Ќазаќстан Республикасы
Жөнделінетін ерекше нүктелер
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3.Полюстер.
| 2. Жөнделінетін ерекше нүктелер. Бұл жағдайла (1) жіктеуі кәдімгі дәрежелі қатарға айналады. Демек, ол а нүктесіннің бірер маңайында, а нүктесін қоса есептегенде жинақты болады; оның қосындысы а нүктесінің маңайында аналитикалық функцияны береді. Берілген f(z) функциясы, егер z≠a болса,
C0 + C1(z - a) + … + Cn(z - a)n + … қатарының қосындысымен бірдей болады. Демек, егер, f(a)=C0 деп ұйғарсақ, онда біз берілген f(z) функциясын а нүктесінде аналитикалық функция етіп жасай аламыз. Егер а ңүкте болса, яғни η және M оң сандары бар болып, болғанда орындалады. Басқаша айтқанда жөнделінетін ерекше нүктесін аз маңайында берілген функция шенелген болады. Мұның кері жағы да барп: егер оңашаланған ерекше нүктенің маңайында функция шенелген болса, онда бұл нүкте жөнделінетін ерекше нүкте болады. Шыныда, а ерекше нүктенің бірер аз, маңайында f(z) функциясы шенелген болсын: Енді f(z)-ті сақинада Лоран қатарына жіктеп, оның коффициенттерін бағалайық. 22-лекциядағы (13) деп -да шекке көшсек, . Демек, C-1=0, C-2=0,…C-n=0… болғандықтан Лоран жіктеуінде бас бөлік болмайды. Олай болса, z=a жөнделінетін ерекше нүкте. 3.Полюстер. Енді полюс деп атаған ерекше нүктені талқылауға көшейік. Бұл жағдайда (1) Лоран жіктеуде z-a -ның теріс дәрежелерінің саны шектеулі болады. (1) Лоран жіктеуіне енетін -ның ең жоғарғы дәрежесін m арқылы белгілейік. Сонда (2) мұнда C-m ≠0 . Егер m=1 болса, а нүктесі жай, ал m>1 болса, оны еселі деп айтады, m санын полюстің реті деп атайды. (2) жіктеудің екі жағын (z-a)m (z≠a) көбейтсек, . Бұл теңдіктің оң жағында бос мүшесі C-m ≠0 кәдімгі дәрежелі қатар тұр. Демек, а нүктесі (z-a)m f(z) функциясы үшін жөнделінетін ерекше нүкте болып табылады, сонымен қатар . Сонда, -дан кіші кез-келген оң санды в арқылы белгілесек, болғанда немесе болатын жеткілікті аз η оң санын табамыз. Мұнан кысқаша айтқанда, полюсте функция шексіздікке айналады. Енді нөл мен полюстың арасындағы байланысты анықтайық. Айталық f(z) функциясының а нүктесінде m ретті нөлі болсын. 20-лекцияда айтуымыз бойынша осындай а нүктесінің кейбір маңайында f(z) функциясы дәрежелік қатармен беріледі, мұнда C-m ≠0 немесе , бұл жағдайда функциясы а нүктесінде аналитикалық және 0-ге тең емес. Сонда кері шама (3) әрі функциясы а нүктесінде аналитикалық және о-ден ерекше. Олай болса Болатынын ескерсек, (3) теңдігінен теңдігіне келеміз. Осыдан функциясы үшін а нүктесі m- ретті полюс болатындығы шығалды. Керісінше, а нүктесін f(z) функциясының m-ретті полюсы болса, осы нүктенің f(z) функциясының m-ретті нөлі болатындығын дәләлдеу қиын емес. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|