Александров П. С., Аналитикалық геометрия бойынша лекциялар М., 1968 ж. Проскуряков И. В. Математикалық энциклопедия
жүктеу/скачать 471,79 Kb.
|
ЛАГРАНЖ ӘДІСІ Куан
| 7.3-мысал. Бірліктердегі шектеулі ресурстың оңтайлы таралуын табыңыз. n тұтынушы арасында, егер j-ші тұтынушыға ресурстың x j бірлігін бөлу кезінде алынған пайда формула бойынша есептелсе.
Шешім.Есептің математикалық моделі бар келесі көрініс: Лагранж функциясын құрастырамыз: . Табамыз Лагранж функциясының жеке туындылары және оларды нөлге теңестіріңіз: Осы теңдеулер жүйесін шешіп, мынаны аламыз: Осылайша, j-ші тұтынушыға бірлік бөлінсе. ресурс болса, онда жалпы пайда максималды мәнге жетеді және денге дейін болады. Біз қолданылған Лагранж әдісін қарастырдық классикалық мәселеоңтайландыру. Бұл әдісті айнымалылар теріс емес және кейбір шектеулер теңсіздіктер түрінде берілген жағдайға жалпылауға болады. Дегенмен, бұл жалпылау негізінен теориялық болып табылады және нақты есептеу алгоритмдеріне әкелмейді. Қорытындылай келе, Лагранж мультипликаторларына экономикалық түсініктеме береміз. Ол үшін ең қарапайым классикалық оңтайландыру мәселесіне жүгінеміз макс (мин) z=f(x1 , х 2); (7.24) 𝜑(x1, x2)=b. (7,25) Шартты экстремумға нүктеде жетті делік . Функцияның сәйкес экстремалды мәні f(x) (7.25) шектеулерінде шама деп алайық бөзгеруі мүмкін, содан кейін экстремум нүктесінің координаттары, демек, экстремалды мән f*функциялары f(x) байланысты шамаға айналады б, яғни . , , демек (7.24) функциясының туындысы жалпы шешімде ерікті ck константаларын ауыстырудан тұрады z(t) = сz1(t) + c2z2(t) + ... Cnzn(t) сәйкес біртекті теңдеу an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0 туындылары сызықтық алгебралық жүйені қанағаттандыратын ck(t) көмекші функцияларға (1) жүйенің анықтаушысы z1,z2,...,zn функцияларының Вронскиандық мәні болып табылады, ол оның -ге қатысты бірегей шешілетіндігін қамтамасыз етеді. Егер интегралдау константаларының белгіленген мәндерінде қабылданатын антитуынды болса, онда функция бастапқы сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі болып табылады. Интеграция біртекті емес теңдеусәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі болған жағдайда, осылайша квадратураларға келтіреді. Лагранж әдісі (еркін тұрақтыларды өзгерту әдісі), біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін алу әдісі ортақ шешімбелгілі бір шешімін таппаған біртекті теңдеу. n-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу үшін y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0, мұндағы у = у(х) белгісіз функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) белгілі, үздіксіз, ақиқат: 1) сызықтық n бар y1(x), y2(x), ..., yn(x) теңдеулерінің тәуелсіз шешімдері; 2) c1, c2, ..., cn тұрақтыларының кез келген мәндері үшін y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) функциясы а болып табылады. теңдеудің шешімі; 3) кез келген үшін бастапқы мәндер x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 шешімі y*(x)=c*1 болатындай c*1, c*n, ..., c*n мәндері бар. y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) x = x0 үшін қанағаттандырады бастапқы шарттар y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1. у(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) өрнегі n-ші ретті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады. n-ші ретті y1(x), y2(x), ..., yn(x) сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің n сызықты тәуелсіз шешімдерінің жиыны теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі деп аталады. Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу үшін тұрақты коэффициенттершешімдердің іргелі жүйесін құрудың қарапайым алгоритмі бар. Теңдеудің шешімін y(x) = exp(lx) түрінде іздейміз: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, яғни l саны түбір сипаттамалық теңдеу ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Сипаттамалық теңдеудің сол жағы сызықтық дифференциалдық теңдеудің сипаттамалық полиномы деп аталады: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + ан-1л + ан. Осылайша, тұрақты коэффициенттері бар n-ші ретті сызықты біртекті теңдеуді шешу мәселесі алгебралық теңдеуді шешуге келтіріледі.Егер сипаттамалық теңдеудің n түрлі нақты түбірі l1№ l2 № ... № ln болса, онда шешімдердің іргелі жүйесі y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), , функцияларынан тұрады. .., yn (x) = exp(lnx) және біртекті теңдеудің жалпы шешімі: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx). шешімдердің іргелі жүйесі және қарапайым нақты түбірлер жағдайының жалпы шешімі. Егер сипаттамалық теңдеудің нақты түбірлерінің кез келгені r рет қайталанса (r еселенген түбір), онда шешімдердің іргелі жүйесінде оған r функциялары сәйкес келеді; lk=lk+1 = ... = lk+r-1 болса, онда in іргелі жүйетеңдеудің шешімдері, r функциясы бар: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx). МЫСАЛ 2. Шешімдердің іргелі жүйесі және бірнеше нақты түбір жағдайлары үшін жалпы шешім. Егер сипаттамалық теңдеудің күрделі түбірлері болса, онда іргелі шешімдер жүйесіндегі қарапайым (көптігі 1) күрделі түбірлердің әрбір жұбы lk,k+1=ak ± ibk yk(x) = exp(akx) функция жұбына сәйкес келеді. cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx). МЫСАЛ 4. Қарапайым күрделі түбірлер жағдайы үшін шешімдердің негізгі жүйесі және жалпы шешім. ойдан шығарылған тамырлар. Күрделі түбір жұбының еселігі r болса, онда мұндай жұп lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, шешімдердің іргелі жүйесінде exp(akx)cos( функцияларына сәйкес келеді. bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx). МЫСАЛ 5. Шешімдердің негізгі жүйесі және көп күрделі түбірлер жағдайы үшін жалпы шешім. Сонымен, коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін: сипаттамалық теңдеуді жазу; l1, l2, ... , ln сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлерін табу; y1(x), y2(x), ..., yn(x) шешімдерінің іргелі жүйесін жазу; y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) жалпы шешімі үшін өрнек жазыңыз. Коши есебін шешу үшін жалпы шешімнің өрнегін бастапқы шарттарға қойып, сызықтық жүйенің шешімдері болып табылатын c1,..., cn тұрақтыларының мәндерін анықтау керек. алгебралық теңдеулер c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1 n-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу үшін y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x), мұндағы у = у(х) белгісіз функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) белгілі, үздіксіз, дұрыс: 1 ) егер y1(x) және y2(x) біртекті емес теңдеудің екі шешімі болса, y(x) = y1(x) - y2(x) функциясы сәйкес біртекті теңдеудің шешімі болады; 2) егер y1(x) біртекті емес теңдеудің шешімі болса, ал y2(x) сәйкес біртекті теңдеудің шешімі болса, y(x) = y1(x) + y2(x) функциясы мынаның шешімі болады: біртекті емес теңдеу; 3) егер y1(x), y2(x), ..., yn(x) біртекті теңдеудің n сызықты тәуелсіз шешімі болса, ал ych(x) - ерікті шешімбіртекті емес теңдеу, онда кез келген бастапқы мәндер үшін x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 үшін c*1, c*n, ..., c*n мәндері болады, осылайша y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) шешімі x = x0 үшін у*( бастапқы шарттарын қанағаттандырады. x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1. y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) өрнегі n-ші ретті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады. Біртекті емес шешімдерді табу дифференциалдық теңдеулертүрінің оң жақ жақтары бар тұрақты коэффициенттері бар: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), мұндағы Pk(x), Qm(x) көпмүшеліктер. сәйкесінше k және m дәрежесінде таңдау әдісі деп аталатын белгілі бір шешімді құрудың қарапайым алгоритмі бар. Таңдау әдісі немесе белгісіз коэффициенттер әдісі келесідей. Теңдеудің қажетті шешімі былай жазылады: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, мұндағы Pr(x), Qr(x) pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 белгісіз коэффициенттері бар r = max(k, m) дәрежелі полиномдар. xs факторы резонанстық фактор деп аталады. Резонанс сипаттамалық теңдеу түбірлерінің арасында s еселігінің l = a ± ib түбірі болатын жағдайларда орын алады. Анау. егер сәйкес біртекті теңдеудің сипаттамалық теңдеуінің түбірлерінің арасында оның нақты бөлігі дәрежедегі коэффициентпен, ал жорамал бөлігі аргументтегі коэффициентпен сәйкес келетіндей болса тригонометриялық функциятеңдеудің оң жағында және бұл түбірдің еселігі s болса, онда қалаған нақты шешімде xs резонанстық коэффициенті болады. Егер мұндай сәйкестік болмаса (s=0), онда резонанстық фактор болмайды. Теңдеудің сол жағындағы нақты шешімнің өрнекті орнына қойып, коэффициенттері белгісіз теңдеудің оң жағындағы көпмүшемен бірдей түрдегі жалпыланған көпмүшені аламыз. Екі жалпыланған көпмүше тең t дәрежелері бірдей xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) түріндегі факторлардың коэффициенттері тең болған жағдайда ғана. Осындай факторлардың коэффициенттерін теңестіре отырып, 2(r+1) белгісіз 2(r+1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Мұндай жүйенің бірізді және бірегей шешімі бар екенін көрсетуге болады. жүктеу/скачать 471,79 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|