Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

74
f
x
a
a x
a x
a x
a x
2
3
4
1
2
3
4
5
( )
2
3
4
5
... ,
′
= +
+
+
+
+
f
x
a
a x
a x
a x
2
3
2
3
4
5
( ) 2
2 3
3 4
4 5
... ,
′′
=
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+
f
x
a
a x
a x
2
3
4
5
( ) 2 3
2 3 4
3 4 5
... ,
′′′
= ⋅
+ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
+
( )
f
x
a
a x
4
4
5
( ) 2 3 4
2 3 4 5
... .
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅
+
Осы теңдіктер мен (3.37)-де 
х
0
=
 деп ұйғарып,
( )
f
a
f
a
f
a
f
a
f
a
4
0
1
2
3
4
(0)
, (0)
,
(0) 2 ,
(0) 2 3 ,
(0) 2 3 4 , ...
=
′
=
′′
=
′′′
= ⋅
= ⋅ ⋅
мəндеріне келеміз. Олардан 
( )
f
f
f
f
a
f
a
a
a
a
4
0
1
2
3
4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0),
,
,
,
, ...
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
′
′′
′′′
=
=
=
=
=
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
болатыны туындайды. Осы табылған 
a a a a a
0
1
2
3
4
, , , , , ...
 
коэффициенттерінің мəндерін (3.37) қатарына қойғаннан Макло-
рен қатары деп аталатын
( )
п
п
f
f
f
f
f х
f
x
x
x
x
п
2
3
(0)
(0)
(0)
(0)
( )
(0)
...
...
1!
2!
3!
!
′
′′
′′′
=
+
+
+
+ +
+
  (3.38)
қатарын шығарып аламыз.
§13. Кейбір функциялардың дəрежелік қатарға 
жіктелуінде Маклорен қатарын қолдану
13.1. e
x
 функциясын жіктеу
х
f x
е
( ) =
  болсын. Сонда
( )
х
х
х
х
f
x
е
f
x
е
f
x
е
f
x
е
4
( )
,
( )
,
( )
,
( )
, ...
′
=
′′
=
′′′
=
=
Мұнда x=0 мəнін қойғаннан
( )
f
е
f
f
f
f
4
0
(0)
1, (0) 1,
(0) 1,
(0) 1,
(0) 1, ...
=
=
′
=
′′
=
′′′
=
=
Осы мəндерді (3.38) Маклорен қатарына қою нəтижесінде 
алатынымыз

75
п
х
x
x
x
x
x
е
п
2
3
4
1
...
...
1! 2! 3! 4!
!
= + +
+
+
+ +
+
           (3.39)
Осы формуланың оң жағындағы қатардың жалпы мүшесі 
п
п
x
a
п
!
=
. Оның мүшелерінің модульдерінен жасалған қатарға 
Даламбер белгісін қолданып,
( )
n
n
n
n
n
n
a
х
n
х
n
a
х
n
n
1
1
!
lim
0
lim
lim
1 !
1
+
→∞
→∞
→∞
+
⋅
=
=
=
⋅ +
+
болатынын шығарып аламыз. Демек 
п
n
x
п
0
!
∞
=
∑
 дəрежелік қатары кез 
келген  x  үшін жинақталады, атап айтқанда, оның жинақтылық 
интервалы (-∞,+) болады. Арнаулы əдебиетте кез келген x мəні 
үшін осы қатардың қосындысы e
x
-ке тең болатыны, атап айтқанда 
(3.39) жіктемесі кез келген x үшін орынды болатыны дəлелденеді.
13.2. sin x функциясының жіктелуі
f(x)=sin x болсын. Бұдан
f
′
(x) = cosx, 
f
′′
(x) = - sinx, 
f
′′′
(x) = -cosx, 
iv
f
(x) = sinx, ...
Əрі қарай x = 0 деп ұйғарып,
( )
f
f
f
f
f
4
(0) 0, (0) 1,
(0) 0,
(0)
1,
(0) 0, ...
=
′
=
′′
=
′′′
= −
=
мəндерін табамыз. Осы мəндерді Маклорен қатарына қойып,
n
n
х
x
x
x
x
x
n
3
5
7
2 1
1
sin
( 1)
...
1! 3! 5! 7!
(2
1)!
−
−
= −
+
−
+ ⋅⋅⋅ + −
+
−
        (3.40)
жіктемесіне келеміз, мұнда x радиандарда өлшенеді. Соңғы 
формуланың оң жағындағы қатар кез келген x-те жинақталатынына 
көз жеткізуге болады. 
Сол сияқты оның қосындысы sin x-ке тең болатынын, атап 
айтқанда, (3.40) жіктелуі х-тің кез келген мəнінде əділ болатынын 
дəлелдеуге болады.

76
13.3. сosx функциясының жіктелуі
Егер f(x) = cosx болса, онда 
f
′
(x) = -sinx , 
f
′′
(x) = -cosx, 
f
′′′
(x) = sinx, 
iv
f
(x) = cosx, …
Мұнда x = 0 деп ұйғарғаннан,  f(0) = 1, 
f
′
(0) = 0, 
f
′′
(0) = -1, 
f
′′′
(0) = 0, 
iv
f
(x) = 1,… . Осы мəндерді Маклорен формуласына 
қойғаннан, радиандарда өлшенетін х үшін 
n
n
x
x
x
x
n
2
4
2
cos
1
.... ( 1)
...
2! 4!
(2 )!
= −
+
− + −
+
               (3.41)
формуласын аламыз. Бұл қатар (3.40) қатарына ұқсас кез келген 
х-те жинақталатынына көз жеткізу қиын емес. Осы қатардың 
қосындысы cos x-ке тең болатыны дəлелденеді. (3.41) жіктелуін 
(3.40) жіктелуінен оны мүшелеп дифференциалдағаннан да алуға 
болады.
13.4. Ньютон биномының жіктелуі
f(x)=
m
x
)
1
( +
 болсын, мұнда m - бүтін не бөлшек, оң немесе 
теріс сан. Сонда 
f
′
(x)=
m
m
x
1
(1
)
−
+
,
f
′′
(x)=
m
m m
x
2
(
1)(1
)
−
−
+
,
f
′′′
(x)=
m
m m
m
x
3
(
1)(
2)(1
)
−
−
−
+
,
………………………………………….
)
(n
f
(x)=
m n
m m
m
m
n
x
(
1)(
2)........(
1)(1
)
−
−
−
− +
+
.
Осы формулалардың бəрінде x = 0 деп ұйғарып,
f(0) = 1, 
f
′
(0) = m, 
f
′′
(0) = m(m - 1), 
f
′′′
(0) = m(m - 1)(m - 2),...
…,
)
(n
f
(0) = = m(m - 1)(m - 2)·…·(m – n + 1),….
мəндерін табамыз. Осы табылған f(0), 
f
′
(0), 
f
′′
(0), 
f
′′′
(0),…, 
)
(n
f
(0),… өрнектерін §12-тегі Маклорен қатарына қойғаннан

77
 
m
x
(1
)
+
=
n
m
m m
m m
m
m n
x
x
x
n
2
(
1)
(
1)(
2)...(
1)
1
...
...
1
1 2
1 2 3....
−
−
−
− +
+
+
+ +
+
⋅
⋅ ⋅
. (3.42)
Сырт қарағанда Ньютон биномының формуласы бөлшек не-
месе теріс көрсеткіш үшін бүтін оң көрсеткішіне жазылғандай 
жазылады. Егер m - бүтін оң сан болса, онда n = m+1 болуында 
m - n+1 көбейткіші нөлге тең. Демек (3.42) қатары үзіліп, шексіз 
жіктелудің орнына шектеулі қосынды шығады.
R=
n
lim
→∞
n
n
a
a
1
+
формуласы арқылы (3.42) формуласының оң жағында тұрған 
қатардың (-R, R) жинақтылық интервалын анықтайық. Ол үшін 
n
m m
m
m
n
a
n
(
1)(
2)....(
1)
1 2 3
−
−
− +
=
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
;
n
m m
m
m
n
m
n
a
n n
1
(
1)(
2).......(
1)(
)
1 2 3
(
1)
+
−
−
− +
−
=
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
+
мүшелері бойынша
n
n
a
n
a
m
n
1
1
+
+
=
−
,
демек, R =
n
lim
→∞
n
m
n
1
+
−
=
n
lim
→∞
n
m
n
1
1
1
+
−
=
1
1
−
=1
 
болатынын табамыз. 
Сонымен, биномиалды қатар -1 < x < +1 интервал ішінде жи-
нақталып, оның сыртында жинақталмайды.
Қатардың 
x
1
= −
 жəне 
x
1
=
 болуында жинақталуын зерттеу 
үшін əр жағдайды жеке талдау қажет.
§14. Жуықтап есептеуде дəрежелік қатарларды қолдану
Табылған жіктемелер функцияның дербес мəндерін есептеу-
ге, кейбір «алынбайтын» анықталған интегралдарды жуықтап 
есептеуге мүмкіндік береді. Бірнеше мысал қарастырайық.

78
14.1. 
1
sin
-ді есептеу
1
sin
 жіктемесінде 
x
1
=
 деп алып,
1
1
1
sin1 1
3! 5! 7!
= − + − + ⋅⋅⋅
теңдігіне келеміз. Төртінші мүшеден бастап барлық мүшелерді 
алып  тастағанда,   қателігі   абсолют  шамасы  бойынша 
1
1
7! 5040
=
 
санынан кіші болады (өйткені 
1
sin
 үшін жазылған қатар Лейбниц 
теоремасын қанағаттандырады). Бұдан 0,0002 дейінгі дəлдікпен
1
sin
Sin
0
1 1
57 18' 1
0.8417
3! 5!
≈ ≈
− +
≈
.
14.2. Түбірлерді есептеу 
3
9
 түбірін есептеу талап етіледі.
Осы өрнекті 
1
3
3
3
1
9
8 1 2 1
8
=
+ =
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
түріне келтіріп жəне  Ньютон биномының  формуласында 
m
1,
3
=
x
1
8
=
 деп алсақ, 
(
)
2
3
3
1 1
1 1
1
1
1
2
1 1
1
1
3 3
3 3
3
9 2 1
3 8
1 2
8
1 2 3
8
1
1
5
2 1
2 1 0,0417 0,0017 0,0001
2,0802.
24 576 41472
−
−
−
=
+ ⋅ +
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅⋅ =
⋅
⋅ ⋅
=
+
−
+
− ⋅⋅⋅ ≈+
−
+
=
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Ал кестелер бойынша 
3
9 2,0801.
=

79
14.3. Натурал логарифмдерді есептеу
(
)
x
x
x
x
x
x
n
x
x
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
+
= −
+
−
+
−
+
− ⋅⋅⋅
      (3.43)
жіктемесі табылған болатын. (3.43) қатары 
x
1
>
 мəндерінде 
жинақталмайтын болғандықтан, 2-ден асатын сандардың  натурал 
логарифмдерін есептеуге жарамсыз. Алайда оны негіз етіп 
мақсатымызға қол жеткізетін басқа бір қатар табуымызға болады. 
Ол үшін (3.43) формуласында 
x
-ті 
x
−
-пен алмастырып 
(
)
x
x
x
x
x
x
n
x
x
2
3
4
5
6
7
1
...
2
3
4
5
6
7
− = − −
−
−
−
−
−
−
     (3.44)
қатарын шығарып аламыз. (3.43) жəне (3.44) қатарларының екеуі 
де ортақ 
x
1
<
 жинақтылық интервалына ие. Жинақталатын 
қатарларды мүшелеп қосуға немесе азайтуға болатыны белгілі. 
Сондықтан 
x
1
<
 деп болжап, (3.43) теңдігінен (3.44) теңдігін 
шегеріп, 
x
x
x
x
n
x
x
3
5
7
1
2
1
3
5
7
+ =
+
+
+
+ ⋅⋅⋅
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
                 (3.45)
қатарына келеміз. 
x
N
x
N
1
1
1
+
+
=
−
 
(
)
N
0
>
 деп алсақ, 
x
N
1
2
1
=
+
болатаны шығады. Осы мəндерді (3.45) қатарына қойып, 
(
)
(
)
(
)
(
)
n N
nN
N
N
N
N
3
5
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1 3
5
7
2
1
2
1
2
1
+ −
=
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅⋅⋅
+
+
+
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
 (3.46)
қатарын шығарып аламыз.
Даламбер белгісін қолданып, (3.46) қатарының кез келген 
оң 
N
 саны үшін жинақталатынына оп-оңай көз жеткізуге 
болады. Демек осы қатарды пайдаланып, бірте-бірте 
барлық бүтін оң сандардың натурал логарифмдерін анықтай 
аламыз. 

80
14.4. Қатарларды анықталған интегралдарды 
есептеуге қолдану
Мəселен, 
x
dx
x
1
0
sin
∫
 анықталған интегралын есептеу талап 
етілсін.   Мұнда   интеграласты  
( )
x
f x
x
sin
=
   функциясы    
x
0
≠
болғанда   анықталған.  
x
0
=
   болуында   үзілісіздікке  сəйкес  
( )
f
0 1
=
 деп ұйғарамыз.
Cəйкес 
x
dx
x
sin
∫
 анықталмаған интегралы элементар функ   -
цияларда өрнектелінбейді, атап айтқанда, «алынбайтын интег-
ралды» кескіндейді. Олай болса Ньютон-Лейбниц фор муласын 
мұнда қолдануға болмайды. Осыған қарамастан бас тапқы анықтал-
ған интеграл қатарлар көмегімен жуықтап есеп телуі мүмкін. 
sin x-ке жазылған қатарды x-ке мүшелеп бөліп,
x
x
x
x
x
2
4
6
sin
1
...
3! 5! 7!
= −
+
−
+
қатынасына,  ал  оны  мүшелеп  интегралдағаннан 
x
x
x
dx
dx
x dx
x dx
x
x
1
1
1
3
5
1
1
2
4
1
0
0
0
0
0
0
sin
1
1
1
1
...
...
3!
5!
3! 3
5! 5
1
1
1
... 0,94611
3! 3 5! 5
=
−
+
− =
− ⋅
+ ⋅
− =
= −
+
− ≈
⋅
⋅
∫
∫
∫
∫
жуық мəніне келеміз.
Қатар ауыспалы таңбалы жəне оның мүшелерінің модульдері 
монотонды кемитіндіктен, оның үш мүшесімен шектеліп, қателігі 
1
1
0,00003
7! 7 35280
=
<
⋅
 санынан кіші екенін көреміз.
§15. Тейлор қатары
Кейбір жағдайларда f(x) функциясы немесе оның туындысы 
(мəселен, f(x)= lnx немесе f(x) =
x
 функциялары) x = 0 болуында 
мағынасын жоғалтады. Мұндай функциялар Маклорен қатарына 

81
жіктеле алмайды. Мұндай функцияларды жіктеу үшін кейде x – a 
айырымының өспелі дəрежелері бойынша орналасқан (a – таңдап 
алынған тұрақты сан) неғұрлым жалпы дəрежелік қатарларды 
пайдалануға болады. 
f(x) функциясы кейбір 
x
a
R
− <
 интервалында орынды жəне 
x - a айырымының өспелі дəрежелері бойынша орналасқан
f(x)=
A
A x
a
A x
a
A x
a
A x
a
2
3
4
0
1
2
3
4
(
)
(
)
(
)
(
)
...
+
− +
−
+
−
+
−
+
   (3.47)
жіктемесін мүмкін еткізсін.
x
a
z
− =
 деп ұйғарайық. Сонда (3.47) жіктемесі
F(z) = f(z+a) = 
A
A z
A z
2
0
1
2
...,
+
+
+
                (3.48)
түріне келеді. Демек, §12–ге сəйкес (3.48) жіктемесі F(z) 
функциясына жазылған Маклорен қатары болып табылады. 
n
n
F
z
f
z
a
( )
( )
( )
(
)
=
+
 (n = 1, 2,…) болғандықтан, бұдан
n
n
n
F
f a
F
f
a
A
F
f a A
A
F
f
a
A
n
n
'
0
1
2
( )
( )
(0)
'( )
''(0)
''( )
(0)
( ),
,
,...,
1!
1!
2!
2!
(0)
( ) ,...
!
!
=
=
=
=
=
=
=
=
Коэффициенттердің осы мəндерін (3.47) қатарына қойғаннан 
кейін, 
n
n
f a
f
a
f
a
f x
f a
x
a
x
a
x
a
f
a
x
a
n
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
) ...
1!
2!
3!
( ) (
)
...
!
′
′′
′′′
=
+
− +
−
+
−
+ +
+
−
+
 (3.49)
түрінде кескінделген жəне Тейлор қатары деп аталған қатарды 
шығарып аламыз. Дербес жағдайда мұнда 
0
=
a
 деп алсақ,
f(x)=f(0)+f 
/
(0)x+
n
n
f
a
f
a
f
x
x
x
n
( )
2
3
( )
( )
(0)
...
...
2!
3!
!
′′
′′′
+
+ +
+
 
Маклорен қатарына келеміз.
(3.49)  формуласында шектеулі саны бар мүшелерді ғана 
6–454

82
қал дырсақ, Тейлор қатарының орнына Тейлор көпмүшесі  деп 
аталған жəне
k
n
k
n
k
f
a
P x
x
a
k
( )
0
( )
( )
(
)
!
=
=
−
∑
                         (3.50)
формуласымен кескінделген көпмүше шығарып аламыз. (3.49) 
қатары  а нүктесінің кейбір аймағында жіктелетін болып, оның 
қосындысы f(x) функциясына тең болса, онда Р
n
(х) көпмүшесі f(x) 
функциясының U
a
 аймағындағы жуық кескіндемесін береді.
1-мысал. f(x) = x
3 —
 5x
2 
+ 8x + 3 көпмүшесін х - 2 айырымының 
өспелі дəрежелері бойынша жіктеп жазыңыз. f(x) функциясын 
дифференциалдасақ:
f ′(x) = 3x
2  
- 10x + 8,  f ″(x) = 6x - 10,  f″′(x) = 6,
ал  n > 3 үшін f 
(n)
(x) = 0. Мұнда х = 2 мəнін қойғаннан
f(2) = 7,  f ′(2) = 0,  f ″(2) = 2,  f ″′(2) = 6,  ал  n > 3 үшін f 
(n)
(2) = 0.
(3.49) Тейлор қатары негізінде, х - 2 айырымының өспелі 
дəрежелері бойынша жіктелген f(x) функциясы
x
x
x
f x
2
3
2
(
2)
(
2)
( ) 7
0
2
6
1
1 2
1 2 3
−
−
−
= +
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅
⋅ ⋅
немесе нəтижелік f(x) = 7 + (x - 2)
2
 + (x - 2)
3
 түрінде кескінделеді.
2-мысал.  f(x)  = lnx функциясын х - 1 айырымының өспелі 
дəрежелері бойынша жіктеңіз. Функцияны дифференциалдау 
нəтижесінде
IV
f
x
f
x
f
x
f
x
х
х
х
х
/
//
///
2
3
4
1
1
1 2
1 2 3
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,...
⋅
⋅ ⋅
=
= −
=
= −
Бұдан
IV
f
f
f
f
x
/
//
///
(1) 1,
(1)
1,
(1) 1 2,
( )
1 2 3,...
=
= −
= ⋅
= − ⋅ ⋅
Демек
ln x = ln1 +

83
x
x
x
x
2
3
4
1
1 2
1 2 3
1 (
1)
(
1)
(
1)
(
1) ...,
1 2
1 2 3
1 2 3 4
⋅
⋅ ⋅
⋅ − −
−
+
−
−
−
+
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Немесе
x
x
x
x
x
2
3
4
(
1)
(
1)
(
1)
ln
(
1)
0
...
2
3
4
−
−
−
=
− −
⋅ +
−
+
Бұл жіктеме 0 < х ≤ 2 болғанда орынды.
Ескерту. Осы қатарды тікелей ln(1 + x) қатарынан (§11) 
lnx = ln(1 + z) деп ұйғарғанда (мұнда z = х - 1), шығарып алуға 
болар еді.

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: