Теорема. Функцияның шегінің екі анықтамасы пара- пар.
Шынында да, 1-анықтамада айтылған мағынада болсын, сонда осы шектің 2-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетейік. Қарсы жорып, екінші анықтама дұрыс болмайды дейік. Бұл жорамалды әдеткі символын символымен, символын символымен, яғни, "барлық үшін" сөз тіркесін " мәні табылады" сөз тіркесімен алмастыра отырып,керісінше тұжырымдап, 2-анықтаманы теріске шығарайық.
Сонда
немесе саны табылып, кез келген саны үшін ең болмағанда бір нүктесін табуға болады және тенсіздігі орындалғанда тенсіздігіде орындалады.
саны үшін , тізбегінің барлық мүшелерін алайық. Сонда әрбір және оған сәйкес нүктесі үшін теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Алайда жағдайда оған функция мәндерінің тізбегі санына ұмтылмайды. 1-анықтаманың мағынасына қарсы осы табылған қайшылық айтылған болжамды дәлелдейді.
Енді 2-анықтамада тілінде айтылған мағынадағы ƒ функциясы шегінің 1-анықтамада айтылған мағынада да бар болатынын көрсетеміз. Ол үшін санын тағайындап алып, оған сәйкес санын табамыз. Енді ұмтылатын қандайда да болсын тізбек дейік (). Сонда санына (жоғарыда тауып алған) сәйкес нөмері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалады. Бұдан 2-анықтама бойынша теңсіздігі шығады. Сонымен жағдайда болады. Демек, функция шегінің екі анықтамасы бір-бірімен пара-пар болып шықты. Бұл екі анықтаманың қай-қайсысын да қолайлы болған кезде падалана беруге болады.
Теорема. функциясы анықталған болсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын.
Егер де ақырлы шегі бар болатын болса, онда шектік нүктенің маңайы табылып, функция шенеулі болуға міндетті.
