Анықталған интегралды жуықтап есептеу. Математика пән мұғалімі: Тасбергенова Анар Талғатқызы Мазмұны
жүктеу/скачать 332,23 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Парабола әдісі
| Трапеция әдісі. (4) интегралындағы функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған
бір дәрежелі Лагранж көпмүшесімен алмастырсақ, онда (16) мұндағы (16) формуласын аралығында интегралдау арқылы (17) теңдігін аламыз. Осыдан . Бұл формула трапеция әдісі деп аталады,себебі 3-сурет сызықтарымен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы трапециясының ауданымен алмастырылады (3сурет). (17) формуладан бұл әдістің жіберетін қатесі (18) екенін көреміз. Ал жоғарыдан бағаласақ , (19) Енді мына интегралды былай есептесек: (20) Онда (21) трапеция әдісінің жалпы формуласы шығады. Ал жіберілетін қате (22) Жоғарыдан бағаласақ , (23) . Сонымен, трапеция әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі екенін көреміз. Парабола әдісі Сандық интегралдың бұл тәсілінде нақты бір интегралдың түрі қарастырылады (4): [a, b] интегралдаудың интервалын жұп сан аралығына бөледі демек 2m-ге, демек бөлінетін нүктенің саны 2m+1-ге тең. Тәсілдің мәні: Трапецияның тәсіліне қарағанда, Симпсон тәсілінде (x0, x1) және (x1, x2) екі көрші аралығында және f(x) қисығын (демек интегралдың астындағы функцияны) параболамен ауыстырады, демек алгебралық көпмүшеліктің түрімен y=f(x)=A(x- x0)(x- x1)+B(x- x0)(x- x2)+C(x- x1)(x- x2) (24) осы жерде А,В,С- анықтау керек шама А,В және С анықталғаннан кейін, парабола формуласының немесе былайша айтқанда Симпсон формуласының берілгені мынау: осы жерде yi -0,1,2,..., 2m бөлінген нүктелердегі f(x) интегралдың астындағы функцияларының мағынасы. Жоғарыдағы қарастырылған трапеция формуласынан да дәлірек формула Симпсон формуласы деп те аталады. Дәл сондай дәлдікке қол жеткізу үшін бұл формулада бөліну аймағының n санын азырақ алып және сәйкесінше үлкен арақашықтық h-деп алу керек. Бірдей арақашықтарда , яғни дәл сондай шешімнің көлемінде, бұл формулада абсолютті және салыстырмалы қателік жіберіледі. Симпсон формуласын осы уақытқа дейін екі рет қолданған тәсілмен алуға болады. Аумақты жұп санды n=2m бөлікке нүктелермен бөлеміз a= x0 < x1 <…< xn-1< xn=b, ординаттарды бөліну нүктелерінде y0, y1,… yn арқылы белгілейміз де, көршілес аумақтардың бір-екеуін қарастырамыз. Мысалы, шеткі сол жақтағы a= x0 нүктені қарастырайық. Үш нүкте арқылы қисық сызықты координаталармен параболаны (x0 у0),( x1 у1),( x2 у2) өсімен бірге жүргіземіз. Бұл ось Оу параллель болу керек.Оның теңдеуі былай болады: y= Ах2 +Вх+С (25) бірақ А,В,С коэффенцентері әзірше белгісіз болып қала береді: [x0, x2] аумағында берілген қисық сызықты трапецияның ауданын (1,3,1) параболамен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданымен алмастырып, жақындатылған теңдікке келеміз: жақшаның сыртына жалпы көбейткіштерді x2 – x0 шығарып, содан кейін жалпы бөлгішке әкелемі де, мынадай формуланы аламыз: (26) (25) теңдеуіндегі және (26) формуласындағы белгісіз А,В,С коэффенценттері x0, x1, x2–ге тең х мағынасындағы жағдайдан табылады. F(x) функциясы жағдйында сәйкес мағынаға ие болады. екендігін байқасақ, бұл жағдайларды мына түрде жазамыз: (27) Екінші теңдікті (27) төртке көбейту арқылы және содан кейін үш теңдікті қатарластыру арқылы мынаны аламыз: y0+4 y1+ y2=A[x02+ ( x0+ x2)2+ x22]+B[x0+2(x0+ x2)+ x2]+6C=2A(x02+ x0 x2+ x22)+3B(x0+ x2)+6C (28) (28) теңдеудің оң бөлігінде төрт бұрышты жақшамен сәйес келеді. (26)-ті (28) теңдеудің оң бөліміне қоя тұра, x2 –x0 =2h ескеріп, жуықталған теңдеуге келеміз (29) Әр ендігі бөлікке тура сондай формула келетіні анық: (30) (29)және (30) теңдеулердің көрінісін барлық аймақ бойынша қоса тұра, мынадай формула аламыз: (31) (31) формуласы бізге керек болған Симпсон формуласы. Формуланың геометриялық мәнін ескере тұра, оны парабола формуласы деп те атайды. Онда барлық ординаттар тақ нөмірмен төртке көбейтіледі, жұп санмен екіге. у0 және у2m шеткі ординаттар коэффенценттері бар формулаға кіреді, олар бірге тең. (4) интегралын жуықтап есептеу үшін функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған Лагранж көп мүшесімен алмастырамыз. Яғни . (32) Осыдан Сонымен мына формуланы – (33) жүктеу/скачать 332,23 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|