Бағдарламасы «Теориялық физика -1 (Кванттық механика)»

Көп жағдайда, айнымалыларды айыру әдісі арқылы (30.1) толқындық функцияны былай жазуға болады

. (30.20)

Бөлшектердің теңбе-теңдік принципінің маңызды салдары бар. Біз қарастыратын жүйе екі бөлшектен тұрсын, бірінші бөлшектің күйін

, екінші бөлшектің күйін анықтасын. Мұндағы ші бөлшектің координаталар мен спиндік айнымалылардың жиынтығын көрсетеді. Екі бірдей бөлшектен тұратын жүйенің күйі мынадай толқындық функциямен сипатталады

. (31.1)

. (31.2)

мұндағы орын алмастыру операторының өзіндік мәндері. (31.2) теңдеуге оператормен сол жақтан әрекет жасайық

. (31.4)

Осы әрекетті (31.3) теңдеуге арнап қайталайық, сонда

. (31.5)

(31.4) және (31.5) теңдеулердің оң жақтарын салыстыра отырып, операторының өзіндік мәндерін табамыз

. (31.6)

Бұл өрнектің мағынасы мынада: бөлшектер орын алмастырғанда толқындық функция не өзгеріссіз қалады, не таңбасын өзгертеді

, , (31.7)

, . (31.8)

(31.7) өрнектегі функция бөлшектерді орын алмастырғанға қатысты симметриялы болады, ол симметриялық функция деп аталады. Ал, (31.8) өрнектегі функция бөлшектерді орын алмастырғанға қатысты антисимметриялы болады, ол антисимметриялық функция деп аталынады. Табиғатта теңбе-тең бөлшектердің әрбір қосағының орын алмастыруына қатысты тек симметриялық немесе тек антисимметриялық күйлер жүзеге асады.

Тақырып: Бөлшектер жүйесінің толқындық функциясы. Бөлшектер жүйесінің операторлары. Бөлшектер жүйесіне арналған Шредингер теңдеуі. Көпденелі есепті бірбөлшекті есебіне келтіру әдістері. Теңбе-тең бөлшектер жүйесі. Теңбе-тең бөлшектер жүйесінің толқындық функциялары. Паули принципі.

Енді фермиондар мен бозондардан тұратын жүйелердің толқындық функцияларының нақтылы түрін табайық. Ол үшін бір-бірімен өзара әрекеттеспейтін теңбе-тең бірдей бөлшектерден тұратын жүйені қарастырайық. Бұл жүйеге арналған Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде болады

. (32.1)

Өзара әрекет болмаған жағдайда, бұл теңдеудің шешімін жеке толқындық функциялардың көбейтіндісі ретінде іздестіреміз

, (32.2)

мұндағы кванттық сандардың жиынтығы және т.т. Біздің жағдайда, бір бөлшекке арналған Шредингер теңдеуі

.

Жалпы жағдайда, (32.2) шешімнің құрамында симметрияның нақтылы түрі анықталған және анықталмаған шешімдері болады. Егер жүйе тек бозондардан тұрса, онда симметриялық функцияларға сәйкес келетін шешімдерді ғана алу керек. Егер жүйе тек фермиондардан тұрса, онда антисимметриялық функцияларға сәйкес келетін шешімдерді ғана алу керек. Сондықтан (32.2) функцияны симметриялау немесе антисимметриялау керек. Ол үшін, екі өзара әрекеттеспейтін бөлшектен тұратын қарапайым жүйені қарастырайық. Бұл жағдайда, (32.1) теңдеудің шешімі былай жазылады:

Бірдей бөлшектердің теңбе-теңдік принципі бойынша

. (32.6)

Егер қарастыратын жүйе екі бөлшектен тұрса, (32.7а) және (32.8а) өрнектерден (32.7) және (32.8) өрнектер шығады. (32.8а) өрнектен өте маңызды нәтиже шығады, ол – Паулидің тыйым салу принципі. Бұл принципті мына түрде тұжырымдап айтуға болады: бірдей фермиондар жүйесінде бірмезетте екі немесе одан көп бөлшектер орналаса алмайды. Шынында, (32.8) өрнекте болса, . Бұл күйде екі бөлшекті табу ықтималдығының тығыздығы . Мысалы, екі бірдей электрон бір күйде орналаса алмайды, ал олардың спиндері қарама - қарсы болса, онда орналаса алады. Барлық параметрлері бірдей, электрон мен позитрон бір күйде орналаса алады, себебі олардың зарядтары әр түрлі болады.

Сутегі атомы мен сутегі тәрізді атомдар бір электронды атомдарға жатады. Олар үшін Шредингер теңдеуінің дәл шешімін табуға болады. Элементтердің периодтық жүйесінде сутегі атомынан кейін орналасқан гелий атомы . Гелий атомы көпэлектронды атомдардың ішіндегі ең қарапайымы, бұл атомда ядро айналасында екі электрон қозғалады. Екіэлектронды атомға, гелий тәрізді атомдар жатады: - бірдүркін иондалған литий атомы, - екідүркін иондалған берилий атомы және т.б. Кезінде гелий атомындағы екі электронның қозғалысын Бордың ескі кванттық теориясының көмегімен қарастырған, бірақ ол ешқандай нәтиже бермеді. Не себепті дұрыс нәтиже алынбады деген заңды сұрақ туады. Біріншіден, Бордың кванттық теориясында алмасулық күштері есепке алынбады. Екіншіден, электрондардың спиндік қасиеттері есепке алынбады. Өзімізге белгілі Бор теориясы бойынша екі электронның қозғалысын жеке-жеке басынан аяғына дейін қадағалауға болады. Кванттық теория бойынша, екі электрон бір-бірінен үлкен ара қашықтықта орналасса ғана, оларды нөмірлеп, бір-бірінен ажыратып қарастыруға болады. Бірақ, оларды өте жақын орналастырса кеңістіктің қай нүктесінде нөмірленген электрондардың қайсысы орналасқанын ажырата алмаймыз. Бұл жағдайда, бөлшектердің теңбе-теңдік принципі орындалады. Бөлшектерді ажыратылмаушылықтың нәтижесінде, бұл бөлшектер күйлермен алмасады. Бөлшектер арасында, классикалық баламасы жоқ, алмасулық күштер пайда болады. Бор бойынша сутегі тәрізді атомдар теориясында электрон спині есепке алынбайды, бірінші жуықтауда ол түзетулерді елемеуге болады. Ал гелий атомында спиндік құбылысты елемеуге болмайды.

Біз гелий атомының жуық теориясын қарастырамыз, себебі, бұл мәселе - үш дене мәселесі болып саналады (үш дене мәселесінің дәл шешімі болмайды). Гелий атомының сұлбасын берейік (14-сурет).

14 – сурет

. (33.1)

Мұндағы үшінші және төртінші мүшелер электрондардың ядро өрісіндегі потенциалдық энергиясы, бесінші мүше электрондардың өзара әрекет кулондық энергиясы, соңғы мүше электрондардың спиндеріне, орналасқан орындарына және жылдамдықтарына тәуелді спин – орбиталық өзара әрекет операторы. Көп жағдайда операторын есепке алмауға болады, себебі ол – болмашы түзету. Сонымен, (33.1) гамильтонианының көмегімен Шредингер теңдеуін жазамыз

. (33.2)

. (33.3)

, (33.4)
мұндағы

, ,
(33.5)

, , .

Мұндағы - ядро өрісіндегі екі электронның толық энергиясының операторы, операторын ауытқу операторы деп қарастыруға болады.

Жоғарыда айтылғандай (33.4) теңдеудің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан алдымен нөлдік жуықтамадағы шешімді қарастырайық (- операторды елемейміз). Сонда

, (33.6)

мұндағы - нөлдік жуықтамадағы толқындық функция. (33.5) өрнегінде гамильтониан бір айнымалыға тәуелді екі гамильтонианның қосындысынан тұрады, сондықтан толқындық функцияны екі функцияның көбейтіндісі түрінде жазуға болады

(33.7) функцияны (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық

.

Осыдан нөлдік жуықтамадағы энергияны табамыз

мұндағы - бірінші электронның, - екінші электронның энергиясы. (33.8) теңдікті былай түсінуге болады: өзара әрекет есепке алынбағанда екі электронның толық энергиясы және энергияларының қосындысына тең. Екінші жағынан, есептеулер мына жағдайды көрсетеді: (33.8) энергияға басқа күй де сәйкес келеді, бірінші электрон , ал екінші электрон күйлерде орналасады. Сонда

. (33.9)

(33.9) өрнек екі электронның орын алмастыруын көрсетеді, оны тағы да (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық

Сонымен, энергияның бір деңгейіне және функциялармен сипатталатын екі күй сәйкес келеді. Бұл жағдайды мына түрде түсіндіруге болады: жүйенің күйі электрондарды ажыраталмаушылыққа байланысты қосымша тоғысуға ие болады, ол алмасулық тоғысу деп аталынады. Егер болса, онда . Тоғысу бұл жағдайда болмайды

(33.11)

Егер , онда нөлдік жуықтамадағы функция және функциялардың суперпозициясы пайда болады

, (33.12)

мұндағы коэффициенттер

(33.13)

нормалау шартын қанағаттандырады.

Айта кететін жәйт, электрондардың барлық моменттерін қосып, атомның толық моментіне айналдыруының екі тәсілі бар. Бірінші тәсіл: орбиталық және спиндік моменттерді жеке-жеке қосып, атомның моментін табу керек, яғни

, , . (34.2)

Бұл тәсіл - байланыс немесе Рассел-Саундерс байланысы деп аталынады (жоғарыда осы тәсілді пайдаландық), ол жеңіл атомдарда жиірек іске асады. Екінші тәсіл: алдымен әрбір электронның орбиталық және спиндік моментін қосып, содан кейін барлық электрондардың толық моментін табу керек, яғни

, . (34.3)

Бұл тәсіл - байланыс деп аталады, ол ауыр атомдарда жиірек кездеседі. Кванттық механикада (34.2) және (34.3) тәсілдер бір-біріне баламалы емес.

Енді біз потенциалдық энергияның нақты түрін қарастырамыз. Ол үшін ядроның кулондық өрісіндегі электронның қозғалысын негізге аламыз. Ондай өріс сутегі атомында, -гелий ионында, - екіеселі иондалған литий атомында және т.б. сутегі тәрізді атомдарда байқалады. Ядроның зарядын деп белгілейік, мұндағы ядроның нөмірі (сутегі үшін ) , - элементар заряд. Бұл өрістегі электронның потенциалдық энергиясы мынаған тең

. (23.1)

Біздің мақсатымыз, осы өрісте қозғалатын электронның энергетикалық спектрін және толқындық функцияларын табу. Ол үшін (23.2) Шредингердің радиалдық теңдеуін мына түрге келтіреміз

. (23.2)

(23.1) потенциалдық энергияны (23.2) теңдеуге ауыстыра отырып және

, , (23.3)
белгілеулерді ескере отырып

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шешуге жеңілдік жасау үшін өлшемсіз айнымалыны енгіземіз

. (23.4)

Сонда мынадай өлшемсіз теңдеу аламыз

Сутегі атомы туралы мәселені шешу тәсілі гармониялық осциллятор (§ 17) мәселесін шешу тәсіліне ұқсас, сондықтан да, біз энергияның үзікті деңгейлерін іздестіруді мақсат етіп қоямыз. Кішкене қашықтықта функция (22.7) бойынша, ал үлкен қашықтықта (22.12) функциясына ұқсас өзгереді

.

Бұл теңдеудің шешімі . Экспонентті түрде өсетін шешімді алмай, екінші шешімді қалтырамыз. Сонымен, функцияның кішкене және үлкен қашықтықтағы беталысын ескере отырып, (23.5) теңдеудің шешімін мына түрде іздестіреміз

мұндағы . Қарапайым есептеулер нәтижесінде (23.5) теңдеу, белгісіз функциясына қатысты теңдеуге айналады

. (23.7)

(23.7) теңдеудің шешімін мына қатар түрінде іздестіреміз

. (23.8)

Бұл функцияның бірінші және екінші туындысын тауып, оларды (23.7) теңдеуге ауыстыра отырып, гармониялық осциллятор есебі сияқты

айнымалы шаманың бірдей дәрежелерінің алдындағы мүшелерді жинақтап, мынадай формуланы аламыз

. (23.9)

(23.9) теңдік орындалу үшін, алдындағы коэффиценттер нөлге тең болу керек, яғни рекурренттік формуланы аламыз

. (23.10)

Егер , онда (23.8) қатар сияқты жинақсыз болады. Сондықтан толқындық функция ақырлы болу шартын қанағаттандырмайды. Енді гармониялық осциллятор мәселесіндегі сияқты, (23.8) қатарды индексі бар мүшеде үзіп, дәрежелі полином аламыз. Бұл жағдайда (23.10) рекурренттік формуладағы , , ... коэффиценттері нөлге айналады. Ол коэффиценттер нөлге айналу үшін, рекурренттік формуланың алымы нөлге тең болу керек

. (23.11)

-радиалдық кванттық сан, - бас кванттық сан деп аталынады. (23.11) теңдіктің нәтижесінде, (23.8) ақырсыз қатар дәрежелі полиномға айналады

. (23.12)

Бұл қатардағы коэффиценттерді (23.10) рекурренттік формуланың көмегімен есептей отырып, пайда болған тұрақты көбейткіштерді көбейткішке жинақтай отырып, (23.6) функцияны біржолата былай жазамыз

, (23.13)

мұндағы - Лагеррдің жалпыланған полиномы деп аталынады және оның тұйық пішіні мына түрде беріледі

. (23.14)

Радиалдық функцияға арналған нормалау шартын

пайдалана отырып, (23.3) , (23.4) және (23.13) өрнектерді ескере, нормалау коэффицентін табуға болады

, (23.15)

мұндағы - бірінші Бор орбитасының радиусы болады.

Сутегі тәрізді атомның энергетикалық спектрі (23.3) және (23.11) формулалардан табылады

. (23.16)

Алғашқы рет (23.16) өрнекті 1913 жылы Бор жартылай классикалық теорияның көмегімен тапқан. Ал, кванттық механикада бұл өрнекті матрицалық әдіспен 1926 жылы Австрия физигі В. Паули және толқындық теңдеудің көмегімен Шредингер алған. Бұл әдістердің бір-бірінен айырмашылығы, Бор әдісі жасанды, ал Паули мен Шредингердің әдістері логикалық, табиғи болып келеді. Егер бас кванттық сан болса, онда бөлшектің кулондық өрісіндегі негізгі күйін анықтайды; болса, онда бөлшектің кулондық өрісіндегі бірінші қозған күйін сипаттайды және т.б. (22.1) және (23.13) өрнектер бойынша, толқындық функция үш кванттық сандардың мәндерімен анықталады.

, (23.17)

ал энергия деңгейлері (23.16) бойынша, тек бас кванттық санға тәуелді болады. Сондықтан, сутегі тәрізді атомның энергетикалық деңгейлері тоғысқан болады. Центрлі – симметриялық өрісте, жиырма бірінші параграфта көрсетілгендей, тоғысу саны бойынша болады. Ал, кулондық өрісте энергетикалық дейгейлер қосымша орбиталық кванттық саны бойынша да тоғысады. Тоғысудың -ші энергетикалық деңгейге қатысты еселігін табайық. Берілген саны бойынша орбиталық кванттық сан нөлден дейін аралықтағы мәндерге ие болады, ал - дің әрбір мәніне -нің мүмкін мәндері сәйкес келеді. Сонымен, тоғысу дәрежесі

. (23.18)

Бұл есептеуде арифметикалық прогрессия формуласын пайдаландық. (23.18) бойынша, энергетикалық деңгейдің әрбір мәніне әр түрлі толқындық функциялар сәйкес келеді.

Жалпы жағдайда, сілтілі металдар атомдарындағы оптикалық электрон моделі көпэлектронды мәселені көрсетеді. Бірақ жоғарыда аталған атомдардың бір ерекшелігі бар, бұл атомдардағы қозғалысты центрлі симметриялы өрістегі бір электронның қозғалысына келтіруге болады. «Атомдық қалдықпен» әлсіз байланысқан оптикалық электронды одан аластатсақ, онда қалдықта қалған электрондар инертті газға тән электрондық қабықша түзеді. Мысалы, ионы атомының электрондық қабықшасы сияқты электрондық қабықшаға ие болады. Инерттік газдың электрондық қабықшасы тәжірибелер бойынша сфералық симметрияға ие болады және сыртқы әсер оған онша ықпал ете қоймайды, сондықтан оптикалық электрон «атомдық қалдықтағы» электрондарға тікелей әсерін тигізбейді. Сонымен белгілі бір дәлдікте, оптикалық электронды «атомдық қалдықтың» центрлі - симметриялық өрісінде қозғалады деп есептеуге болады. Бұл центрлі – симметриялық өрістің потенциалын десек, ал оптикалық электронның потенциалдық энергиясын деп белгілейміз, сонда

(24.1)

. (24.2)

Қаңқаның құрамындағы ядроның зарядын деп белгілесек, онда сферамыздың толық заряды мына түрде анықталады

, (24.3)

мұндағы қашықтықтағы ядроның эффектив нөмірі. Гаусс теоремасын пайдалана отырып, өрісті табуға болады

, (24.4)

ал потенциал мынаған тең

. (24.5)

(24.3) өрнекке толығырақ тоқталайық. Бұл өрнек бойынша, электрондық қабықшаның әрекеті ядро өрісін қалқалауға апарады. Қалқалау қашықтыққа тәуелді, ядроның маңында оның өрісі қалқаланбайды. Шынында, нөлге ұмтылған жағдайда

.

,

ал потенциал

Егер (-электрондық қабықшаның радиусы) аймақты қарастырсақ

,

мұнда - қабықшадағы электрондардың толық саны. Сонымен бұл аймақта

ал потенциал

. (24.7)

Бұл потенциал, қабықшадағы электрондар зарядына азайтқандағы ядро зарядының потенциалына сәйкес келеді.

Кей жағдайда, -эффектив нөмірдің қашықтыққа тәуелділігін есепке алмайды, яғни

, .

Сутегі атомының энергетикалық спектрін қарастырғанда, энергия

-нің тек бас кванттық сан -ге тәуелді екенін анықтағанбыз. Ал біздің жағдайда энергия сонымен қатар, радиалдық кванттық санға да тәуелді болады. Жалпы түрде қарастырсақ, алдыңғы тақырып бойынша , сондықтан энергия орбиталық кванттық санға да тәуелді болады. Сонымен, және екі кванттық санға тәуелді болады, яғни болғандықтан, өзіндік мәндер және кванттық сандарға тәуелді болады. Осы айтылғандарға байланысты өзіндік функциялар мен өзіндік мәндерді мына түрде белгілеуге болады

(24.8)

Алдыңғы тақырыпта айтқандай, кулондық өрісте орбиталық кванттық саны бойынша тоғысу болады, яғни бас кванттық сан берілгенде энергия -ге тәуелді болмайды . Ал центрлі өрісті жалпы жағдайда қарастырсақ, бұл саны бойынша тоғысу болмайды .