§4. Вектор-функция туындысының геометриялық

15
(
) ( )
t
t
r
t
t
r
Δ
−
Δ
+
                               (1.23)
векторы 
1
MM
 векторына параллель, атап айтқанда, хордамен 
бағыттас. Енді 
t
Δ
 нөлге ұмтылсын. 
( )
t
r
 вектор-функциясы 
үзіліссіз болғандықтан
(
) ( )
{
}
0
lim
0
=
−
Δ
+
→
Δ
t
r
t
t
r
t
,
яғни  ММ
1
 хордасының ұзындығы 
0
→
Δt
 жағдайында нөлге 
ұмтылады. Демек 
0
→
Δt
 болғанда, М
1
 нүктесі М нүктесіне 
ұмтылады. Сондықтан вектор-функция үзіліссіздігі оның 
келбетінің үзіліссіз болуымен сипатталады.
t
Δ
 нөлге ұмтылғанда (1.23) векторы 
( )
t
r
′
 туындысына ұмтылады, 
ал  М
1
 нүктесі келбет бойымен М нүктесіне ұмтылады. ММ
1
 
қиюшысы кеңістікте М нүктесін айнала өзінің шектік орналасуы-
на - 
( )
t
r
′
 векторына параллель болатын MN түзуіне ұмтылады 
(6-сурет).
ММ
1
 қиюшысының MN шектік орналасуы сызықтың М нүк-
тесіндегі жанамасы деп аталатыны мəлім. Сонымен төмендегідей 
тұжырым дəлелденді.
Теорема 1.10. Егер t аргументінің берілген мəнінде 
( )
t
r
 
вектор-функциясының 
( )
t
r
′
 туындысы бар болып, нөлден 
өзгеше болса, онда ол берілген нүктеде осы функция келбетінің 
жанамасына параллель.
Екі аргументті 
( )
v
u
r
r
,
=
 вектор-функциясының 
u
r
∂
∂
 дербес 
туындысының да қарапайым геометриялық мағынасы бар. Оның 
есептелуі 
0
v
const
v
=
=
 болғанда, бір u айнымалыға тəуелді 
( )
0
,v
u
r
r
=
 функция келбеті үшін жүреді. Бұл келбет, əрине, 
( )
v
u
r
,
 функция келбеті болып келетін бетте орналасатын кейбір 
L сызығы.

16
u
r
∂
∂
 туындысының өзі L сызығының жанамасына параллель 
(бұл сызықты «u» сызығы немесе «v = const сызығы» деп атайды). 
Осыған ұқсас 
v
r
∂
∂
 туындысы «v сызығының» немесе «u = const 
сызығының» жанамасы болып келеді.
§5. Вектор-функция үшін Тейлор формуласы
T
t
T
≤
≤
0
 аралығында жеткілікті дифференциалданатын 
( )
t
r
r
=
 век тор-функциясын қарастырайық. Оны əрдайым
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
түрінде жіктеуге болады. Мұнда x, y, z - 
r
 векторының бекітілген 
k
j
i
,
,
 базисіне қатысты координаталары. 1.9. теоремасы бойынша 
x = x(t), y = y(t), z = z(t) скаляр функциялары - жеткілікті дəрежеде  
дифференциалданатын функциялар болып келеді. Оларға Тейлор 
формуласын қолданып, мынадай жіктемелерге келеміз:
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
.....
!
2
1
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
x
n
t
t
x
n
t
t
x
t
t
x
t
x
t
t
x
Δ
+
Δ
−
+
+
Δ
′′
+
Δ
′
+
=
Δ
+
−
−
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
y
n
t
t
y
n
t
t
y
t
t
y
t
y
t
t
y
Δ
+
Δ
−
+
+
Δ
′′
+
Δ
′
+
=
Δ
+
−
−
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
z
n
t
t
z
n
t
t
z
t
t
z
t
z
t
t
z
Δ
+
Δ
−
+
+
Δ
′′
+
Δ
′
+
=
Δ
+
−
−
мұндағы  t
*
,  t
**
,  t
***
 мəндері t жəне 
t
t
Δ
+
 аралығында жатады, 
жалпы, бір-бірінен өзгеше.
Жазылған теңдіктердің біріншісінің екі жағын 
i
 векторына 
көбейтіп, екіншісінің екі жағын 
j
 векторына көбейтіп, үшінші 
теңдіктің екі жағын 
k
 векторына көбейтіп, шыққан теңдіктерді 
мүшелеп қоссақ

17
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
n
n
n
n
n
n
n
x t
t i
y t
t j
z t
t k
x t i
y t j
z t k
x t i
y t j
z t k
t
x
t i
y
t j
z
t k
t
x
t i
y
t j
z
t k
t
n
x
t
i
y
t
j
z
t
k
n
2
1
1
1
1
*
**
***
1
...
2!
1
...
1 !
1
!
−
−
−
−
+ Δ
+
+ Δ
+
+ Δ
=
+
+
+
+
+
+
Δ +
+
+
Δ +
′
′
′
′′
′′
′′
+
+
+
Δ
+
−
+
+
+
немесе
(
) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
n
n
n
n
t
q
n
t
t
r
n
t
t
r
t
t
r
t
r
t
t
r
Δ
+
Δ
−
+
+
Δ
′′
+
Δ
+
=
Δ
+
−
−
!
1
!
1
1
......
!
2
1
1
1
2
/
   
         (1.24)
теңдігіне келеміз. Мұнда
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
q
x
t
i
y
t
j
z
t
k
*
**
***
=
+
+
.      (1.25)
Біздің болжауымыз бойынша, x(t),  y(t),  z(t) функциялары 
өздерінің туындыларымен бірге 
T
t
T
≤
≤
0
 аралығында үзіліссіз 
болғандықтан, бұл аралықта олар t-ның барлық мəндерінде 
шектеулі келеді. Ал 
n
q
 векторының координаталары кез келген 
t
*
,  t
**
,  t
***
 мəндерінде шектеулі болса, бұл вектордың модулі де 
шектеулі шама болып келеді, атап айтқанда 
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
n
n
n
n
n
C
t
z
t
y
t
x
q
≤
+
+
=
2
*
*
*
2
*
*
2
*
]
[
|
|
   (1.26)
Мұнда С
n
 cаны - [T
0
, T] аралығынан алынған кез келген t жəне 
t
t
Δ
+
 мəндеріне бірдей тұрақты оң шама.
Демек (1.24) формуласындағы соңғы мүше модулінің кішілік 
реті n - нан кем емес. Кəдімгі анализдегі Тейлор формуласынан 
өзгешелігі - 
n
q
 векторы 
( )
t
r
 вектор-функциясының 
[
]
t
t
t
Δ
+
,
 
аралығында жататын кейбір t
0
 мəнінде есептелген n -ші ретті 
туындысы болмайды.
2–454

18
§6. Вектор-функция дифференциалы
Вектор-функция дифференциалы ұғымын енгізу үшін 
( )
t
r
 
вектор-функциясын қарастырып, ол үшін n = 2 болғанда Тейлор 
формуласын жазайық:
(
) ( ) ( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
Δ
+
Δ
′
+
=
Δ
+
Мұнан
(
) ( ) ( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
r
Δ
+
Δ
′
=
−
Δ
+
=
Δ
            (1.27)
Бұл формуланың қызық геометриялық мағынасы бар.
(
) ( )
t
r
t
t
r
r
−
Δ
+
=
Δ
 векторы берілген М нүктесін 
( )
t
r
 вектор-
функциясы келбетінің жақын М
1
 нүктесімен қосатын 
1
MM
 
векторымен беттеседі. 
( )
t
t
r
M
M
Δ
′
=
′
 векторы келбеттің М 
нүктесіндегі жанамасына параллель жəне 
( )
t
r
 вектор-функ циясы 
өсімшесінің «сызықтық бөлігі» болады (7-сурет). 
2
2
2
1
/
t
q
M
M
Δ
=
 
векторы - шексіз кіші вектор. Оның модулі - аргументтің Δt 
өсімшесімен салыстырғанда - шексіз кіші шама.
Сонымен, келбеттің жақын нүктелерін қосатын 
1
MM
  век-
торы жанамамен бағытталған жəне t аргументінің өсімшесіне 
пропорционал 
M
M
′
 векторы мен Δt-мен салыстырғанда модулі 
жоғары ретті шексіз кіші шама болатын 
1
M
M
′
 векторының 
қосындысына тең.
1.6-анықтама. 
( )
t
t
r
M
M
Δ
′
=
′
 векторы 
( )
t
r
 вектор-функ-
циясы 
r
Δ
 өсімшесінің басты сызықтық бөлігі немесе 
( )
t
r
 
вектор-функциясының дифференциалы деп аталады.
r
 вектор-функциясы дифференциалын 
r
d
 арқылы белгілейді. 
Анықтама бойынша

19
( )
dr
r t dt
= ′
,                                (1.28)
мұнда  t аргументінің dt дифференциалы, əдеттегідей оның 
өсімшесімен беттеседі. Бұдан 
( )
dr
r t
dt
=
′
 
белгілеуінің мағынасы ашылады: 
( )
t
r
′
 туындысы dr дифферен-
циалын 
1
dt
 скалярға көбейткенге тең.
§7. Тұрақты ұзындығы бар вектор-функциялар.
Айналымды вектор-функциялар
Бұл тармақта төменде қолданылатын үш лемма дəлелденеді. 
Лемма 1. Тұрақты ұзындығы бар 
( )
t
r
 вектор-функциясының 
( )
t
r
′
 туындысы 
( )
t
r
 векторына перпендикуляр.
Дəлелдеме. Егер 
( )
t
r
 вектор-функциясы тұрақты модульге ие 
болса, онда 
( )
( ) ( )
(
)
const
t
r
t
r
t
r
=
=
,
2
Бұл теңдікті t бойынша дифференциалдаса 
( ) ( )
(
)
0
,
=
′
t
r
t
r
теңдігіне келеміз. Бұдан 
( )
t
r
′
 векторының 
( )
t
r
 векторына пер-
пендикуляр екені шығады.
«Бірлік» 
( )
t
m
 вектор-функциясын алайық, яғни 
( )
.
1
=
t
m
  t 
аргументіне Δt өсімшесін беріп 
( )
t
m
 жəне 
(
)
t
t
m
Δ
+
 векторларын 
бір нүктеден жүргізейік. Олардың арасындағы бұрышты 
ϕ
 деп 
белгілеп, бірлік 
( )
t
m
 вектор-функциясының айналу бұрышы 
дейміз.
Лемма 2. Бірлік 
( )
t
m
m
=
 вектор-функция Δm өсімшесі 

20
модулінің 
ϕ
 айналу бұрышына Δt → 0 ұмтылуындағы қатына-
сының шегі бірге тең.
Дəлелдеме. 8-суреттен
2
sin
2
ϕ
=
Δm
Бұдан
2
2
sin
2
sin
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
Δm
.
Δt → 0 ұмтылуынан 
ϕ
 → 0 ұмтылатыны туындайды. Сонда 
1
2
2
sin
lim
0
=
→
Δ
ϕ
ϕ
t
       (1-тамаша шек)
7-cурет                                   8-сурет                                 9-cурет
Демек
1
lim
0
=
Δ
→
Δ
ϕ
m
t
.
Лемма дəлелденді.
Егер шексіз кіші айналу бұрышын 
ϕ
 арқылы белгілесек, 
біздің нəтижеміз
ϕ
=
m
d
түріне. келеді.

21
Енді Оху жазықтығында Ох осінің оң бағытымен θ бұрышын 
жасайтын бірлік 
( )
θ
e
 вектор-функциясы берілсін.
Oz осінің оң бағытынан қарағанда θ бұрышы сағат тіліне қарсы 
есептеледі деп санаймыз. 
( )
θ
e
 вектор-функциясын айналымды 
вектор-функция дейміз. Оның
( )
θ
θ
θ
sin
cos
j
i
e
+
=
                          (1.29)
түрінде берілетінін жəне оның келбеті бірлік радиусты шеңбер 
болатынын байқау қиын емес (9-сурет).
Бұл теңдікті дифференциалдау нəтижесінде
( )
( )
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sin
cos
,
cos
sin
//
j
i
e
j
i
e
−
−
=
+
−
=
′
        (1.30)
немесе
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
2
/
π
θ
θ
e
e
, 
( )
( )
θ
θ
e
e
−
=
′′
теңдіктеріне келеміз.
Сонымен, мынадай нəтиже шықты:
Лемма 3. (1.29) формуласымен анықталатын 
( )
θ
e
 вектор-
функциясын дифференциалдау 
e
 векторын сағат тіліне қарсы 
2
π
 
бұрышына бұрғанға келтіріледі.

22
IІ тарау. 
КӨП АЙНЫМАЛЫҒА ТƏУЕЛДІ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕЛУІ
§1. Көп айнымалыға тəуелді функцияның анықтамасы
Көптеген жағдайларда кездесетін қатынастар осыған дейін 
ұйғарылғандай екі емес, бірден бірнеше шамаларды байланыс-
тыруы мүмкін. Басқаша айтқанда, қызықтыратын шама бір 
айнымалыға емес, бірнеше айнымалыға тəуелді болуы мүмкін. 
Алғашқы тарауларда, екі айнымалы шаманың біреуі еркін сан 
мəндерін қабылдайтын, екіншісі біріншісінің өзгеруіне тəуелді 
түрде өзгеріп отыратын, яғни х пен у-тің арасындағы тəуелділік 
ұғымымен таныстық.
Ал табиғат кұбылыстарында, практиқалық есептерде, бір 
шаманың басқа екі не одан да көп айнымалының өзгеруінен 
тəуелді болып келетіні жиі кездеседі. Мысалы, тік бұрышты 
төртбұрыштың ауданы оның қабырғаларының өзгеруіне тəуелді. 
Физикада электр тогының күші электр тізбегінің кернеуі мен 
кедергінің арасындағы байланыс Ом заңы бойынша 
R
U
I
=
 фор-
муласымен беріледі. Бұдан біз ток күшінің шамасы кернеу мен 
кедергінің өзгеруіне тəуелді екенін көреміз. Жалпы, дененің 
физикалық қасиеттерінің бір нүктеден екінші нүктеге көшкеннен 
өзгеріп отыратындығын байқауға болады. Мысалы, тығыздық, 
температура, электр потенциалы, тағы басқа шамалардың 
барлығы да нүкте координаталарына тəуелді функциялар. Егер 
бұл шамалар уақытқа да байланысты өзгеріп отырса, онда бұл 
тəуелсіз айнымалыларға t уақыт қосылады. Бұл жағдайда функ-
ция бір-біріне тəуелсіз төрт айнымалыға тəуелді болады. Бірнеше 
айнымалыға тəуелді функция ұғымын анықтауды алдымен 
тəуелсіз айнымалылар саны екеу болатын қарапайым жағдайдан 
бастайық.
2.1-анықтама. Егер белгілі бір ереже немесе заң бойынша ХОY 
жазықтығының D облысындағы х, у тəуелсіз айнымалыларының 
əрбір жұп мəніне Z жиынының тек қана бір z мəні сəйкес келсе, онда 
z айнымалыcы D жиынындағы х, у тəуелсіз айнымалыларының 

23
функциясы деп аталады жəне z=f(x,y) немесе z=φ(x,y) немесе 
z=F(x,y) түріндегідей белгіленеді. Мұндайда D - функцияның 
анықталу облысы, х жəне у – z функциясының аргументтері 
деп аталады.
х пен у нақты сандарының реттелген (х,у) жұбына Оху 
жазықтығының жалғыз А(х,у) нүктесі сəйкес болғандықтан жəне 
керісінше əрбір А(х,у) нүктесіне жалғыз (х,у) сандар жұбы сəйкес 
келетіндіктен, екі айнымалыға тəуелді фунцияны жазықтықтағы 
А(х, у) нүктесінің функциясы ретінде қарастыруға болады, 
сондықтан f(x, y) өрнегінің орнына кейде z=f(А), z= φ(А), z=F(А) 
деп те жаза береміз.
f(x
0
,y
0
) саны  f(x,y) функциясының М
0
(x
0
,y
0
) нүктесіндегі дер-
бес мəні деп аталады. Енді анықталу облыстары көрсетіліп, ана-
литикалық жолмен немесе формуламен берілген функция лар дың 
бірнеше мысалдарын келтірейік. 
z = х
2 
+ у
2
 формуласы барлық х, у қос мəндері үшін фунцияны 
аңықтайды. 
z
x
y
2
2
1
=
−
−
 формуласы 
x
y
2
2
1
+
≤
 теңсіздігін қанағат тан-
дыратын (x,y) қос мəндерінде ғана мағыналы, демек функцияны 
аңықтайды.
Ал 
z
x
y
2
2
1
1
=
−
−
 жəне z = arcsin 
x
a
 + arcsin 
y
b
 формулалары 
сəйкесінше 
2
2
x
y
1
+
<
 жəне –a < x < a,  -b < y < b теңсіздіктерін 
қанағаттандыратын (x,y) қос мəндерінде ғана функцияны анық-
тайды.
Бұл мысалдардан бір айнымалыға тəуелді функция үшін ар-
гументтің өзгеру облысы шектелген немесе шектелмеген аралық 
болса, ал екі айнымалыға тəуелді функция үшін аргументтің 
өзгеру облысы есептің шартына қарай түрліше жəне күрделі бо-
лып келетінін көреміз. Енді осы қарастырылған екі аргументті 
функция ұғымына ұқсас кез келген саны бар айнымалыға тəуелді 
(п аргументті) функция ұғымын да енгізуге болады
2.2-анықтама. Егер белгілі заң немесе ереже бойынша х
1
, 
х
2
,..., х
n 
аргументтер мəнінің əрбір жиынына и айнымалысының бір 
мəні сəйкес койылатын болса, онда и айнымалысын n аргуметті 
функция деп атайды жəне былай белгілейді:

24
u=f(х
1
, х
2
,..., х
n
), u=φ(х
1
, х
2
,..., х
n
), u=F(х
1
, х
2
,..., х
n
).
ал  х
1
,  х
2
,...,  х
n
 нақты сандарынан құралған əрбір реттелген (х
1
, 
х
2
,..., х
n
) жиынына n-өлшемді кеңістікте бір Р(х
1
, х
2
,..., х
n
) нүктесі 
сəйкес келетін болғаңдықтан, n аргуметті функцияны n-өлшемді 
кеңістіктегі нүктенің функциясы деп түсінуге болады, яғни 
u=f(Р), u=φ(Р) немесе u=F(Р).
Егер  u=f(х
1
,  х
2
,...,  х
n
) функциясы х
1
,  х
2
,...,  х
n
 аргументтерінің 
n-өлшемді кеністіктегі  М жиынының құрамынан шықпайтын 
нақты мəндерінің əрбір жиынына u=f(х
1
, х
2
,..., х
n
) функциясының 
толық анықталған бір мəні сəйкес келсе, онда М жиыны берілген 
u=f(х
1
, х
2
,..., х
n
) функциясының анықталу облысы деп аталады. 
Баяндауды жеңілдету мақсатымен бұдан былай екі немесе үш 
айнымалыға тəуелді функцияларды қарастырумен шектелеміз, 
өйткені оларға қатысты айтылғанның бəрін көп айнымалылы 
функцияларға қолдана беруге болады.

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: