Анықтама: a < t < b аралық берілсін. Егер tє(a,b) әрбір мәніне векторының анықталған мәні сәйкестендірілсе, онда осы аралықта скаляр аргументке тәуелді вектор-функция берілді дейміз.
Вектор-функция үшін үзіліссіздік ұғымы скаляр-функция сияқты енгізіледі.
Анықтама:Егер орындалса, онда вектор-функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Анықтама: вектор-функцияның туындысы деп ұмтылғандағы қатынасының шегі аталады.
.
1 теорема: Вектор-функциялардың қосындысының туындысы олардың туындылардың қосындысына тең.
(1)
2 теорема: Вектордың скалярға көбейтіндісі, векторладың скалярлы және векторлық көбейтіндісі скалярлық анализдің ережесі бойынша дифференциалданады.
(2)
(3)
(4)
(3) формуладан скаляр квадратты дифференциалдау ережесі шығады.
3 теорема:Векторлардың аралас көбейтіндісі келесі ереже бойынша дифференциалданады.
(5)
4 теорема: Тұрақты вектордың туындысы нөлге тең.
Вектор-функцияның туындысының координаталарын табу
ортонормаланған базис берілсін. вектор–функция.
Координатаның туындысы дифференциалданатын вектор–функцияның сәйкес координаталарының туындысына тең.
Мысалдар: а) вектор функция үшін скаляр функцияларды анықтау керек және оның анықталу облысын көрсету керек.
Шешуі: Вектор-функция координаталық түрде берілген, сондықтан скаляр функцияларды көрсетуге болады:
ә) Келесі вектор-функциялар берілген: , . Осы функциялардың скаляр көбейтінділерінің туындысын табу керек.
Шешуі: Екі вектор-функцияның скаляр көбейтіндісінің туындысын табу үшін, вектор-функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз:
