2.4 Қисықтық сызықтары
Анықтама: Егер беттегі әрбір нүктенің бағыты бас бағыт болып табылса, онда беттегі сызық қисықтық сызығы деп аталады.
=0 - қисықтық сызығының дифференциалдық теңдеуі.
Беттің толық және орташа қисықтықтары
Анықтама: Беттің орташа қисықтығы деп бас қисықтықтың қосындысының жартысын атайды. Беттің толық (гаусстық) қисықтығы деп бас қисықтықтың көбейтіндісін атайды.
орташа қисықтық, толық қисықтық,
бас қисықтықтар.
Осы теңдеудің түбірлері бас қисықтықтар болып табылады. Виет теоремасы бойынша:
орташа қисықтық,
толық қисықтық.
Беттегі асимптоталық сызықтар
Анықтама: Беттегі М нүктесіндегі бағыттар осы нүктесіндегі дюпен индикатрисасының түйіндес диаметрлерінің бағыттарына сәйкес болса, онда түйіндес бағыттар деп аталады.
Анықтама: Егер беттегі әрбір нүктесінің бағыты бас бағыт балып табылса, онда беттегі сызық қисықтық сызығы деп аталады.
Анықтама: Беттегі сызықтар асимптоталық деп аталады, егер оның әрбір нүктесіндегі бағыты асимптоталық болса.
болғандықтан
– асимптоталық сызықтардың теңдеуі.
Мысалдар:
а) Z= параболоид үшін кез келген нүктедегі орташа қисықтықты табу керек:
Шешуі: Бетті параметрлік түрде жазып аламыз:
Дербес туындыларын табамыз: ; ;
; ; ;
Орташа қисықтық келесі формула арқылы табылады:
;
E=1+4, F—4xy, G=1+4; L=; M=0, N=-;
Ендеше .
Жауабы:
ә) тік геликоид үшін қисықтық сызығының дифференциалдық теңдеуін табу керек.
Шешуі:
=(u cosv, u sinv, av) =(cos v, sin v, 0)
=(-u sinv, u cosv, a) =(0,0,0) (-u cosv, -u sinv, 0)
=(-sinv, cosv, 0)
E=1, F=0, G=a2+u2, L=0, M=-, N=0
Қисықтық сызығының теңдеуі:
=0 =0 => (a2+u2)dv2-du2=0
dv2=, dv=
v= => v=ln+c
Достарыңызбен бөлісу: |
