Ќазаќстан Республикасы
Шектеусіз алыстаған нүктенің маңайында функцияны Лоран қатарына жіктеу
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
| Шектеусіз алыстаған нүктенің маңайында функцияны Лоран қатарына жіктеу.
Нөл нүктесін центр ретінде алып радиусы R шеңбер сызайықта, жеккілікті үлкен R үшін берілген f(z) функциясының радиусы R дөңгелектің сыртында z=∞ -тен басқа ерекше нүктелері жоқ дейік. Бұл жағдайда шектеусіз алыстаған нүктені берілген функцияның оңашаланған ерекше нүктесі деп атаймыз. Осы R радиусты дөңгелектің сыртында жатқан жазықтықтың барлық нүктелерін яғни теңсіздіктерін қанағаттандыратын z нүктелерінің жиынын, шектеусіз алыстаған нүктенің маңайы деп атаймыз. Енді бір мәнді f(z) функциясын шектеусіз алыстаған нүктенің бірер маңайында, яғни z=∞ оңашаланған ерекше нүктесінің маңайында, Лоран қатарына жіктейік. Бұл үшін алмастыруын енгіземіз. Сонда z=∞ нүктесіне нүктесі сейкес келеді. Осыған байланысты f(z) функциясын z=∞ нүктесінің маңайында Лоран қатарына жіктеудің орнына функциясын нүктесінің маңайында қатарға жіктейміз. Демек, (1) Мұнан ς-ны -пен алмастырсақ, f(z) функциясының z=∞ нүктесі маңайындағы (2) Лоран жіктеуіне келеміз. 23-лекцияда айтуымыз бойынша: 1) егер жөнделінетін ерекше нүкте болса, онда (1) жіктеудің басты бөлігі болмайды, яғни Сонда (2) қатар (3) Түрінде болады. Сол себепті (3) қатар (2) қатардың дұрыс бөлігі деп аталады. 2) егер нүктесі функциясының л ретті полюсі болса (1) қатардың басты бөлігі k мүшеден тұрады: Сонда(2)-дегі бұған сәйкес қатар 3) егер нүктесі функциясының елеулі ерекше нүктесі болса, онда (1) жіктеуде теріс дәрежелі мүшелер шексіз көп болады. Сонда сәйкес түрде (2) жіктеуде оң дәрежелі мүшелер шексіз көп болады. a-n =Cn деп алсақ, (2)-ден (4) қатары шығады. Мұндағы бірінші қатар Лоран қатарының басты бөлігі, ал екінші қатар дұрыс бөлігі деп аталады. Сонымен, шектеусіз алыстаған нүкте f(z) функциясы үшін Жөнделінетін ерекше нүкте болса, (4) Лоран жіктеуінде оң дәрежелі мүшелер мүлдем жоқ болады. яғни басты бөлік болмайды. Полюс болса, (4) Лоран жіктеуіне шектеулі сан оң дәрежелі мүшелер енеді, яғни басты бөлік шектеулі сан. Елеулі ерекше нүкте болса, (4) жіктеуде оң дәрежелі мүшелердің саны шексіз көп болады. жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|