Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
| Лекция мәтіні
1. Комплекс айнымалды функциялар теориясында ең маңызды теоремалардың бірін келтірейік. Теорема. Егер f(z) және φ(z) функциялары G аймағында аналитикалық функциялар болып, ішкі нүктесіне ұмтылатын z1, z2,…,zn,… нүктелер тізбегінде бұл функциялардың мәндері өзара тең болса онда G аймағының барлық жерінде болады. Дәлелдеуі. ψ(z)=f(z)-φ(z) айырмасын қарастырайық теореманың шарты бойынша бұл функция G аймағында аналитикалық және ψ(zn)=f(zn)-φ(zn)=0, n=1,2,… яғни zn нүктелері оның нөлдері болады. Демек, zn→ а-тан 20-лекциядағы теорема бойынша а-ның бірер маңайында f(zn)-φ(zn)= ψ(zn)≡0 яғни f(z)= φ(z). Енді G аймағының барлық нүктелерінде екенін дәлелдеу үшін нүктесін алып, G аймағында бүтіндей жататын тегіс Г қисығы арқылы а және a және z0 нүктелерін қосайық. дөңгелегі ішінен Г-да жататын кез келген а1 нүктесін алайық. Бұл дөңгелекте а1 – ге ұмтылатын zn нүктелер тізбегін құру қиын емес, демек, а1 де шектік нүкте. Олай болса а1 нүктесінің маңайы табылып, бұл маңайда , яғни а1 нүктесі дөңгелегі шекарасына жақын етіп алынса, дөңгелегінің бір бөлігі дөңгелегінің сыртында жатады. Енді дөңгелегі ішінен Г-да жататын а2 нүктесін алайық, бұл да шектік нүкте болғандықтан оның бірер маңайында . Осы тәрізді жалғастырсақ z0 нүктесі ішінде жататын дөңгелегінің барлық нүктелерінде Дербес жағдайда яғни . Сонымен G аймағының кез келген z0 нүктесінде f(z) және функцияларының мәндері өзара тең екен. 1-салдар. Егер G аймағында аналитикалық болатын f(z) және функциялары сол аймаққа тиісті бірер нүктенің кез келген кіші маңайында өзара дәл келсе, онда G аймағының барлық нүктелерінде болады. 2-салдар. Егер G аймағында аналитикалық болатын f(z) және функциялары осы аймақта жататын бірер кішкентай доғаның бойында болса, онда G аймағының барлық нүктелерінде болады. 2. Аналитикалық жалғастыру. Аналитикалық фукнциялардың негізгі қасиеттерінің бірі – олардың жалғыздық қасиетін олардан шығатын салдармен бірге толығырақ талдайық. Бізге біріншісі G1 аймағында, ал екіншісі G2 аймағында аналитикалық екі f1(z) және f2(z) функция берілді делік. Сонымен бірге G1 мен G2 аймақтарының ортақ бөлігі G1,2 аймағында f1(z) және f2(z) функциялары өзара дәл келеді делік. Бұл жағдайда f1(z) және f1(z) функциялары өзара бір мәнді тәсілмен анықталатындығы сөзсіз. Шындығында да жалғыздық теоремасы бойынша f2(z) –тен басқа G2 аймағында аналитикалық болатын және G1,2 аймағында f2(z)=f1(z) мәндер қабылдайтын ешқандай да функция болмайды. Сонымен f2(z) функциясы G1,2 айиағындағы өзінің мәндері арқылы немесе бәрібір, f1(z) функциясы арқылы толық анықталады. Бұл жағдайда G1 аймағында берілген f1(z) функциясы G1,2 аймағы арқылы G2 аймағына f1(z) функциясының аналитикалық жалғасы деп аталады. Сол сияқты f1(z) функциясы G1 аймағында f2(z) функциясының аналитикалық жалғасы болып табылады. Жалпы айтқанда f1(z) және f2(z) функциясын әр түрлі функциялар деп қарастыруға ешбір дәлеліміз жоқ. Біреуі екіншісі арқылы толық бір мәнді анықталатынына байланысты екі функцияны да G1 және G2 аймақтарынан құрастырылған бүкіл G аймағында аналитикалық болатын бір F(z) функциясының элементтері деп қарастыру дұрыс, яғни Айтылғанды мысалмен түсіндірейік. G үшін центрі нөл нүктесіндегі радиусы бірге тең дөңгелекті: , ал G2 – центрі і нүктесіндегі радиусы дөңгелекті алайық. функциясы берілген делік. G2 аймағында аналитикалық нүктелерінде f1(z) – пен бірдей болатын f2(z) функциясын құру керек. Егер мұндай функция бар болса, онда ол жалғыз болатыны бізге белгілі. Осындай функция: бола алады, өйткені болғанда бұл қатар жинақты болады, немесе бәрі-бір болғанда оның қосындысы - ге тең. Демек, G1,2 аймағының барлық нүктелерінде болады. Сонымен f1(z) және f2(z) бір – бірінің аналитикалық жалғасы, бұл екеуі де аймағында толық аналитикалық бір ғана функциясының элементтері. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|