Анықталған және анықталмаған интеграл

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

жүктеу/скачать 160,22 Kb.

бет	5/8
Дата	11.09.2022
өлшемі	160,22 Kb.
	#38815

1 2 3 4 5 6 7 8

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

«Функцияның алғашқы бейнесі» ұғымының анықтамасы
Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері
Интегралдар кестесі
Интегралдау әдісі
Айнымалыны алмастыру әдісі
Бөліктеп интегралдау әдісі.

Жаттығулар

Тікелей интегралдау әдісін пайдаланып, төмендегі интегралды есептеңдер:

№	І нұсқа	ІІ нұсқа
1	∫ √3+xdx	∫ ³√(1+x)²dx
2	∫dx	∫dx
3	∫	∫
4	∫sin(2-3x)dx	∫sin(3+4x)dx
5	∫	∫
6	∫	∫
7	∫	∫
8	∫	∫
9	∫dx	∫dx
10	∫dx	∫dx

ІІ. Айнымалылардыалмастыру әдісін пайдаланып, төмендегі интегралды есептеңдер:

№	І нұсқа	ІІ нұсқа
1	∫	∫
2	∫2^xe^xdx	∫3^4xdx
3	∫tg²7xdx	∫sin²xdx
4	∫	∫
5	∫	∫dx

III. Бөліктепинтегралдауәдісінпайдаланып, төмендегіинтегралдардыесептеңдер:

№	І нұсқа	ІІ нұсқа
1	∫xlnxdx	∫dx
2	∫ (1-x) cos5xdx	∫ (x-7) cos2xdx
3	∫(x-4)sin2xdx	∫(x+4)sin2xdx
4	∫ x²(sinx+1)dx	∫ x²(sin2x-3)dx
5	∫x²cos2xdx	∫(x-3)²cosxdx
6	∫ (x²+x)e^-xdx	∫(x+1)e^2xdx
7	∫dx	∫dx
8	∫xsin²xdx	∫xsin²(x+3)dx

Тестік тапсырмалар

ТЕСТ 1

∫ dx

ln(x-1)+x+C
x-lnx+C
2lnx+C
x+lnx+C
3x-2lnx+C

∫ ()dx

-++C
X-lnx+C
lnx++C
x+lnx+C
2lnx-+C

∫dx

1/2x²-3x+4ln|x+2|+C
1/3x³-2x+ln|x+2|+C
x²-3x+ln|x+2|+C
1/2x²+3x+C
1/4x²-4x+4ln|x+2|+C

∫dx

ln(x²+1+x+C)
x-+C
x+2arctg(x²+1)+C
arctgx+C
x+2arcrgx+C

³√x²+7+x+C
x√x²+7+C
1/2√x²+7+C
√x²+7+C
½(x²+7)+C

∫ dx

arctg3ˣ+C
arcsin3ˣ+C

∫ dx

tg(lnx)-lnx+C
tg(lnx)+C
tg²(lnx)+C
tg(lnx)-+C

∫dx

-x²-3x+4ln|x+2|+C
1/3x³-2x+ln|x+2|+C
x²-3x+ln|x+2|+C
x²+3x+C
x²-4x+4ln|x+2|+C

∫(√x+1)²dx

(√x+1)²+C
√x+1+C
x²-x√x+x+C

∫ dx

arctg³x+C
X+2arctgx+C
Arctgx+C
arctg²x+C

ТЕСТ 2

∫ ()dxболса, ондаf^/(0)=?

f(x)=∫ (eˣlnx+x+3)dxболса, ондаfⁿ(1)=?

4
2
2e
e+1
2e+1

∫ (x-2)f(x)dx=2x²-3x+1 болса, онда f(x) функциясықандай?

4x-3
X+3

∫ (3x²-3)dx

x³-3x+C
x³-3x+C

∫ (eˣ-)dx

eˣ++C
xeˣ-+C
eˣ-lnx+C
eˣ+lnx+C
2eˣ-lnx+C

∫ dx

1/2ln(x²+2)+C
½(√x+1)²+C
1/2ln²(x²+2)+C
½(x²+2)+C
1/2x+x+C

∫ eˣ³x²dx

1/3eˣ³+x²+C
½(eˣ+1)²+C
1/3eˣ³+C
½(x²+eˣ)+C
1/2(eˣ+x)²+C

Sinx+2cosx+C
–sinx-2cosx+C
2sinx+cosx+C
sin²x+2cos²x+C
sinx-2cosx+C

∫ sin⁶xcosxdx

sin⁷x+C
sin⁵x-cosx+C
sin⁷x+C
sin⁵x+C

1/3arctg³x+C
x-
x+2arctgx+C
2/3√arctg³x+C
1/3arctg²x+C

Анықталған интеграл

Оқушы білуі керек: анықталған интегралдың жазылуы мен анықтамасын; анықталған интеградың геометриялық мағынасын; анықталған интегралдың қасиеттерін; анықталған интегралдың шешу әдістерін.
Оқушы білуі қажет: анықталған интегралды есептеуді.

Анықталған интеграл ұғымы.

Анықтама. [а,в] аралығында үзіліссіз y=f(x) функциясы берілсін. [а,в] аралығын a=x₀12<…n=b нүктелерімен n бөлікке бөлейік. Δx_i=x_i-x_i-1(i=1,2,…n) элементар аралықтарынан сәйкес ζ_i (i=1,2,…n) нүктесін алып, осы нүктелердегі функцияның f(ζ₁), f(ζ₂),…f(ζ_n) мәндерін есептеп, f(ζ_i)Δ_i (i=1,2,…n) көбейтінділерінен қосынды құрып, _n=f(x_i)Δx_i+f(x₂)Δx₂+…+f(x_n)Δx_n=Σⁿ_i=1f(x_i)Δx_iқосынды f(x) функциясының [а,в] аралығындағы интегралдық қосынды деп аталады.
Анықтама. Егер maxΔx_i→0 (n→∞) болғанда интегралдық өосындының ақырлы шегі бар болса, онда ол f(x) функциясының [а,в] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады. Белгіленуі: ^b_a∫ f(x)dx.
Сонымен , lim Σⁿf(x_i)Δx_i=f(x)dx. (1)
_{max→0 i=1}
мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция. f(x)dx –интеграл астындағы өрнек, а саны- интегралдың төменгі шегі, в саны- интегралдың жоғарғы шегі, х айнымалысы- интегралдау айнымалысы деп аталады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:

Егер [а,в] (а<в) аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін f(x)≥0 болса, онда ≥0
Егер [а,в] (а<в) аралығындағы f(x)≤φ(x) болса, онда

Анықталған интегралды есептеу
1. Ньютон-Лейбниц формуласы

Теорема. Егер F(x) функциясы [а,в] аралағындағы функциясының алғашқы бейнесі болса, онда
(2)
Бұл теңдік Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.
Кейде мына белгілеу қолданылады: ^b_a_.
Ньютон-Лейбниц формуласы анықталған интегралды есептеуге арналған жалпы формула. Ал анықталған интегралды есептеу әдістері анықталмаған интегралды есептеу әдістерімен бірдей. Мысалдар:

|³₁₌

Айнымалыны алмастыру әдісі

Теорема. [а,в] аралығында үзіліссіз y=f(x) функциясы үшін анықталған интеграл берілсін. X=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізейік:
[φ(t)φ^/(t)dt] (3)
Мысалдар:

=³₂=(3³-2³)=

Бөліктеп интегралдау әдісі

u(x), v(x) функциялары х аргументі бойынша [а,в] аралығында дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда d(uv)=udv+vdu болатыны белгілі. Осыдан теңдікті [а,в] аралығында интегралдасақ, онда

^b_a- (4)
(4) формуласы анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.
Мысалдар:

= -xctgx|^π^/3_π_/4+|^π^/3_π_/4+ln|sinx||^π^/3_π_/4=-
^x+lnxdxdx

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

Анықталған интегралдың анықтамасы
Ньютон-Лейбниц формуласы
Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру формуласы
Анықталған интегралда бөліктеп интегралдау әдісі.

Жаттығулар

№	І нұсқа	ІІ нұсқа
1
2
3
4
5

Деңгейлік тест тапсырмалары

Тест1

А)ln(е+1)
В) ln(3+е)
С)1+ ln3
D)3+ln3
E)е+ ln3
2.dx
A)2-2е
В)-е
С)2-е
D)е- 2
Е)-2е
3.-6х+9)dx
A)2 В)3 С)6 D)5 Е)1,5
4.dx
A)cos1
В)-cos1
С)1-sin1
D)sin1-1
Е)
5.dx
A)
В)
С)
D)
Е)
6.dx
A)
В)32
С)
D)64
Е)
7.
A)3
В)2
С)1
D)4
Е)
8.dx
A)-24
В)
С)
D)
Е)
9.dx
A)
В)
С)D)Е)
10.dx
A) B) 2 C) D) 3 E)
ТЕСТ 2
1.dx
A) 9 B)-12 C) D) 12 E)-9
2.dx
A) B) 24 C) D) E)-4
3.dx
A) B) 2 C)1 D) E)
4. dx
A) B) 2 C) D) E)
5.)dx
A)-1 B) 1 C) D) E)2
6.
A)1+ B) 1 C) D) E)
7.dx
A) B) 2 C) D) E) 0
8.dx
A)e B) 2 C) -1 D) E) e-
9.⁴ *(3)dx
A)- B) 1 C) D) E)
10.
A)0 B) -2 C) D) E)2

2.3 Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

2.3.1. Тікбұрышты координаталардағы аудан
а)Егер [a,b]кесіндісінде болса,онда осы кесіндіде
S(x)= dx
Интегралы қисық сызықты трапецияның ауданын өрнектейді.
Егер [a,b]кесіндісінде болса,онда қисық сызықты трапеция Ох осінің төменгі жағында орналасқан және dx0. Бұл интеграл трапецияның ауданын «минус» таңбасымен анықтайды.
Мысалы y=sinx синусойдасымен және Ох осімен шектелген аймақтық ауданды табу керек. (0≤x≤2π)

2 cурет Функцияның графигі
[0] аралығында sinx0, ал [] аралығында sinx0 болғандықтан, берілген аймақтың ауданын табамыз.
S(G)=-=-cosx +cosx=-cos-cos=4
б)x=a,x=b түзулерімен және [a,b] аралығында үзіліссіз у=f₁(x), у=f₂(x) (мұндағы f₁(x)f₂(x)) функциялардың графиктерімен шектелген аймақтың ауданы мына формуламен табылады:
S(x)=dx

Мысалдар:1. y=, y=x² параболамен шектелген G аймағының ауданын табу керек.

Шешуі теңдеулер жүйесін , осы қисықтардың (0;0) және (1;1) қиылысу нүктелерін табамыз. [0;1] кесіндісінде ≥х² орындалатын болғандықтан
S(G)=dx=-=-=

4сурет. Фигураның ауданы.

y=lnx және y=x қисықтарымен шектелген фигураның ауданын табыңдар.

Шешуі. Қисықтардың қиылысу нүктелерін табамыз: М₁(1,0),М₂(е,1)
S(x)=dxформуласын қолданамыз. S=dx

xdx==x
xdx==x=xlnx-x+С Сонда
==(xlnx-x) - (x+2x)=elne-e+1-(e)+2=3-e
3.y=2x-x²параболасы және у=-xтүзумен шектелген фигураның ауданын табыңдар.
Шешуі : Параболаның теудеуін қарастырайық:
y= -x²+2x y=-(x²-2x+1)+1 y-1=(x-1)²
Бұл параболаның төбесі (1,1) нүктесінде және ол х=1 түзуі бойынша симметриялы орналасқан.Берілген параболаның және түзудің графигін салайық. Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп , А мен В нүктелерінің абсциссаларын табайық:
3x-x²=0 x(3-x)=0. x₁=0. x₂=3

S==dx=-) =- = (кв.бірлік)
4.y=x² параболасы және y=3-x түзуімен шектелген фигураның ауданын табыңдар.
Шешуі . Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп,қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табайық:
=3-x, x²+x-3=0, x₁1.3,x₂
S=dx=(3x-) =3*1,3-- -(3*(-2.3)-)=7,84
5. у=х²-3х+5 және у=3 сызықтарымен шектелген дененің ауданын табыңдар.
Шешуі : Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп,қиылысу нүктелерінің абсцисаларын табайық:
=, (x-1)(x-2)=0, x₁=1,x₂=2
Cонда
S==dx=(-) =-=

жүктеу/скачать 160,22 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8