Тақырып: Көріністер теориясының элементтері. Кванттық механиканың жуықтау әдістері. Квазиклассикалық жуықтау. Классикалық механикаға өтудің шекті жағдайы

Кванттық механиканы онан ары қарастыру үшін әр түрлі физикалық шамалар операторларының нақтылы түрін білу керек. Ол үшін белгілі бір анықталған көріністі таңдап алу керек. Бұл тарауға дейін біз кванттық механикадағы кейбір көріністерді қарастырдық. Мысалы, координаталық көріністе операторлар координаталарға тәуелді функциялармен өрнектеледі. Кей жағдайларда, біз қарастыратын күй импульстік көріністе, энергетикалық көріністе және тағы басқа көріністе беріледі. Сонымен қатар, «көрініс» ұғымын кең мағынада да қарастыруға болады. Кванттық механикада күйдің уақыт бойынша өзгерісін негізінен үш түрлі әдіспен сипаттайды. Осы әдістерді үш түрлі көріністер ретінде қарастыруға болады. Олар Шредингер көрінісі, Гейзенберг көрінісі және Дирак (өзара әрекет) көрінісі деп аталады.

Шредингер көрінісінде жүйенің эволюциясы толқындық функцияның уақыт бойынша өзгерісіне сәйкес келеді. Толқындық функцияның уақытқа тәуелділігі Шредингер көрінісінде мынадай түрлендірудің көмегімен көрсетіледі :

. (26.1)

Дербес жағдайда операторы мына шарттарды қанағаттандырады :

, . (26.2)

Мұндағы екінші шарт оператордың унитарлық шарты, унитар оператор деп аталынады, ол (25.15) өрнекте көрсетілген. Ал бірінші шарт бойынша жағдайда, бірлік оператормен дәл келеді. оператордың унитарлығы толқындық функцияның нормалау шартының уақыт бойынша сақталатындығын білдіреді

.

Сонымен, жүйе эволюциясын уақыт бойынша сипаттау, толқындық функцияның уақыт бойынша өзгерісіне апарады. Бұл өзгеріс унитар оператордың көмегімен сипатталады. оператор бастапқы функцияға әрекет жасап, оны функцияға айналдырады.

Бұл жағдайда жүйені сипаттайтын операторлар уақыт бойынша айқын өзгермейді. Сонымен, жүйені сипаттайтын толқындық функция уақыт бойынша өзгерсе, ал операторлары уақытқа тәуелсіз болса, ондай көрініс Шредингер көрінісі деп аталады. Мұндағы «көрініс» деген сөздің мағынасы координаталық, импульстік және энергетикалық көрініс дегеннен кең болады. Біздің жағдайда ол күйдің уақыт бойынша өзгерісін сипаттаудың тәсілі болады.

. (26.5)

Шынында, (26.1) өрнекке (26.5) түрленуді ауыстырып қойсақ,

, (26.6)

мұндағы - Гейзенберг көрінісіндегі толқындық функция.

(26.7)

. (26.8)

Шредингер көрінісіндегі операторды деп белгілейік. Осы операторды Гейзенберг көрінісінде табу керек, ол үшін бір көріністен басқа көрініске көшу ережесін (25.20) унитар түрленудің көмегімен табамыз

, (26.9)

мұндағы - көрініс аты. Гейзенберг көрінісінде (26.9) оператор мына түрде болады:

. (26.10)

(26.4) өрнекті (26.10) өрнекке ауыстырып қоямыз

. (26.11)

Бұл өрнекті пайдалана отырып, Гейзенберг көрінісіндегі қозғалыс теңдеуін табуға болады. Ол үшін (26.11) өрнекті уақыт бойынша дифференциалдаймыз

,

,

.

. (26.11а)

(26.11а) теңдеу Гейзенберг көрінісіндегі операторлардың уақыт бойынша өзгеру заңын береді.

Шредингер көрінісі мен Гейзенберг көрінісінің арасындағы айырмашылық мынада: Шредингер көрінісінде толқындық функциялар уақытқа тәуелді, ал Гейзенберг көрінісінде операторлар уақытқа тәуелді. Іс жүзіндегі есептеулер үшін, Шредингер көрінісі ыңғайлы, ал Гейзенберг көрінісінде қозғалыстың кванттық теңдеуі қозғалыстың классикалық теңдеуіне ұқсас болады.

(26.12)

мұндағы - жүйенің өзінің гамильтонианы, ал - осы жүйенің сыртқы өрістермен немесе басқа жүйелермен өзара әрекетін сипаттайды. Бұл жағдайда Дирак енгізген өзара әрекет көрінісін пайдаланған жөн.

Өзара әрекет көрінісінде толқындық функция мына түрде беріледі

. (26.13)

Ал, кез келген оператор өзара әрекет көрінісінде былай анықталады

. (26.14)

Бұл өрнектердің (26.8) және (26.11) өрнектерден айырмашылығы, экспонентаның дәреже көрсеткішіне толық гамильтониан кірмейді, онда тек оператор бар.

Енді функция қанағаттандыратын теңдеуді алу керек, ол үшін (26.13) қатысты уақыт бойынша дифференциалдаймыз

.
Бұл теңдеуге Шредингер теңдеуін

ауыстыра отырып және (26.14) операторды ескеріп, жаңа теңдеу аламыз

. (26.15)

. (26.16)

Ауытқу теориясының негізгі идеялары аспан механикасынан алынған. Аспан механикасында планеталардың Күнді айнала қозғалысы зерттеледі. Мысалы, Жер – Күн жүйесінің қозғалысын зерттейтін мәселенің дәл шешімін табуға болады. Енді екі планетаның Күн айналасындағы қозғалысын қарастырсақ, ол үш дене мәселесіне көшеді. Үш дене мәселесінің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан жуық әдіс қолданылады. Егер екі планетаның өзара әрекеті, планета мен Күннің өзара әрекетінен әлдеқайда кіші болса, онда ауытқу теориясы қолданылады. Бұл жағдайда, екі планетаның өзара әрекеті кішкене ауытқу ретінде қарастырылады. Ауытқу теориясы бойынша, алдымен планета мен Күннің өзара әрекеті қарастырылады. Бұл жуықтау нөлдік жуықтама деп аталынады. Нөлдік жуықтамадағы мәселені шешкеннен кейін, ауытқу есепке алынады. Бұл жуықтау бірінші жуықтама деп аталынады. Кванттық механикадағы бұл мәселенің баламасын қарастырсақ, атомдағы электрондардың қозғалысын мысалға алуға болады. Электрон мен ядроның өзара әрекетін нөлдік жуықтама, ал электрон мен электронның өзара әрекетін ауытқу ретінде, яғни бірінші жуықтама деп қарастырамыз.

Тоғысу жоқ кездегі стационар есепті қарастырайық. Бұл жағдайда Шредингер теңдеуінің гамильтонианы уақытқа тәуелсіз болып мына түрде беріледі:

, (27.1)

мұндағы - дәл шешімі бар есептің гамильтонианы (нөлдік жуықтамадағы оператор) , - ауытқу операторы (бірінші жуықтамадағы оператор), - кез келген кішкене параметр , . Шредингер теңдеуі мына түрге келеді:

. (27.2)

Біздің мақсатымыз, осы теңдеуді шешу арқылы энергияның мәнін және оған сәйкес келетін толқындық функцияларды, операторды есепке ала отырып табу. Ауытқу теориясы бойынша, және үшін шешімдер қатарлар түрінде іздестіріледі

(27.3)

Аздығы бірінші ретті шамаларды ғана қарастырып және нөлдік жуықтамада Шредингер теңдеуі мына түрде болатынын ескерейік

.

Сонда (27.4) теңдеу мына түрге келеді

Кез келген толқындық функцияны функциялардың толық жүйесі бойынша жіктеуге болады, сондықтан

, (27.6)

мұндағы - белгісіз коэффициенттер. Оларды табу үшін, тағы да нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуін ескереміз және (27.6) функцияны (27.5) теңдеуге ауыстырсақ,

.

Бұл теңдеуді сол жағынан функцияға көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық

Ортонормаланған шартты

,

және оператордың

матрицалық элементін еске ала отырып, мынадай формуланы алуға болады

. (27.8)

Жалпы жағдайда , сонда

(27.10)

, (27.11)

мұндағы

(27.12)

ауытқу операторының орта мәні, ол матрицасының диагоналдық элементтеріне тең. Ескерте кететін жағдай, ауытқу теориясын пайдалануға болады, егер .

Енді нөлдік жуықтамадағы оператор тоғысқан өзіндік мәндерге ие болып, ал тоғысудың еселігі болсын. Жоғарыда қарастырған әдістерді қолдана отырып, алынған (27.5) теңдеуді есептеуге ыңғайлы түрде жазайық

. (27.13)

Осы теңдеуді шеше отырып, бірінші жуықтамадағы энергияның мәні мен оған сәйкес келетін толқындық функцияларды табамыз. Ол үшін (27.13) теңдеуді сол жағынан функциясына көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық

.
Егер (17.17) ережені пайдалансақ, онда

. (27.14)

функциясы нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуінің шешімі болады

.

Сондықтан (27.14) теңдеудің сол жағы нөлге тең

, (27.17)

Бұл жүйені мына түрде де жазуға болады:

(27.19)
Егер белгісіздердің алдындағы коэффициенттерден тұратын анықтауыш нөлге тең болса, онда (27.19) жүйенің нөлден өзгеше шешімі болады. Ол анықтауыш мына түрде көрсетіледі
. (27.20)
Бұл анықтауышты аша отырып, біз белгісіз шамаларға қатысты

дәрежелі теңдеу алдамыз. Ол теңдеу секулярлық немесе ғасырлық деп аталынады. Ғасырлық теңдеу ретті теңдеу болады, сондықтан оның

түбірі бар. Бұның мағынасы, - ші энергетикалық деңгей өзара жақын орналасқан деңгейлерге бөлшектенеді. Бұл жағдайда ауытқу деңгейлердің тоғысуын толық жояды. Егер сутегі атомын электр өрісіне енгізсе, онда оның спектр сызықтары бөлшектенеді, мұнда электр өрісі ауытқу ретінде қарастырылады. Бұл құбылысты 1913 жылы неміс физигі И. Штарк байқаған, ол Штарк эффектісі деп аталады.

Өзіміз қарастырған (15.3) теңдеуге назар аударайық. Ол сызықтық емес теңдеу, сондықтан оның дәл шешімін табуға болмайды. Алғашқы рет Шредингер теңдеуінің шешімін 1926 жылы жуық әдіспен тапқан неміс физигі Г. Вентцель, нидерланд теоретигі Х. Крамерс және француз физигі Л. Бриллюэн болған. Сондықтан бұл әдісті ВКБ әдісі немесе көбінесе квазиклассикалық жуықтау әдісі деп атайды. Он бесінші параграфтағы дайын нәтижелерді пайдалана отырып, стационар есепке көшейік. Ол үшін толқындық функцияны (11.14) бойынша мына түрде жазайық

. (28.1)
Осыған байланысты (15.2) және (15.4) өрнектерде
, (28.2)
ал және т.б. функциялар уақытқа тәуелсіз деп есептейміз. (15.5) теңдеуден энергияның мәнін табамыз

(28.3)
осыдан

(28.4)
мұндағы

. (28.5)

(15.6) теңдеуден функцияны табуымыз керек

,

немесе

Бұл теңдеуді интегралдап, функцияны табамыз

(28.6)

мұндағы - интегралдау тұрақтысы.

(15.2) анықтаманы, (28.2) , (28.6) табылған өрнектерді және (28.4) бойынша импульстің екі таңбасы бар екенін ескере отырып, толық шешімді екі шешімнің суперпозициясы ретінде жазамыз

(28.7)

Енді (28.7) және (28.8) өрнектердің мағынасын қарастырайық. Егер болса, онда (28.5) бойынша импульс нақты болады, ал толқындық функция тербелмелі сипатта болады. Бөлшекті және аралықта табу ықтималдығы болады, яғни классикалық механикадағы нәтижені алдық. Егер болса , онда импульс жорамал болады, ал толқындық функция экспоненттік сипатта болады. бұрылыс нүктесінде болады және алынған толқындық функция мағынасын жоғалтады. Классикалық механика бойынша бұрылыс нүктесінде бөлшек жылдамдықтың таңбасын өзгертіп, теріс бағытта қозғалады. Толқындық көзқарас бойынша, қозғалыс аймақта болуы мүмкін. Бұл құбылыс туннелдік эффект деп аталынады.

(28.7) және (28.8) функциялардың қолданылу шегін, яғни квазиклассикалық жуықталу қай жағдайда дұрыс болатынын табайық. Ол үшін (15.3) теңдеуге оралайық. Егер болса, онда кванттық теңдеу классикалық теңдеуге көшеді және болады. Егер , онда мына шарт

(28.9)

(28.10)

Бірөлшемді жағдайда бұл теңсіздік былай жазылады

, (28.11)

немесе ( - толқындық сан) екенін ескере,

(28.12)

квазиклассикалық жуықтау шартын аламыз. Сонымен, (28.12) бойынша де Бройль толқын ұзындығы баяу өзгеру керек немесе тұрақты шама болу керек.

Бордың сәйкестік принципі бойынша, кез келген классикалық емес теория белгілі шекте ескі классикалық теорияға өтеді. Осы принциптің көрнекі мысалы ретінде Шредингер теңдеуінің классикалық Гамильтон-Якоби теңдеуіне өтуін қарастырайық. Шредингердің толық теңдеуін жазайық:

нәтижесінде функцияға арналған теңдеу аламыз:

(15.4)

шаманың бірінші дәрежесіне дейінгі дәлдікті есепке алсақ, онда екі теңдеу аламыз:

, (15.5)

. (15.6)

(15.5) теңдеу классикалық механикадағы әрекет функциясына арналған Гамильтон – Якоби теңдеуімен дәл келеді. (15.6) теңдеудің мағынасын анықтау үшін, бөлшекті табу ықтималдығын (15.2) өрнекті пайдалана отырып табайық:

. (15.7)

Енді (15.6) теңдеуді -ға көбейтіп және

,

. (15.8)

Сонымен біз, үзіліссіздік теңдеуін таптық. Бұл теңдеу бойынша ықтималдық тығыздығы кеңістікте жылдамдықпен орын ауыстырады.

Тақырып: Спинді бөлшектің толқындық функциясы. Бөлшектің және бөлшектер жүйесінің толық бұрыштық моменті. Спинді бөлшекке арналған Шредингер теңдеуі. Теңбе-тең бөлшектер жүйесіндегі алмасу арқылы әсерлесу.

Жалпы жағдайда, бөлшектің күйі оның координаталарымен ғана емес, спин векторының бағытымен де анықталады. Сондықтан толқындық функцияның түрі мынадай болады:

Енді Уленбек пен Гаудсмит гипотезасының математикалық негізін қарастырайық. Топтар теориясы бойынша, спин операторының проекциялары және спин операторының квадраты импульс моменті операторларына арналған (8.12ә) және (8.13) қатыстарды қанағаттандырады. Екінші жағынан, спин - векторлық шама. Сонымен

, , , (30.2)

.
Спин операторлары импульс моменті операторының қасиеттеріне ие болғандықтан

, ; (30.3)

Мұндағы - спин операторының өсіне проекциясын анықтайды, ал

-спин операторының квадратын анықтайды, ол спиндік кванттық сан деп аталады. (21.12) өрнек бойынша, -тің бір мәніне - тің мәні сәйкес келу керек. Штерн - Герлах және тағы басқа тәжірибелер бойынша, тек екі мәнге ие болу керек, сондықтан спиндік кванттық сан , ал . Тәжірибелер мен теория мынаны көрсетеді: электрондар, протондар, нейтрондар және тағы басқа бөлшектердің спині , -мезондар , - мезондардың спині , фотондар үшін .

Классикалық теория бойынша, электронның спині дегеніміз - зарядталған абсолют қатты шариктің өз өсінен айналуы. Ол шариктің импульс моменті мынаған тең: , мұндағы электронның классикалық радиусы. Кванттық теория бойынша, электронның импульс моменті . Енді теңдіктен жылдамдықты тапсақ, , мұндағы - жарық жылдамдығы. Сонымен, электронның сызықтық жылдамдығы жарық жылдамдығынан үлкен. Олай болуы мүмкін емес, сондықтан электронды зарядталған абсолют қатты шарик ретінде қарастыруға болмайды. Ал, спин - таза кванттық құбылыс, оның классикалық баламасы жоқ.

Уленбек пен Гаудсмит болжамы бойынша, спиннің кез келген бағытқа проекциясы екі мәнге ие болады. Сондықтан, операторлары екі қатарлы матрицалармен өрнектелу керек
, , (30.5)

мұндағы - Паулидің спиндік матрицалары немесе операторлары деп аталынады.

, , . (30.6)

Бұл спиндік матрицалардың мынадай қасиеттері бар:

, , , , (30.7)

, (30.8)

, , , (30.10)

мұндағы - бірлік матрица. Паули матрицаларының (30.7) қасиетінің көмегімен, операторының өзіндік мәнін табуға болады

,

немесе

Бұл теңдеуден өзіндік мәнді табамыз, ол .

, онда ,

(30.12) функция операторының өзіндік функциялары немесе спиндік функциялары деп аталады. Біз енді оператордың өзіндік функцияларын және өзіндік мәндерін табайық. Ол үшін операторлық теңдеу құрамыз

. (30.13)

(30.5) , (30.12) өрнектерді осы теңдеуге ауыстыра отыра, матрицаларды көбейту ережесін пайдаланып, мынадай теңдеу аламыз:

Бұл матрицалық теңдеу екі біртекті алгебралық теңдеуге эквивалентті болады

, (30.14)

Осыдан операторының өзіндік мәндерін табамыз

(30.15)

(30.12) пайдаланып, мынадай белгілеу енгізейік

Мұндағы бір жолды түйіндес функция. Спиндік функцияларға арналған нормалау шарты

, (30.17)

немесе

(30.17а) нормалау шартынан спиндік функцияларды табамыз

, . (30.18)

Сонымен, біз спин операторының өсіне проекциясының өзіндік функцияларын және өзіндік мәндерін таптық