Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

64
n
n
S
S
2
lim
→∞
=
                                     (3.18)
Əрі қарай 
n
n
n
S
S
a
2
2 1
2
+
=
−
 болуынан 
n
n
n
S
S
a
2 1
2
2
+
=
+
. Сонда 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
S
a
S
2 1
2
2
2
2
lim
lim(
) lim
lim
+
→∞
→∞
→∞
→∞
=
+
=
+
=
         (3.19)
Олай болса (3.18) жəне (3.19)-дан 
n
n
n
n
S
S
S
2
2 1
lim
lim
+
→∞
→∞
=
=
. Демек 
қатарымыз жинақталған болады. 
§7. Абсолютті жəне шартты жинақталу
Қатарлар жинақталуының жеткілікті шарты (Даламбер бел-
гісі) мүшелері оң қатарларға қатысты тұжырымдалған. Мү-
шелері теріс қатарлар үшін де мұндай қасиет сақталады. Енді 
мүшелерінің бір бөлігі оң, бір бөлігі теріс немесе нөлге тең 
қатарларды қарастырамыз. Мұндай қатарлар айнымалы таңбалы 
қатарлар деп аталады. 
Теорема 3.9. Айнымалы таңбалы. 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
=
+ + + + =
∑
                      (3.20)
қатары үшін оның модульдерінен жасалған 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
| | | | ... | | ...
| |
∞
=
+
+ +
+ =
∑
                (3.21)
қатары жинақталған болса, онда берілген қатардың өзі де 
жинақталған болады.
Дəлелдеме. Қосалқы 
(
) (
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
2
2
1
...
...
∞
=
+
+
+
+ +
+
+ =
+
∑
  (3.22)
қатарын қарастырайық. 
(
)
n
n
n
a
a
a
n
0
2
1, 2,....
≤
+
≤
=
                   (3.23)
жəне (3.21) қатарының жинақты болуынан, қатарларды салыс-

65
тыру белгісі негізінде (3.22) қатары да жинақты болып шығады. 
Алайда (3.20) қатары жинақталатын қатарлардың түріндегі
(
)
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
1
∞
∞
∞
=
=
=
=
+
−
∑
∑
∑
айырымын кескіндейді, олай болса өзі де жинақталған болады. 
Теорема дəлелденді.
Ескерту. Кері пікір дұрыс емес. Атап айтқанда, егер берілген 
қатар жинақталған болса, онда оның мүшелерінің модульдерінен 
жасалған қатар жинақты болуға міндетті емес. Сонымен, 
жинақталатын қатарлардың барлығын екі топқа бөлуге болады.
Бірінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға олардың 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болатындай қатарларды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар абсолютты 
жинақталатын қатарлар деп аталады.
Екінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға, олардың мо-
дуль дерінен жасалған қатар жинақты болмайтындай қатар лар ды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар шартты 
жинақталатын қатарлар деп аталады.
3.4-анықтама. Берілген қатармен бірге оның мүшелерінің 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болса, берілген қатар аб-
солютты жинақталған қатар деп аталады. 
Берілген қатар жинақты болып, ал оның мүшелерінің мо-
дульдерінен жасалған қатар жинақты болмаса, берілген қа тарды 
шартты жинақталатын қатар дейді. Мəселен, жинақ талатын
1 1 1 1
1
1
....
2 4 8 16 32
− + − +
−
+
қатары абсолютты жинақталатын қатар болып табылады, өйткені 
оның модульдерінен жасалған 
1 1 1 1
1
1
....
2 4 8 16 32
+ + + +
+
+
түріндегі қатар да жинақты болып келеді. (Осы қатарлардың екеуі 
де, еселігі 
1
2
−
 жəне 
1
2
-ге тең геометриялық прогрессиялар).
5–454

66
Ал, керісінше
1 1 1 1 1
1
.....
2 3 4 5 6
− + − + − +
қатары Лейбниц теоремасының шартына сəйкес, жинақталған 
болуына қарамастан абсолютты жинақталмайды, өйткені оның 
мүшелерінің модульдерінен жасалған 
1 1 1 1 1
1
...
2 3 4 5 6
+ + + + + +
                          (3.24)
қатары жинақталмайды (гармоникалық қатар). Расында осы 
қатардың 
n
a
n
1
=
 жалпы мүшесі 
n
→ ∞
-да нөлге ұмтылғанымен, 
қатардың өзі жинақталмайтынын көрсетейік. Ол үшін алғашқы 
m
2
 мүшелерінің 
т
S
2
 ішінара қосындысын алып, оның мүшелерін 
төмендегідей етіп топтастырайық:
т
S
2
2
2
2
1
1 1
1 1 1 1
1
2
3 4
5 6 7 8
= + +
+
+
+ + +
+
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
3
2
1 1
1
1
1
1
1
1
9 10 11 12 13 14 15 16
+
+
+
+
+
+
+
+
⎛
⎞ +…+
⎜
⎟
⎝
⎠
+…+
m
m
m
m
1
1
1
2
1
1
1
...
2
1 2
2
2
−
−
−
+
+ +
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
.
Төменгі теңсіздіктер орынды:
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1
,
,
3 4 4 4 4 2 5 6 7 8 8 8 8 8 8 2
+ > + = =
+ + + > + + + = =
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
,
9 10 11 12
16 16 16 16 16 16 16 16 16 2
+
+
+
+ +
>
+
+
+
+
+
+
+
=

67
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
...
...
.
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
+ +
>
+
+ +
=
=
+
+
Сонымен, əр жақшада тұрған мүшелер қосындысы  
1
2
 ден 
артық. Алғашқы екі мүшені есептемегенде, жақшалардың жалпы 
саны 
m
1
−
-ге тең болғандықтан, онда 
т
S
m
2
2
1
.
> +
 
Егер 
т
S
2
 қосындысында 
m
n
2
=
-ге тең мүшелер саны шек-
сіз ұлғайса, онда m көрсеткіші де шексіз өседі. Сондықтан
т
S
2
→ ∞
, демек гармоникалық қатар болып табылатын (3.24) 
қатары жинақталмайды. 
§8. Қатардың абсолютті жинақталуының белгісі
Қандай да бір
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
...
∞
=
+ + + + + =
∑
                   (3.25)
қатары үшін 
l
a
a
n
n
n
=
+
∞
→
1
lim
 шарты орындалып, 
1) 
l
1
<
 болса, онда берілген (3.25) қатары абсолютті жи нақ-
талады.
2) 
l
1
>
 болса, онда (3.25) қатары жинақталмайды. 
Расында, жазылған шартымыз 
n
a
a
a
1
2
...
...
+
+ +
+
                            (3.26)
қатарына қолданылған Даламбер белгісінің дəл өзі. Бұдан 
егер 
l
1
<
 болса, онда (3.25) жəне (3.26) қатарларының екеуі де 
жинақталатыны, демек (3.25) қатары абсолютті жинақталатыны 
туындайды. Егер де 
l
1
>
 болса, онда Даламбер белгісіне жасалған 
ескерту бойынша 
n
→ ∞
-да 
n
a
 нөлге ұмтылмайды. Бұл жағдайда 
(3.25) жəне (3.26) қатарларының екеуі де жинақталмайды. 

68
§9. Дəрежелік қатарлар
х айнымалысының теріс емес, бүтін өспелі дəрежелері бо-
йын ша  орналасқан  жəне  х-ке тəуелсіз 
n
a a a
a
0
1
2
, , ,..., ,
... коэф фи-
циенттеріне ие болатын  
n
n
a
a х
a х
a х
2
0
1
2
...
...
+
+
+ +
+
                      (3.27)
қатарын дəрежелік қатар дейді. Кейде 
n
n
a
a x
a
a x
a
a x
a
2
0
1
2
(
)
(
)
...
(
)
...
+
− +
−
+ +
−
+
           (3.28) 
(а – кейбір тұрақты сан) жалпы түріндегі дəрежелік қатар қа-
растырылады. (3.28) қатары 
x
a
x
'
− =
 ауыстыруында оп-оңай 
(3.27) түріне келеді. Сондықтан бұдан былай көбіне (3.27) 
түріндегі дəрежелік қатарлармен айналысамыз. 
(3.27) дəрежелік қатарының жинақтылығы жөніндегі мəселені 
талқылайық. х айнымалысына белгілі бір мəн беріп, х-тің мəніне 
сəйкес жинақталатын немесе жинақталмайтын сандық қатар 
шығарып аламыз. Кез келген (3.27) дəрежелік қатары үшін 
айнымалы х-тің 
х
R
<
 теңсіздігін қанағаттандыратын мəндерінде 
қатар жинақталатын, ал 
х
R
>
 теңсіздігін қанағаттандыратын 
мəндерінде қатар жинақсыз болатын R оң саны əрқашан 
табылатынын дəлелдеуге болады. 
х
R
=
,  атап айтқанда, х = R
немесе  х = -R болуында дəрежелік қатар жинақты болуы да, 
жинақсыз болуы да мүмкін. R санын қатардың жинақтылық 
радиусы деп, ал (-R, R) аралығын дəрежелік қатардың жи-
нақтылық интервалы дейді. Егер R=+∞ болса, жинақталу 
интервалы бүкіл сандық түзу болып келеді. Егер R = 0 болса, 
дəрежелік қатар х = 0 нүктесінде ғана жинақталып, жинақталу 
интервалы болмайды. Кейбір жағдайларда дəрежелік қатардың 
жинақталу радиусы Даламбер белгісі көмегімен табылуы мүмкін. 
Ол үшін (3.27) қатары мүшелерінің модульдерінен жасалған
n
n
a
a х
a х
a х
2
0
1
2
...
...
+
+
+ +
+
                 (3.29)
қатарын қарастырамыз. Осының алдында (§7) айтылғандай (3.29) 
қатары жинақталса, онда (3.27) қатары да жинақталады жəне 
жинақталуы абсолютті болады. (3.29) қатарының жинақтылығы 

69
жөніндегі мəселені шешу үшін Даламбердің жинақталу белгі-
сін пайдаланамыз. (3.29) қатарының (n+1)-мүшесін  v
n
 арқылы 
белгілейміз: 
n
n
n
v
a х
=
; бұдан 
n
n
n
v
a
х
1
1
1
+
+
+
=
.
Енді 
n
n
n
n
v
a
х
v
a
1
1
+
+
=
 қатынасын құрамыз. n→∞ да 
n
n
a
a
1
+
 
қатынасының шегі бар болсын деп ұйғарайық жəне оны l арқылы 
белгілейік:
n
n
n
a
l
a
1
lim
.
+
→∞
=
                                    (3.30)
Сондa 
n
n
n
v
l х
v
1
lim
.
+
→∞
=
                                  (3.31)
Егер 
х
l
1
<
 болса, онда 
l х
1
<
,  демек (3.29) қатары 
жинақталады. Сондықтан (3.27) қатары жинақталып, жинақталу 
абсолютті болады.
Егер 
х
l
1
>
 болса, онда 
l х
1
>
. Даламбер белгісіне 
жасалған ескертуге сəйкес (3.29) жəне (3.27) қатарының екеуі 
де жинақталмайды. Сонымен 
R
l
1 0
= ≥
 - дəрежелік қатардың 
жинақтылық радиусы болып табылады жəне (3.30) қатынасына 
сəйкес 
n
n
n
a
R
a
1
lim
→∞
+
=
                                   (3.32)
формуласына келеміз.
(3.27) дəрежелік қатары (-R, R) жинақтылық интервалының 
ұштарында, атап айтқанда, х= R жəне х = -R мəндерінде жинақты 
бола ма деген сұрақ туындайды. Əрбір жеке жағдайға сəйкес бұл 
мəселенің шешілуінде де өзіне тəн ерекшелігі болады.
Мысал. 
п
х
х
х
х
n
2
3
...
...
1
2
3
+
+
+ +
+

70
қатарын қарастырайық. Мұнда 
n
n
a
1 ,
=
 
n
n
a
1
1
1
+
=
+
. Жинақтылық радиу-
сын анықтайтын (3.32) формуласына сəйкес
n
n
n
n
n
R
n
n
n
1
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
1
→∞
→∞
→∞
+
=
=
=
+
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
.
Демек (3.33) қатары (-1, 1) интервалында жинақталады. Осы 
қатар интервал ұштарында жинақты бола ма деген сұрақты шешу 
үшін, алдымен x = 1 деп ұйғарамыз. Сонда 
n
1 1
1
1
...
...
2 3
+ + + + +
гармоникалық қатарға келеміз. Оның жинақталмайтынына §6-да 
көз жеткізгенбіз. Енді x = -1 деп алсақ (3.33) қатары
n
n
1 1 1 1
( 1)
1
...
...
2 3 4 5
−
− + − + − + +
+
түріне келеді. Бұл қатар Лейбниц теоремасына сəйкес шартты 
жинақталады. Сонымен, (3.33) қатарының жинақталу облысы - 
[-1, 1] аралығы.
§10. Дəрежелік қатарларды дифференциалдау 
жəне интегралдау
( )
n
п
f х
а
a x
a x
a x
2
0
1
2
...
...
=
+
+
+ +
+
               (3.34)
дəрежелік қатарының қосындысы, радиусы R > 0 болатын (-R, R) 
жинақтылық интервалында анықталған функция болып табылады. 
f(x) функциясы дифференциалдамалы екенін жəне оның f
/
(x) 
туындысын (3.34) қатарын мүшелеп, дифференциалдағаннан 
табуға болатынын дəлелдеуге болады. Атап айтқанда, –R < x < 
R үшін 
( )
n
п
f
х
a
a x
пa x
1
1
2
2
...
...
−
′
= +
+ +
+
 .
Осы айтылғанның бəрі жоғары ретті туындыларда да күшін 

71
сақтайды. Осыған ұқсас, жинақтылық интервалына тиіс барлық х 
мəндері үшін f(x) функциясынан алынған анықталмаған интеграл 
(3.34) қатарын мүшелеп, интегралдаудан алынуы мүмкін, атап 
айтқанда, егер –R < x < R болса, онда 
n
n
a x
a x
a x
f x dx
C
a x
n
2
3
2
1
1
0
( )
...
...
2
3
1
+
= +
+
+
+ +
+
+
∫
   .
Сонымен, дəрежелік қатар өзінің жинақтылық интервалын-
да, дифференциалдау жəне интегралдау амалдарына қатысты, 
шектеулі мүшесі бар көпмүшеден айнымайды.
§11. Берілген функцияны дəрежелік қатарға жіктеу
Қолданбаларда, берілген f(x) функциясын дəрежелік қатарға 
жіктеуді білген аса маңызды. f(x) функциясын дəрежелік қатардың 
қосындысы түрінде кескіндегенде, осы функция мəнін кез келген 
дəлдік дəрежесімен есептеу мүмкіндігі туады.
Сұрақты жалпы түрде қоймас бұрын кейбір дербес жағдай-
лар ды қарастырып өтейік.
Дəрежелік 
1+
n
x
x
x
2
...
...
+
+ +
+
қатарын алайық. Бұл қатар, еселігі х-ке тең геометриялық 
прогрессияны кескіндеп,  |x| < 1 болуында жинақталатынын жəне 
қосындысы 
x
1
1−
-ге тең болатынын көргенбіз. Демек 
n
x
x
x
x
2
1
1
...
...
1
= + +
+ +
+
−
    .                (3.35)
деп жазуымызға болады. Осы қосындыны теңдік деп қана ұғынбай,
x
1
1−
 функциясының   дəрежелік  қатарға  жіктелуі   деген   жаңа 
көзқарасқа көтерілуге болады. Бұл қатар х айнымалысының өспелі 
дəрежелері бойынша орналасқан. (3.35) жіктемесінен, үлкен қызығу-
шылық туғызатын басқалай жіктемелер шығарып алған қиын емес.

72
11.1. ln(1 + x) функциясының жіктемесі
(3.35) жіктемесінде х-ті  z-пен алмастырып,          
z
1
1
=
+
 1 - z + z
2
 - … + (-1)
n 
+                       (3.36)
теңдігіне келеміз. Егер 
z
x
0
1
≤ ≤
<
 болса, онда §10-да 
айтылғандай, (3.36) теңдігін 0-ден х-ке дейінгі аралықта z бойынша 
мүшелеп интегралдауға болады. Сондықтан (3.36) теңдігін dz-ке 
көбейтіп жəне 0-ден х-ке дейінгі аралықта интегралдаса, онда 
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
zdz
z dz
z dz
z
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
.
Бұдан 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
z
n
2
3
1
0
0
0
0
0
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
=
−
+
− + −
+
+
,    
немесе егер 
x
1
<
 болса,
n
n
x
x
x
x
x
n
2
3
1
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
= −
+
− + −
+
+
.
Осы жіктелу х = 1 мəнінде де орындалатынын көрсетуге 
болады, демек 
1 1 1
ln2 1
...
2 3 4
= − + − +
 .
11.2. arctg x функциясының жіктелуі
(3.35) жіктелуінде х = -z
2
 деп ұйғарайық. Сонда
n
zn
z
z
z
z
2
4
2
1
1
... ( 1)
...
1
= − +
− + −
+
+
Соңғы теңдікті dz-ке көбейтіп жəне 0-ден х-ке дейінгі аралық-
та мүшелеп интегралдасақ (мұнда 
x
1
<
) 

73
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
z dz
z dz
z dz
z
2
4
2
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
немесе 
arctg
 z 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
n
3
5
2 1
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
3
5
2
1
+
=
−
+
− + −
+
+
  жікте -
месіне келеміз. 
arctg
 0 = 0 болғандықтан, нəтижесінде, егер 
x
1
<
 
болса, 
arctg
x = 
...
1
2
)
1
(
...
5
3
1
2
5
3
+
+
−
+
−
+
−
+
n
x
x
x
x
n
n
жіктелуі алынады. Мұндай жіктелу х = 1 жəне x = -1 болғанда да 
əділ болып қала береді. Дербес жағдайда, х = 1 болуында 
arctg
1 = 
1 1 1 1
1
...
4
3 5 7 9
π
= − + − + −
Көптеген функциялар, мəселен ln(1+x), 
arctg
x жəне т.б. 
функциялар х аргументіне қатысты дəрежелік қатарға жіктелуді 
мүмкін ететінін көріп отырмыз. Берілген f(x)  функциясын  x 
айнымалысының теріс емес бүтін өспелі дəрежелері бойынша 
жіктелуі жөніндегі мəселені көтерген орынды. Келесі тармақта 
осы мəселемен айналысамыз.

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: