§3. Инерциялдық санақ жүйесі

 
30 
жүйесінде  кеңістік  пен  уақыттың  жоғарыда  келтірілген  қасиеттері 
орындалатын  болуы  керек.  Мұндай  санақ  жүйесінде  материалдық 
нүкте  өзінің  тыныштық  немесе  бірқалыпты  түзу  сызықты 
қозғалғандағы  күйін  сақтайтын  болады.  Осындай  санақ  жүйесін 
инерциялдық санақ жүйесі деп атайды.  
 
Инерциялдық  санақ  жүйесі  деп,  тыныштықта  тұрған  немесе 
бірқалыпты  түзу  сызықты  қозғалыстағы  санақ  жүйесінде  айтуға 
болады.  Егер  санақ  жүйесі  үдемелі  қозғалыста  болса,  онда  оны 
инерциялдық емес санақ жүйесі деп атайды. Табиғатта инерциялдық 
санақ  жүйесі  болмайды.  Бірақ  оған  жақын  болатын  гелиоцентрлік 
санақ  жүйесін  атауға  болады.  Ол,  бас  нүктесі  күннің  центріне 
орналасқан,  ал  координаттар  осі  жылжымайды  деп  есептелетің  үш 
жұлдызға  бағытталған  санақ  жүйесі.  Ал  бас  нүктесі  жердің  центріне 
орналасқан  санақ  жүйесін  геоцентрлік  санақ  жүйесі  деп    атаймыз. 
Осы  негізгі  инерциялдық  санақ  жүйесіне  қатысты  көптеген  денелер 
бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болуы мүмкін. Осы денелермен 
байланысқан координаталар жүйесінде инерциялдық санақ жүйесі деп 
қарастыруға  болады.  Осыдан,  осындай  көптеген  инерциялдық  санақ 
жүйесінде де механикалық қозғалыс заңдарының түрі бірдей бола ма?, 
- 
деген 
заңды 
сұрақ 
туады. 
Осы 
сұраққа 
Галилейдің 
салыстырмалылық  принципі  жауап  береді.  Бұл  принцип  былай 
тұжырымдалады: 
 
Механикалық  қозғалыстың  барлық  заңдары  кез  келген 
инерциялдық  санақ  жүйесінде  бірдей  болады.  Сонымен  Галилейдің 
салыстырмалылық  принципі  инерциялдық  санақ  жүйелерінің  бір-
біріне пара-пар екендігін көрсетеді. Математикалық түрде оны былай 
айтады: механикалық қозғалыстың барлық заңдары бір инерцияалдық 
санақ  жүйесінен,  екінші  инерциялдық  санақ  жүйесіне  көшкенде 
ковариантты  (формаларын  өзгертпейді)  болады.  Бұны  дәлелдеу  үшін 
релятивистік  емес  механика-
дағы  денелердің  бір-біріне 
әсер  еткен  уақытының  бар-
лық 
санақ 
жүйелерінде 
бірдей болатынын пайдалана-
мыз.  
t = t
/
 
Енді  К  және  К
/
  санақ 
жүйесімен  М  нүктесін  қарас-
тырайық. К
/
 - жүйесі К жүйе-
сіне  қарағанда  V

-жылдам-
дықпен  қозғалады  деп  есеп-

 
31 
тейік. 15-суреттегі ОМО
/
 - векторлық бұрышы-нан: 
0
R
r
r







                                             (9) 
мұндағы                                        
t
V
R
0





 
 
Егер  бастапқы  уақыт  мезетінде  К  және  К
/
  жүйелерінің  бас 
нүктелері бір нүктеде орналасқан және К
/
 санақ жүйесінің қозғалысы 
бір  өстің  бойымен  бағытталған  болса,  мысалы:  OX  өсінің  бойымен, 
онда (9) өрнекті өстерге проекциялай отырып,  
 х=х`,+R
х0` 
,       
 
у=у`,           z=z`     t=t`                    (10) 
 
Осы  (10)  өрнекпен  анықталатын  теңдеулерді  Галилейдің 
координаталық түрлендіруі деп атайды. (9)  өрнектен уақыт бойынша 
туынды алып, нүкте қозғалысының жылдамдығын былай анықтаймыз. 
0
' V







.                                           (11) 
 
1905ж.  Эйнштейн  өзінің  жалпы  салыстырмалылық  теориясын 
ашқаннан 
кейін 
осы 
теорияның 
негізінде 
Галилейдің 
салыстырмалылық  принципін  қарастыра  келіп,  бұл  принциптің  тек 
қана  механикалық  қозғалыстың  заңдарына  ғана  емес  табиғатта 
кездесетін  барлық  қозғалыс  заңдары  үшін  де  дұрыс  болатындығын 
дәлелдеген.  Галилейдің  салыстырмалылық  принципін  Эйнштейн 
былай  толықтырған;  кез  келген  инерциялық  санақ  жүйелерінде 
физиканың  барлық  заңдары  бірдей  формада  өтеді.  Басқаша  айтқанда 
Галилейдің  салыстырмалылық  принципін  жылу  қозғалыстарына  да 
және  жарық  қозғалыстарының  да  заңына  т.с.с.  қолдануға  болады. 
Сондықтан Галилейдің салыстырмалылық принципі бүкіл табиғаттың 
фундаменталдық принципіне жатады. 
 
§4. Механикалық жүйе қозғалысының теңдеуі. 
 
 
Массалары  m
1
,  m
2
,  …  ,m
n
  материалдық  нүктеден  тұратын 
механикалық  жүйенің  қозғалыс  заңын  қарастырайық.  Ол  үшін  осы 
жүйенің әрбір нүктесінің қозғалысын анықтайтын Ньютонның екінші 
заңына сәйкес дифференциалдық теңдеуді былай жазуға болады: 
i
i
i
F
r
m





             (i = 1;2;…;n)                          (12) 
 
Бұл  теңдеудің  оң  жағындағы 
i
F

 -  күші  жүйеге  әсер  ететін  ішкі 
және  сыртқы  күштердің  геометриялық  қосындысына  тең  қорытқы 
күш. 
 
Механикалық  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  күш  деп  жүйені 
құрайтын  нүктелерге  осы  жүйеде  жатпайтын  денелердің  әсерінен 
болатын күшті айтамыз, оны 
 
e
i
F

 деп белгілейміз. 
Жалпы жағдайда           
 
 


i
i
e
i
e
i
,
r
,
t
F
F






 

 
32 
Бұл  сыртқы  күш  уақытқа,  жүйе  нүктелерінің  координаттарына 
және жылдамдық векторларына тәуелді болады деген сөз. 
 
Механикалық  жүйені  құрайтын  нүктелердің  өз  ара  әсер  күшін 
ішкі күштер деп атайды. Ішкі күшті 
ij
F

 деп белгілейміз, ол  
 








n
j
i
i
ij
n
j
i
ij
ij
F
F
F
1
1



 
i
F
ij


 және  j  номерлерімен  белгіленген  нүктелердің  өз  ара  әсер 
күші.  Бұлар  Ньютонның  III-ші  заңын  қанағаттандырады.  Яғни 
ji
IJ
F
F




,  ал 


j
-  бұл  қосындыға  j=i  деген  мүше  кірмейтіндігін 
көрсетеді. Сонымен жүйеге әсер ететін қорытқы күш 
 
ij
n
j
e
i
i
F
F
F








1
. 
Сондықтан 
 
ij
n
i
j
e
i
i
i
F
F
r
m










         (i=1,2,…n)                          (13) 
мұндағы 
i
r

 - 
i
-номерлі  нүктенің  (массасы 
i
m
)  радиус-векторынан 
уақыт бойынша алынған екінші туынды 
,
dt
r
d
2
i
2







 басқаша айтқанда осы 
нүктенің  үдеуі.  Осы  теңдеу 
n
 материалдық  нүктелерден  тұратын 
механикалық  жүйенің  дифференциалдық  теңдеуі  деп  аталады.  Осы 
теңдеуді  шешу  арқылы  механикалық  жүйенің  қозғалыс  заңын 
анықтаймыз. 
 
§5. Динамиканың негізгі есептері және оның алғы шарттары. 
Классикалық механиканың себептік принципі 
 
Массалары  m
1
,  m
2
,  …m
n
  нүктелерден  тұратын  механикалық 
жүйенің еркін қозғалысын қарастырайық. 
Механикалық  жүйенің  еркін  қозғалысы  деп  кез  келген  уақыт 
мезетінде  осы  жүйенің  әрбір  нүктесінің  орын  ауыстыруын  және 
олардың  жылдамдықтарын  анықтауға  болатындай  қозғалысты 
айтамыз. Жүйелердің еркін емес  қозғалыстарын кейін  қарастырамыз. 
Басқаша  айтқанда,  еркін  қозғалыс  деп  жүйе  қозғалысын  декарттық 
санақ  жүйесіне  қатысты  қарастырғанда  кез  келген  уақыт  мезетінде 
оның  3n  координаттарын  және  3n  жылдамдық  векторларының 
проекцияларын, яғни 
n
n
n
z
y
x
z
y
x
,
,
...,
,
,
,
1
1
1
; 

 
33 
n
n
n
z
y
x
z
y
x






,
,
...,
,
,
,
1
1
1
; 
анықтауға болатын қозғалысты айтамыз. Механикалық жүйенің еркін 
қозғалысын  анықтау  үшін,  оның  әрбір  нүктесінің  қозғалысын 
анықтайтын  диференциалдық  теңдеуді  Ньютонның  II-ші  заңы 
бойынша былай жазамыз  
 





n
i
ij
e
i
i
i
F
F
r
m
1
'




         (i=1,2,…n)                          (13) 
 
Осы  теңдеудің  шешуіне  анализ  жасай  келе  динамиканың 
мынадай негізгі екі есебі бар екіндігін көреміз: 
1.
 
Динамиканың негізгі есебі (тура); 
2.
 
Динамиканың кері есебі. 
 
Динамиканың  негізгі  есебінде  механикалық  жүйеге  әсер  ететін 
ішкі  күштер  - 
ij
F

,  сыртқы  күштер 
 
e
i
F

 және  масса  m
i
  -  белгілі  деп 
есептеп, осы жүйенің қозғалыс заңын 
 
t
r
i

 табу керек. Бұны табу үшін 
(13)  теңдеудің  x,y,z  осьтеріне  проекцияларынан  шығатын  мынандай 
дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу керек: 
 
 
 
 
 
 
z
ij
n
j
e
iz
i
i
y
ij
n
j
e
iy
i
i
x
ij
n
j
e
ix
i
i
F
F
z
m
F
F
y
m
F
F
x
m
























1
1
1
                  (i=1,2,…n)                (13’) 
 
Динамиканың  кері  есебінде  жүйені  құрайтын  нүктенің 
массалары  m
i
  және  олардың  қозғалыс  заңдары 
 
t
r
i

 -  белгілі  деп 
есептеп, осы жүйеге әсер ететін қорытқы 
i
F

 күшті табу керек.   
 
Динамиканың  бұл  есебін  нүктелердің  радиус-векторларынан 
уақыт  бойынша  екі  рет  туынды  алып  оны  нүктелердің  массаларына 
көбейту арқылы шешуге болады. Яғни 
i
i
i
F
r
m





              (i=1,2,…n) 
 
Сонымен динамиканың кері есебін шешу үшін берілген радиус-
вектордан  уақыт  бойынша  екі  рет  туынды  алу  жеткілікті.  Мұнда 
динамиканың  негізгі  есебін  шешу  қиынға  соғады,  өйткені  ол  (13’) 
тендеуінен  екі  рет  интеграл  алуды  қажет  етеді.  Сонымен 
динамиканың  негізгі  есебін  шешу  кезінде  кездесетін  кейбір 
қиыншылықтардың  алдын  алу  үшін  мынадай  бір  дербес  есепті 
қарастырайық. 

 
34 
 
Массасы  m  материалдық  нүкте  біртекті  ауырлық 
g
m
P



 
күшінің  әсерінен  қозғалатын  болсын.  Осы  нүктенің  қозғалыс  заңын 
табайық. 
Егер  декарттық  санақ  жүйесін  мына 
(16-суретте)  көрсетілгендей  алсақ,  онда  осы 
нүктенің 
қозғалысын 
анықтай-тын 
дифференциалдық  тендеулер  (13’)  тендеуге 
сәйкес былай жазылады: 









0
0
z
m
mg
y
m
x
m






            
0
z
g
y
0
x










 
Осыдан  нүктенің  қозғалыс  заңының  сол  нүктенің  массасына 
тәуелсіздігін  көреміз.  Осы  теңдеуден  уақыт  бойынша  интеграл  алып 
нүктенің қозғалыс заңын былай анықтаймыз: 
6
5
4
3
2
2
1
2
c
t
c
z
c
t
c
gt
y
c
t
c
x









                                          (14) 
с
1
, с
2
,… с
6
 - тұрақты сандар. 
Осы  теңдеуден  нүкте  қозғалысының  траекториясы 
OX
, 
OZ
 
өсьтеріне  қатысты  түзу  сызықты,  ал 
OY
 өсіне  қатысты  парабола 
екендігін көреміз. 
 
Сондықтан  с
1
,  с
2
,…  с
6
  -  тұрақты  сандарға  әртүрлі  көптеген 
мәндер  бере  отырып,  біз  бірнеше  түзу  сызықтардаң  және 
параболалардаң  қиылысқан  әртүрлі  қисықтар  аламыз.  Ол  қисықтар 
қарастырылып отырған нүктенің траекторияларын көрсетеді. 
Сонымен нүктеге қозғалыс тудыратын күш белгілі болса, ол сол 
нүктенің  траекториясын  дәл  анықтауға  жеткіліксіз.  Жаңағы  түзу 
сызықтармен  параболалардың  қиылысуынан  шығатын  қисықтардың 
қайсысы  нүктенің  шың    траекторисына  сәйкес  келетіндігін  көрсету 
үшін нүкте қозғалысының алғы шарттарын білу керек. 
 
Нүкте  қозғалысының  алғы  шарттары  деп  бастапқы  уақыт 
мезетіндегі  нүктенің  тұрған  орынының  координатысы  мен  сол 
нүктенің жылдамдық векторының координат өстеріне проекциялары-
ның шамасын білуіміз керек. Мысалы: қарастырылып отырған есепте,  
 
 
 
0
0
,
0
0
,
0
0



z
y
x
 
 
 
 
0
0
,
sin
0
,
cos
0
0
0



z
y
x







                           (15) 

 
35 
Сонда  осы  алғы  шарттарды  пайдаланып  (14)  өрнектен  c
2
=0, 
c
4
=0, c
6
=0 екендігін және с
1
=υ
0
 cosα, c
3
=υ sinα, c
5
=0 екендігін көреміз. 
Сондықтан қозғалыс теңдеуін (14) өрнекті былай жазамыз: 




sin
t
2
gt
y
cos
t
x
0
2
0






 
Бұл  нүкте  қозғалысының  теңдеуі  болады.  Осыдан  уақытты 
жойсақ нүкте қозғалысының траекториясын табамыз, 
0
,
cos
2
2
2
0
2



z
gx
xtg
y



 
 
Сонымен нүкте қозғалысының алғы шарттары белгілі болса ғана 
осы  нүкте  қозғалысын  тудыратын  күштің  әсерінен  сол  нүктенің 
траекториясын дәл анықтауға болады. 
 
Енді  динамиканың  негізгі  есебін  шешуге  көшейік.  Егер  (13) 
теңдеулерінің  шешімі  болатын  болса,  онда  оны  векторлық  түрде 
былай өрнектеуге болады: 


n
6
2
1
i
i
c
,...
c
,
c
;
t
r
r



 
(i=1,2,…n)                            (16) 
мұндағы,  с
1
,  с
2
,…с
6n 
  -  тұрақты  сандар.  Олар  мына  алғы  шарттардан 
анықталады, 
 
 


n
i
r
r
i
i
i
i
...,
,
2
,
1
0
,
0
0
0









                           (15`) 
(16)  өрнектен  уақыт  бойынша  туынды  алып  жүйені  құрайтын 
нүктелердің қозғалыс жылдамдықтарын былай жазамыз: 


n
6
2
1
i
i
c
,...
c
,
c
;
t





 
(i=1,2,… n)                          (17) 
(16),  (17)  өрнектерге  (15
/
)  алғы  шарттарды  пайдаланып  былай 
жазамыз: 




.
,...
,
,
,...
,
0
6
2
1
0
6
2
1
i
n
i
i
n
i
c
c
c
r
c
c
c
r








  (i=1,2,…n) 
Бұл  6n  тұрақты  сандарға  қатысты  6n  -  алгебралық 
дифференциалдық  теңдеу.  Осы  тендеуді  шешу  арқылы  с
6n 
тұрақтыларды былай табамыз: 


)
6
,...,
3
,
2
,
1
(
,...,
;
;
,...
,
0
20
10
0
20
10
n
k
r
r
r
f
С
n
n
k
k











                                (18) 
Енді  осы  табылған  тұрақты  сандар  мәнін  (16),  (17)  өрнектерге 
қойып механикалық жүйені құрайтын нүктелердің орын ауыстыруын 
және олардың қозғалыс жылдамдықтарын былай анықтаймыз; 










.
...,
,
,
;
...,
,
,
;
,
...,
,
,
;
...,
,
,
;
0
20
10
0
20
10
0
20
10
0
20
10
n
n
i
i
n
n
i
i
r
r
r
t
r
r
r
t
r
r
























                      (19) 

 
36 
 
Динамиканың  негізгі  есебінің  шешу  жолын  талдай  отырып 
мынандай қорытындылар шығаруға болады: 
Кез  келген  уақыт  мезетінде  механикалық  жүйенің  еркін 
қозғалысын  анықтау  үшін  оны  құрайтын  нүктелердің  радиус-
векторларын 
i
r

 және  қозғалыс  жылдамдықтарын 
i


 анықтасақ 
жеткілікті. 
Егер  механикалық  жүйені  құрайтын  нүктелердің  қозғалыс 
заңдары  бастапқы  уақыт  мезетінде  белгілі  болса,  онда  олардың 
келешектегі  кез  келген  уақыт  мезетіндегі  қозғалыс  заңдарын 
Ньютонның  II-ші  заңы  бойынша  анықталатын  дифференциалдық 
теңдеуді  шешу  арқылы  табуға  болады.Осыны  классикалық 
механиканың себептік принципі деп атайды. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
37 
IV ТАРАУ 
 
БӨЛШЕКТЕР ДИНАМИКАСЫ.  
ДИНАМИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАЛАРЫ 
 
 
Механикалық жүйе қозғалысын зерттеу  үшін осы механикалық 
жүйенің  қозғалыс  мөлшерімен  және  осы  жүйеге  түсірілген  күш 
әсерінің арасындағы байланысты қарастыру керек. Ол үшін қозғалыс 
мөлшері және күш әсерінің мөлшері деген ұғымдар енгізу керек.  
 
Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшеріне мыналар жатады. 
1.
 
Векторлық шама - қозғалыс мөлшері (импульс), 
2.
 
Скалярлық шама - кинетикалық энергия. 
Ал жүйеге түсірілген күш әсерінің мөлшеріне мыналар жатады.  
1.
 
Векторлық шама - күш импульсі, 
2.
 
Скалярлық шама - күш жұмысы. 
Механикалық  жүйенің  қозғалыс  мөлшерімен  оған  түсірілген 
күш  әсері  мөлшерінің  арасындағы  байланыс  динамиканың  негізгі 
теоремаларында  қарастырылады.  Осы  теоремалардан  күштердің 
белгілі  бір  дербес  жағдайларында  механикалық  жүйе  қозғалысын 
сипаттайтын  шамалардың  тұрақты  болып  қалатын  жағдайы  болады. 
Мұны  осы  шамалардың  сақталу  заңы  деп  атайды.  Енді  осы 
динамиканың  негізгі  теоремаларына  және  қозғалыс  мөлшерінің 
шамаларына жеке-жеке тоқталайық. 
Бізге  белгілі  кез  келген  механикалық  жүйенің  қозғалысын 
ілгерілемелі  және  айналмалы  деп  екіге  бөлуге  болады.  Мұнда 
ілгерілемелі  қозғалыс,  векторлық  шама  -  қозғалыс  мөлшерімен 
сипатталатын болса, жүйенің айналмалы қозғалысы, вектолық шама - 
қозғалыс  мөлшерінің  моментімен  (кинетикалық  моментімен) 
сипатталады. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: