Анықтама. функциясы аралығында анықталған болсын. нүктесі үшін
болатын болса, онда нүктесі функциясының үзіліс
нүктесі деп аталады, ал функция үзілісті деп аталады.
нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болсын және ақырлы немесе ақырсыз шегі бар болсын. Онда
а) егер ақырлы болса, онда нүктесін функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп атаймыз;
б) егер болса, онда нүктесін екінші текті үзіліс нүктесі деп атаймыз.
Теорема. функциясы аралығында анықталған, бірсарынды өспелі(кемімелі) функция болсын. Онда бұл функцияның үзіліс нүктелері бар болса, тек бірінші ретті үзіліс нүктесі болады.
Үзіліссіз функцияларға амалдар қолдану
Теорема. , функциялары нүктесінде үзіліссіз болса, онда , ,
функциялары да, егер болса, онда
функциясы да нүктесінде үзіліссіз болады.
Үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Больцано мен Кошидің бірінші теоремасы.
Егер: 1) f(x) функциясы [a,b] сегментінде үзіліссіз, 2) бұл аралықтың шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда [a,b] сегментінің ең болмағанда бір с ішкі нүктесінде f(c)=0 болады.
Больцано мен Кошидің екінші теоремасы.
Егер: 1) f(x) функциясы не [a,b] сегментінде, не (a,b) интервалында үзіліссіз, 2) бұл аралықтың шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндері А мен В өзара тең емес, 3) С саны А мен В-нің арасындағы кез келген сан болса, онда а мен b-нің арасында жататын ең болмағанда бір нүкте с табылып, f(c)=C болады.
Дәлелдеу. A>B деп ұйғаралық. Онда A>C>B. Былайша бір көмекші функция (x)=f(x)-C құралық.
(a,b) аралығында берілген f(x) үзіліссіз функция болғандықтан, екі үзіліссіз функцияның айырымы болуы себепті (x) де сол аралықта үзіліссіз функция.
Сонымен қатар:
Және
.
Сөйтіп, [a,b] сегментінде көмекші функция үзіліссіз және сегменттің шеткі нүктелеріндегі оның мәндерінің таңбасы әр түрлі болып, яғни функция Больцано мен Кошидің бірінші теоремасының шарттарын түгел қанағаттандыратын болып шықты.
Олай болса, а мен b нүктелерінің арасында жататын ең болмағанда бір с нүктесі табылады да,
Бұдан:
Яғни
Осымен теорема дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |
