кинетикалық 
энергиясының 
өсімшесіне 
тең. 
Кеністіктің  бір  О  нүктесінде  күш 
центрі  орналасқан  деп  есептейік  (18-
сурет).  
Сонда осы центрдің айналасында 
күш  өрісі  пайда  болады.  Осы  өрісте 
тұрған кез келген материалдық нүктеге белгілібір күш әсер етеді. Осы 

 
45 
күштің  әсерінен  материалдық  нүкте  қозғалысқа  келеді,  яғни 
қарастырып  отырған  нүкте  өрістің  бір  нүктесінен  екінші  нүктесіне 
орын ауыстырады. 
 
Сонымен  массасы  m  нүктені  өрістің  бір  А  нүктесінен  В 
нүктесіне  орын  ауыстырған  кездегі  күштің  жасайтын  жұмысын 
табайық.  Ол  үшін  осы  АВ  жолды  ұсақ 
dl
 бөліктерге  бөлейік  те,  осы 
бөліктегі элементар жұмысты табайық. Ол  
r
d
F
A





                                               (9) 
 
Мұндағы 
r
d

 -  қарастырылып  отырған  нүктенің  радиус-
векторының өсімшесі. 
Кеңістіктің  А  нүктесінен  В  нүктесіне  дейін  орын  ауыстырған 
кездегі  күш  өрісінің  жасайтын  толық  жұмысы  ұсақ 
dl
 бөліктердегі 
элементар жұмыстың қосындыларына тең. Сондықтан 











AB
Z
Y
X
AB
dz
F
dy
F
dx
F
r
d
F
A


.                           (10) 
 
Математикалық  анализ  курсынан  белгілі  (10)-өрнекпен 
анықталатын  қисық  сызықты  интегралдың  мәні  қарастырып  отырған 
нүктенің,  өрістің  А  нүктесінен  В  нүктесіне  дейінгі  орын  ауыстыру 
жолының  түріне  байланысты  болуы  да  немесе  байланысты  болмауы 
да мүмкін. Егер жоғарыдағы қисық сызықты интегралдың мәні орын 
ауыстыру  жолына  байланысты  болмаса,  онда  (9)  -өрнекпен 
анықталынатын  элементар  жұмысты  нүктенің  координатына  ғана 
тәуелді 
болатын 
бір 
U(x,y,z) 
скаляр 
функцияның 
толық 
дифференциалына тең деп алуға болады, 


z
y
x
dU
dr
F
,
,



.                                          (11) 
Сонда толық жұмыс (10) -өрнек бойынша,  


   
 
 
 
 












B
A
B
A
B
U
A
U
z
y
x
dU
r
d
F
A
,
,


.                         (12)  
 
Осыдан  толық  жұмыс  нүктенің  координатына  тәуелді  U(x,y,z) 
функциясының  бастапқы  және  соңғы  нүктедегі  мәндерінің 
айырмасына тең екендігін көреміз. 
 
Жоғарғы  (11),  (12)-ші  қатыстарды  қанағаттандыратын  күш 
өрісін  потенциалдық  күш  өрісі  деп  атаймыз  да,  мұндағы  U(x,y,z) 
функциясын  осы  күш  өрісінде  тұрған  материалдық  нүктенің 
потенциалдық  энергиясы  деп  атаймыз.  Егер  нүктені  қозғалысқа 
келтіретін  күш  белгілі  болса,  онда  осы  нүктенің  потенциалдық 
энергиясын (12)-өрнекке сәйкес былай анықтауға болады, 
 
 




C
r
d
r
F
r
U




                                      (13) 
 
Осыдан  потенциалдық  энергияның  аддитивті  шама  екендігін 
көреміз, басқаша айтқанда потенциалдық энергияның мәні С- тұрақты 

 
46 
шамаға  байланысты,  бұл  шаманы  анықтау  үшін  нүктенің  алғашқы 
кездегі  тұрған  орнын  білу  керек.  Сонымен  кез  келген  материалдық 
нүктенің  потенциалдық  энергясының  болуы  сол  нүкте  тұрған  күш 
өрісінің потенциалды болуымен байланысты. 
 
Енді осы күш өрісінің потенциалдылығының дифференциалдық 
шартын табайық. Ол үшін жоғырыда айқандағымыздай (10)-өрнекпен 
анықталынатын  қисық  сызықты  интегралдың  мәні  жүрген  жолға 
тәуелсіз  болатындығын  ескерсек,  онда  бұл  интегралдың  мәні  тұйық 
контур бойынша нольге тең,  



l
0
r
d
F


. 
Осыдан Стокс теоремасы бойынша беттік интегралға көшсек, онда 



s
0
s
d
F
rot


. 
Мұндағы  s
d

 тұйық  контур 
l
 керіп  тұрған  бет.  Бұл  шарт  кез  келген 
s
d

бет үшін орындалатындықтан және ол нольге тең болмағандықтан 
0

F
rot

                                             (14) 
болуы керек. 
 
Осы  (14)  -өрнек  орындалатын  болса,  мұндай  күштің  өрісі 
потенциалды 
болып 
табылады. 
Сондықтан 
(14) 
-өрнекті 
потенциалдық  өрістің  дифференциалдық  шарты  деп  атайды. 
Математикалық анализ курсынан белгілі 
 
0









































k
y
F
x
F
j
x
F
z
F
i
z
F
y
F
F
F
rot
x
y
z
x
y
z






. 
Осыны  пайдаланып  (14)-өрнекті  (x,y,z)  өсьтеріне  проекциялайтын 
болсақ, онда 
0




































y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F
x
y
z
x
y
z
.                        (14
/
) 
 
Осыдан  нүктеге  әсер  ететін  күштің  ox,  oy,  oz  өстеріне 
проекциялары  (14
/
)-шартты  қанағаттандыратын  болса,  ондай  күштің 
өрісін  потенциалдық  өріс  деп  атайды.  (14)  және  (14
/
)-өрнекті 
қанағаттандыратын  потенциалдық  күш  өрісі  құйынды  өріс  емес 
екендігін  көреміз.  Егер 
0
F
rot


 болмаса,  мұндай  күш  өрісін 
құйынды өріс деп атайды. Матанализ курсынан белгілі 




0
,
,

z
y
x
gradU
rot
 
болатындығын ескерсек және оны (14)-өрнекпен салыстырсақ, онда,  
gradU
F



,                                            (15) 
екіндігін көреміз. Бұдан былай қарай егер қарастырып отырған күштің 
өрісі  потенциалды  болса,  онда  ол  өрісті  туғызатын  күшті  былай 
жазамыз: 

 
47 
r
U
U
gradU
F












.                                 (15
/
) 
Мұндағы   
z
k
y
j
x
i
r
grad



















.                             (16) 
 
Бұдан  былай  қарай  осы  белгілердің  ішінен  күш  өрісі 
потенциалды болса, онда күшті былай жазатын боламыз; 
r
U
F






.                                             (17) 
 
Кез  келген  нүктесінде  потенциалдық  энергия  тұрақты  болатын 
бетті  эквипотенциалды  бет  деп  атайды,  немесе  потенциал  деңгейі 
тұрақты бет деп атайды. (17) -өрнек бойынша нүктеге әсер ететін күш 
әр  уақытта  эквипотенциал  бетке  перпендикуляр  және  потенциалдық 
энергияның азаю жағына қарай бағытталады. 
 
Потенциалдық  күш  өрістері  олардың  физикалық  мағынасына 
қарай әртүрлі болады. Соларды жеке қарастырайық. 
 
1. Біртекті өріс. 
Біртекті  өріс  деп 
 
r
F


 -  тұрақты  болатын  өрісті  айтамыз.  Бұл 
өрісте (13) -өрнекке сәйкес нүктенің потенциалдық әнергиясы: 
 
С
r
F
r
U






. 
Егер  нүктеге  әсер  ететін  күштің  бағыты  декарттық  координат 
жүйесіндегі oz өсімен бағытталған болса, онда 
 
C
z
F
z
U




. 
Осыдан  z=тұрақты  жазықтығына  параллель  oxy  беті 
эквипотенциал  бет  болады.  Біртекті  өріске  жазық  конденсатордың 
астарларының  арасындағы  электр  өрісі  және  жердің  тартылу  күші 
өрісі жатады. 
 
2. Аксиалды - симметриалды өріс. 
Аксиалды-симметриалды  өріс  деп 
 
 
r
e
F
r
F





 күш  өрісін 
айтады.  Мұндағы 

 -  қарастырып  отырған  нүктенің  симметрия  өсі 
деп  аталатын  декарттық  координаттар  жүйесіндегі  oz  өсінен 
арақашықтығы.  Аксиалды-симметриалдық  өрістің  мысалы  ретінде, 
бойымен ток жүріп тұрған шексіз ұзын өткізгіштің тудыратын электр 
өрісін  айтуға  болады.  Бұл  өрісте  (13)  -өрнекке  сәйкес  потенциалдық 
энергия 
 
 
 








U
С
d
F
r
U
. 
 
Осыдан  эквипотенциалды  бет 

=тұрақты  болатын  қоакциалды 
цилиндр екендігін көреміз. 
 
3. Орталық-симметриялық өріс. 
Орталық-симметриялық өріс деп 

 
48 
 
 
,
r
e
r
F
r
F





 
күштің  өрісін  айтады.  Орталық-симметриялық  өрісті  тудыратын 
күштерге  нүктелік  зарядтың  электростатикалық  күші,  денелердің 
гравитациялық тартылыс күші және 
r
k
F




 серпімділік күші жатады. 
Осы өрістегі потенциалдық энергия (13) -өрнекке сәйкес 
 
 
 





r
U
С
dr
r
F
r
U

. 
 
Осыдан  эквипотенциал  бет  деп  радиусы  r=тұрақты  сфералық 
бетті айтуға болады.  
 
Осы  жоғарыда  айтылғандарды  қарастыра  отырып,  мұндағы  F 
және  U  уақытқа  тікелей  байланысты  емес  екендігін  көреміз,  мұндай 
күш  өрісін  стационарлық  күш  өрісі  деп,  ал  уақытка  байланысты 
болса, ондай күш өрісін стационарлық емес күш өрісі деп атайды. 
 
Егер біз массалары m
1
, m
2
, … m
n
 өзара әсерлесетін нүктелерден 
тұратын  механикалық  жүйені  қарастыратын  болсақ,  онда  мұндай 
жүйенің  толық  потенциалдық  энергиясын,  осы  жүйеге  әсер  ететін 
сыртқы 
және 
ішкі 
күштердің 
тудыратын 
потенциалдық 
энергияларының қосындысы ретінде жазуға болады,  
 
 
i
e
U
U
U


.                                          (18) 
Мұндағы 
 
 


 
 
t
;
r
U
t
;
r
,...
r
,
r
U
U
i
n
1
i
e
i
n
2
1
e
e








                         (19) 
 
 











n
i
j
i
ij
n
j
n
i
i
r
r
U
r
r
r
U
U
1
1
2
1
2
1
,...
,





.                       (20) 
Осы  (19)  және  (20)  өрнектермен  анықталатын  U
(e)
  және  U
(i)
  -
сәйкес  сыртқы  және  ішкі  күштердің  потенциалдық  энергиялары. 
Бұдан  былай  қарай  егер  қарастырып  отырған  механикалық  жүйе 
потенциалды  күш  өрісінде  қозғалатын  болса,  онда  ол  жүйенің 
қозғалысын анықтайтын дифференциалдық теңдеуді былай жазамыз: 
i
i
i
r
U
r
m







. 
(i=1,2,… n)                             (21) 
Мұндағы 
 
 
 














n
j
ij
i
e
i
i
i
i
e
i
F
F
r
U
r
U
r
U
1





 
 
Табиғатта  кездесетін  барлық  механикалық  жүйелерді  мынадай 
төрт топқа бөлуге болады; 
 
1. Тұйық немесе оқшауланған жүйе. 
Мұндай  жүйенің  толық  потенциалдық  энергиясы  осы  жүйені 
құрайтын  ұсақ  бөлшектердің  өзара  әсерінен  болатын  (ішкі  күштер) 
потенциалдық 
энергиядан 
тұрады. 
Басқаша 
айтқанда 
ішкі 
потенциалдық энергиядан тұрады; 

 
49 










n
i
j
i
ij
n
j
n
r
r
U
r
r
r
U
1
1
2
1
2
1
,...
,





. 
 
2. Сыртқы күштердің стационар потенциалдық күш өрісінде 
тұрған жүйелер. 
Мұндай  жүйелердің  толық  потенциалдық  энергиясы  сыртқы 
және ішкі күштердің әсерінен болатын потенциалдық энергиялардың 
қосындысына  тең  болады,  бірақ  сыртқы  күштің  әсерінен  болатын 
потенциалдық энергия уақытқа тікелей байланысты болмайды; 


 











n
i
j
i
ij
n
j
n
e
n
r
r
U
r
r
r
r
U
r
r
r
U
1
1
3
2
1
2
1
2
1
,...
,
,
,...
,









. 
 
3.  Сыртқы  күштердің  стационар  емес  потенциалдық  күш 
өрісінде тұрған жүйелер. 
Мұндай  жүйелер  үшін  сыртқы  күштер  әсерінен  болатын 
потенциалдық энергия уақытқа тікелей байланысты болады да 


 











n
i
j
i
ij
n
j
n
e
n
r
r
U
t
r
r
r
U
t
r
r
r
U
1
1
2
1
2
1
2
1
;
,...
,
,...
,








. 
 
4. Басқа қалған жүйелер. 
Оларға құйынды болатын күш өрісінде тұрған жүйелер, кедергі 
күшінің өрісіндегі жүйелер тағы да басқалар жатады. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: