1-мысал. , , болсын. болатынын көрсету керек.
Шешуі. болсын, онда . Осыдан
,
яғни , одан келесі теңсіздік шығады:
,
ендеше . Олай болса, .
2. Бейнелеу және функциялар
2-мысал Егер және , болса, онда
теңдігінің орындалатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. болса, онда , яғни және . Онда және , ал, осыдан,
.
Олай болса,
енгізуі дәлелденді.
Кері енгізуді дәлелдеу үшін, деп аламыз. Онда және , осыдан және , сондықтан және , осыдан,
.
Дәлелденген енгізулерден ізделіндітеңдік шығады.
3. Нақты сандар. Архимед принципі
Теорема 1. нақты саны қандай болса да, теңсіздігі орындалатындай натурал саны табылады , яғни
.
Теорема 2. Егер , - кез келген нақты сан болса, онда , теңсіздігін қанағаттандыратын натурал саны табылады.
1-мысал. Барлық дұрыс рационал бөлшектерінің ең үлкен және ең кіші элементтері болмайтынын дәлелдеу керек, мұндағы және - натурал .
Шешуі. және () – кез келген натурал сандар болсын. Онда
,
теңсіздіктерінен барлық дұрыс рационал бөлшектер жиынында ең үлкен және ең кіші элементтері болмайтыны шығады.
,
орындалатынын көрсетеміз.
2- теоремадан (Архимед) кез келген және сандарына сәйкес орындалатындай саны табылады. Онда . Осыдан және теңсіздігінен
шығады.
Аналогия бойынша кез келген және сандары үшін
теңсіздігін қанағаттандыратындай натурал саны табылады .
Осыдан
,
яғни үшін аламыз, ал бұл теңсіздігімен
