Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений

«Транспортная  наука  и инновации»,  посвященная  Посланию  Президента  РК  Н.А.  Назарбаева   

«Нҧрлы  жол  - путь  в будущее» 

 

Материалы  XXXIX Республиканской научно-практической конференции студентов 

353 

Далее  определяют  интервалы  группирования  экспериментальных  дан-ных  в  виде 

);

,

(

1

1

1

h

у

у







);...;

2

,

(

1

1

2

h

у

h

у









);

,

(

n

n

m

у

h

у 





 

и 

подсчитывают 

число 

попаданий    n

k 

  (частоты)  результатов  измерений  в  каждый  интервал  группирования. 

Сумма  этих  чисел  должна  равняться  числу  измерений.  По  полученным  значениям  

рассчитывают  вероятности  попадания  результатов  измерений  (частости)  в  каждый  из 

интервалов группирования по формуле  р

к 

= n

k

/n,  где к=1,2,…,m. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1. Гистограмма и полигон 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок  2. Кумулятивная  кривая 

 

Приведенные  расчеты  позволяют  построить  гистограмму,  полигон  и  кумулятивную 

кривую. 

Для  построения    гистограммы    по  оси  результатов  наблюдений    х  (рису-нок  1) 

откладываются  интервалы    ∆к  в  порядке  возрастания  номеров  и  на  каждом  интервале 

строится  прямоугольник  высотой    рк.  Площадь,  заклюю-ченная  под  графиком, 

пропорциональна числу наблюдений  n. 

Полигон  представляет  собой  ломаную  кривую,  соединяющую  середины  верхних 

оснований каждого столбца гистограммы (рисунок 1) 

Кумулятивная  кривая  –  это  график  статистической  функции  распре-деления 

(рисунок 2). 

Для  ее  построения  по  оси  результатов  наблюдений  х  (рисунок  2)  откладываются 

интервалы    ∆к  в  порядке  возрастания  номеров  и  на  каждом  интервале  строится 

прямоугольник  высотой   

 













k

k

k

k

k

k

k

n

n

p

F

1

1

1

 

 

х 

0 

р

к 

Гистограмма 

Полигон 

∆

к 

0 

х 

F

к 

1 

y

1 

y

k 

y

k

+h 

«Транспортная  наука  и инновации»,  посвященная  Посланию  Президента  РК  Н.А.  Назарбаева   

«Нҧрлы  жол  - путь  в будущее» 

 

Материалы  XXXIX Республиканской научно-практической конференции студентов 

354 

Значение   

k

F

    называется    кумулятивной  частностью,  а  сумма    nk  – ку-мулятивной 

частотой. 

3.  Оценка  закона  распределения  по  статистическим  критериям.  При  числе 

наблюдений  n     50  для  идентификации  закона  распределения  исполь-зуется  критерий 

Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса-Смирнова. 

4. Определение доверительных границ случайной погрешности. 

Если  удалось  установить  закон  распределения  результатов  измерений,  то  с  его 

использованием  находят  квантильный  множитель 

p

z

  при  заданном  зна-чении 

доверительной  вероятности    Р.  В  этом  случае  доверительные  границы  случайной 

погрешности  

x

p

S

z







. 

5.  Определение  границ  неисключенной  систематической  погреш-ности   



  

результата  измерений.  Под  этими  границами  понимают  найден-ные  нестатистическими 

методами 

границы 

интервала, 

внутри 

которого 

нахо-дится 

неисключенная 

систематическая  погрешность.  Она  образуется  из  ряда  составляющих:  как  правило, 

погрешностей  метода  и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы 

неисключенной  систематической  погрешности  принимаются  равными  пределам 

допускаемых  основных  и  до-полнительных  погрешностей  средств  измерений,  если  их 

случайные  состав-ляющие  пренебрежимо  малы.  Они  суммируются  по  определенным 

правилам.  Доверительная  вероятность  при  определении границ  



  принимается равной 

доверительной  вероятности,  используемой  при  нахождении  границ  случай-ной 

погрешности. 

6.  Определение  доверительных  границ  погрешности   



    результата  измерения  ∆р. 

Данная  операция  осуществляется  путем  суммирования  СКО  случайной  составляющей   

x

S

    и  границ  неисключенной  систематической  со-ставляющей 



    в  зависимости  от 

соотношения  



/

x

S

. 

7.  Запись  результата  измерения.  Результат  измерения  записывается  в  виде  

Р

х

х







  при  доверительной  вероятности    Р  =  РД.  При  отсутствии  дан -ных  о  виде 

функции 

распределения 

составляющих 

погрешности 

результаты 

измерений 

представляются в виде  х , 

x

S

,  n,  



 при доверительной вероятности РД. 

В  качестве  способа  оценки  близости  распределения  выборки  экспери-ментальных 

данных  к  принятой  аналитической  модели  закона распределения используются критерии 

согласия.  

Наибольшее  распространение  в  практике  получил  критерий  Пирсона.  Идея  этого 

метода  состоит  в  контроле  отклонений  гистограммы  эксперимен-тальных  данных  от 

гистограммы  с  таким  же  числом  интервалов,  построенной  на  основе  распределения, 

совпадение с которым определяется. 

 Использование  критерия  Пирсона  возможно  при большом числе изме-рений   (n    

50)  и заключается  в вычислении 

2



 (хи-квадрат): 

 











2

1

2

)

(

m

i

i

i

i

N

N

n



2

1

)

(







m

i

i

i

i

i

i

P

n

P

n

n

, 

 

«Транспортная  наука  и инновации»,  посвященная  Посланию  Президента  РК  Н.А.  Назарбаева   

«Нҧрлы  жол  - путь  в будущее» 

 

Материалы  XXXIX Республиканской научно-практической конференции студентов 

355 

где    ni,  Ni  -  экспериментальные  и  теоретические  значения  частот  в  i–м  интер-вале 

разбиения;  m  -  число  интервалов  разбиения;  Pi  -  значения  вероятностей  в  том  же 

интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распред-ления;   







m

i

i

n

n

1

. 

Методика  определения  соответствия  экспериментального  и  принятого  законов 

распределения заключается  в следующем: 

определяют оценки среднего арифметического  значения   х   и СКО Sx; 

группируют результаты многократных наблюдений по интервалам дли-ной  h, число 

которых  определяют так же, как и при построении гистограммы; 

для  каждого  интервала  разбиения  определяют его центр xi0 и под-считывают число 

наблюдений   ni, попавших в каждый интервал; 

вычисляют  число  наблюдений  для  каждого  из  интервалов,  теоре-тически 

соответствующее  выбранной  аналитической  модели  распреде-ления; производят переход 

от  реальных  середин  интервалов  к  норми-рованным 

x

i

i

S

x

x

z

/

)

(

0





,  затем  находят 

значение плотности веро-ятности   f(zi)  для каждого значения  zi  ; 

если  в  какой-либо  интервал  теоретически попадает меньше пяти на-блюдений, то в 

обеих гистограммах  его соединяют с соседним интер-валом; 

по соответствующей формуле  определяют показатель разности частот 

2



; 

выбирают уровень значимости критерия q. 

С учетом вышесказанного,  сформулируем  и решим следующую  задачу. 

Задача: 

При  многократном  измерении  диаметра  вала    30  h9(-0,052)    микрометром  МК25-1 

полу-чены  следующие  результаты:  29,94;  29,95;  29,96,  29,97;  29,97;  29,98;  29,98  мм. 

Неучтенная систематическая погрешность, вызванная от-клонениями температуры вала от 

нормальной,    равна 



  =  2  мкм.  Определить,  является  ли  результат  х1  =  29,  94  мм  

промахом,  найти  и  записать  в  стан-дартной  форме  результат  измерений  (доверительная 

вероятность  Р = 0,95). 

Решение: 

1. Определим среднее арифметическое значение измеряемой величины, мм: 

 

964

,

29

7

98

,

29

98

,

29

97

,

29

7

,

29

96

,

29

95

,

29

94

,

29

















х

. 

 

2. Рассчитаем СКП единичных измерений, мм: 

 

15

,

0

016

,

0

016

,

0

006

,

0

006

,

0

004

,

0

014

,

0

024

,

0

1

7

1

2

2

2

2

2

2

2



















x

S

. 

 

3.  Так  как  число  измерений    n  >10,  а  закон  распределения  результатов  единичных  

измерений неизвестен, промах вычислим с использованием кри-терия Романовского: 

 

6

,

1

035

,

0

94

,

29

964

,

29









. 

 

Для  ближайшего  меньшего    n  =  6  и    q  =  0,05  (при    Р  =  0,95)  по  таблице  найдем  

10

,

2



Т



, т.е. 

Т







 и результат   х1 = 29, 94 мм  промахом не являет-ся. 

«Транспортная  наука  и инновации»,  посвященная  Посланию  Президента  РК  Н.А.  Назарбаева   

«Нҧрлы  жол  - путь  в будущее» 

 

Материалы  XXXIX Республиканской научно-практической конференции студентов 

356 

4. Определим СКП результата измерений среднего арифметического  значения, мм: 

 

0057

,

0

7

015

,

0





x

S

. 

5.  Для  заданной  вероятности      Р  =  0,95    и  числа  измерений      n  =  7    по  таблице 

установим значение коэффициента Стьюдента   t = 2,447.  

Тогда  доверительные границы случайной погрешности результата измерений, мм: 

 

014

,

0

0057

,

0

447

,

2













. 

 

6.  Так  как  отношение 

8

,

0

35

,

0

0057

,

0

002

,

0







x

S



,  то  неучтенной    системати-ческой 

погрешностью  по  сравнению  со  случайной  погрешностью  измерения  пренебрежем  и 

примем доверительные границы погрешности результата измерений, мм: 

 

014

,

0











. 

 

7. Результат  измерений запишем в виде     

 

,

014

,

0

964

,

29





А

 0,95. 

 

Таким  образом,  результат  математически  обработанных  прямых  мно-гократных 

равноточных  измерений  вала  гладким  микрометром  согласно  ГОСТ  8.207  равен  сумме 

среднеарифметического  значения  измерений  и  по-грешности  измерений  при 

доверительной вероятности  Р

Д 

=0,95  

 

CПИCOК ИCПOЛЬЗOВAННOЙ  ЛИТЕPAТУPЫ 

 

1.  ГОСТ  8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблю-дениями. Методы 

обработки результатов наблюдений. Основные положения» 

2.  Крылова,  Г.Д.  Основы  стандартизации,  сертификации, метрологии. М.: ЮНИТИ-

ДАНА,  2007, 671 с.  

3.  Якушев,  А.И.  Взаимозаменяемость,  стандартизация  и  технические  измерения.  М.: 

Машиностроение, 1987, 352 с.  

4. Брянский, Л.Н. Краткий справочник метролога. М.: Изд-во стандартов, 1991, 79 с.  

5.  Фрумкин,  В.Д.  Теория  вероятностей  и  статистика в метрологии и измерительной 

технике. М.:  Наука,  1987, 350 с. 

 

 

ОБРАБОТКА  РЕЗУЛЬТАТОВ  ПРЯМЫХ МНОГОКРАТНЫХ   

НЕРАВНОТОЧНЫХ  ИЗМЕРЕНИЙ 

 

Нурулина А. – студент (г. Алматы, КазАТК) 

Чуркина О.И. (г. Алматы, КазАТК) 

 

Обработка  результатов  многократных  измерений  согласно  ГОСТ  8.207  «ГСИ. 

Прямые  измерения  с  многократными  наблюдениями.  Методы  обра-ботки  результатов 

наблюдений.  Основные  положения»  [1]  заключается в нахождении результата измерения 

«Транспортная  наука  и инновации»,  посвященная  Посланию  Президента  РК  Н.А.  Назарбаева   

«Нҧрлы  жол  - путь  в будущее» 

 

Материалы  XXXIX Республиканской научно-практической конференции студентов 

357 

физической  величины  и  доверительного  интервала,  в  котором  находится  ее  истинное 

значение. 

Согласно  ГОСТ  8.207  неравноточными  называются  измерения  одной  и  той  же 

величины,  выполненные  с  различной  точностью,  различными  сред-ствами  измерений, 

различными операторами и т.д.  

Исходной  информацией  для  обработки  является  ряд  из  n  (n  >  4)  ре-зультатов 

единичных измерений х

1

, х

2

, х

3

, …, х

n

, из которых исключены известные систематические 

погрешности. Число измерений зависит от требований к точности получаемого результата 

и от реальной возможности выполнения повторных измерений.  

Задача  обработки  результатов  многократных  измерений  заключается  в  нахождении 

измеряемой  величины  и  доверительного  интервала,  в  котором  находится  ее  истинное 

значение. 

Последовательность  обработки  результатов  прямых  многократных  изме-рений 

состоит из ряда этапов [2-4]: 

1.  При  обработке многократных прямых неравноточных измерений нельзя просто 

вычислять  среднее  арифметическое,  поскольку  это  привело  бы  к  увеличению 

погрешности  за  счет  измерений,  выполненных  недостаточно  тщательно  или  с 

недостаточной точностью. 

При 

вычислении 

среднего 

арифметического 

неравноточных 

измерений 

предпочтение следует отдавать измерениям, выполненным с наибольшей точностью [2-4].  

Для  этого  каждому  результату  приписывают  определенный  «вес»,  т.е.  число, 

характеризующее  степень  доверия  к  тому  или  иному  отдельному  результату  измерений, 

входящему  в ряд неравноточных измерений. 

Тогда при неравноточных измерениях с весами результатов равноточных измерений 

g

i

  в  качестве  результата  принимают  среднее  взвешенное  значение  величины, 

определяемое по формуле  [5]. 

                                   











m

i

i

i

m

i

i

в

x

g

g

х

1

1

1

                                                    (1) 

где 

i

x  − среднее арифметическое  ряда равноточных измерений: 

 

            







1

1

1

1

1

1

n

j

j

x

n

х

;   







2

1

2

2

2

1

n

j

j

x

n

х

;   







i

n

j

ij

i

i

x

n

х

1

1

;   







m

n

j

mj

m

m

x

n

х

1

1

,              (2) 

                                                                                                           

где x

ij

 − единичное измерение в ряду равноточных измерений (j = 1, 2, …, n); 

n

1

, n

2

, …, n

m

 − число измерений в i-м ряду равноточных измерений; 

m - число рядов равноточных измерений. 

Вес результата  i-го ряда равноточных измерений определяют по фор-муле 

                                                   

C

S

n

g

i

x

i

i

2



                                                   (3) 

 

где n

i

 и S

2

хi

 − объем и дисперсия i-го ряда равноточных измерений соответ-ственно; 

С - любое, отличное от нуля число. 

Обычно С выбирают таким образом, чтобы 

 





m

i

i

g

1

=1 

Среднюю  квадратичную  погрешность  (СКП)  результата  измерений  сред-него 

взвешенного значения  

в

x

S  определяют по формуле 

жүктеу/скачать 5,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: