Тақырып: Кванттық ауысулар ықтималдығы

Кванттық ұғымдарды пайдалана отырып, 1916 жылы Эйнштейн сәулеленудің қарапайым кванттық теориясын ұсынған. Эйнштейн теориясына сүйене отырып, кванттық жүйенің жарықты шығаруын және жұтуын түсіндіруге болады. Эйнштейн теориясын тереңірек түсіну үшін, көрнекі мысал ретінде сәулеленудің классикалық теориясын еске түсірейік. Электрдинамика заңдары бойынша, тек үдей қозғалатын зарядталған бөлшек сәулелену көзі болып табылады. Уақыт бірлігінде сәулелену энергиясы үдеуге тура пропорционал болады

, (39.2)

Жарықты шығару немесе жұту процестерін түсіндіру үшін Эйнштейн өз атымен аталатын және коэффициенттерді енгізді. коэффициенті жүйенің бір күйден басқа күйге өздігінен болған ауысуды сипаттайды, ол ауысу кейде тосын ауысу деп аталады. коэффициенті жүйенің бір күйден басқа күйге сыртқы әсердің нәтижесінде болған ауысуды сипаттайды, ол ауысу мәжбүр ауысу деп аталады.

Тәжірибелер бойынша, жүйе өздігінен жоғары күйден төмен күйге ауыса алады. Бұл жағдайда энергиясы болатын жарық кванты шығарылады, оның жиілігі . Егер қозған атомдардың саны болса, өздігінен болған ауысулар үшін сәулелену қарқындылығы

, (39.3)

E_m
21- сурет
21- суретте жоғарыдан төмен бағытталған , яғни өздігінен болған және мәжбүр ауысулар; төменнен жоғары бағытталған , яғни мәжбүр ауысулар көрсетілген. коэффициентті Эйнштейн бойынша жоғарыдан төмен бағытталған ауысудың ықтималдығын, ал төменнен жоғары бағытталған ауысудың ықтималдығын анықтайды. Егер мәжбүр ауысулардың саны электромагниттік сәулеленудің спектрлік тығыздығына пропорционал болса, онда сәулеленудің және жұтылудың қарқындылықтары мынаған тең болады
, (39.4)
(39.5)
мұндағы күйдегі атомдар саны. Қыздырған атомдар мен олар шығарған жарықтың арасында термодинамикалық тепе-теңдік болсын, ол жағдайда жарық шығару процесі мен жарық жұту процесі арасында тепе-теңдік болуға тиіс. 21- сурет бойынша жоғарыдан төмен бағытталған ауысулар саны мен төменнен жоғары бағытталған ауысулар саны бірдей болады

. (39.6)

Максвелл үлестірілуі бойынша атомдардың және энергияларымен үлестірілуі былай беріледі

, , (39.7)

мұндағы - тұрақты коэффициент, - Больцман тұрақтысы, - абсолют температура. (39.7) өрнектерді (39.6) теңдікке ауыстырып қояйық

. (39.8)

. (39.9)

Статистикалық физикада көрсетілгендей сәулеленудің спектрлік тығыздығы жиілікке ғана емес, температураға да тәуелді болу керек. Онда ол тығыздық, температурасы болатын затпен тепе-теңдікте орналасқан сәулеленудің тығыздығы болады. Басқаша айтқанда, - қара сәулеленудің спектрлік тығыздығы болады. Қара сәулеленудің қасиеттері тепе-теңдікте тұрған заттың қасиеттеріне тәуелсіз болады, сондықтан бұл мәселенің жалпы маңызы болуы керек. Жоғары температуралар аймағында , онда . Осы жағдайды есепке ала отырып, (39.8) - ден мына теңдікті алуға болады
. (39.10)
Бұл теңдіктің нәтижесінде, (39.9) мына түрге келеді
. (39.11)
Енді қатынасты табу керек. Ол үшін, жоғары температуралар

аймағында (39.11) кванттық өрнек Рэлей-Джинстің классикалық өрнегіне көшетінін пайдалану керек (Бордың сәйкестік принципі орындалады). Бұл жағдайда қатарға жіктеледі

Рэлей – Джинс өрнегі бойынша

(39.13) және (39.14) өрнектерді салыстыра отырып

қатысты табамыз. (39.15) қатыстан бір коэффициент арқылы екінші коэффициентті табуға болады және тепе-теңдік сәулеленудің тығыздығын (Планк формуласын) аламыз

. (39.16)

Өздігінен болған ауысудың ықтималдығын анықтайтын коэффициентін тапсақ, (39.15) қатыстан коэффициентін табамыз. Есепті жеңілдету үшін, мысал ретінде гармониялық осцилляторды алып, Бордың сәйкестік принципін пайдаланамыз. Гармониялық осциллятордың классикалық теория бойынша алынған қарқындылығы (39.1) өрнекпен анықталады және бірөлшемді осцилляторды алайық. (39.2) өрнекті пайдаланып, үдеуді табамыз

,

сонда (39.1) мына түрге келеді:

Бұл өрнекті қорытуда - ның орта мәні мынаған тең екенін ескердік

,

мұндағы - тербеліс периоды. Осциллятордың толық энергиясы болатынын ескере отыра, жеке-жеке , энергияларды есептейміз

мұндағы - серпімділік күші.

. (39.19)

(39.18) және (39.19) өрнектердегі потенциалдық және кинетикалық энергияларды толық энергияға арналған өрнекке ауыстыра отырып, мына өрнекті табамыз

. (39.20)

(39.20) және (39.17) өрнектерді бір-бірімен амплитуда арқылы байланыстырып, осциллятордың уақыт бірлігіндегі сәулелену энергиясын табамыз

. (39.21)
Тоқтала кететін нәрсе: (39.20) өрнек бойынша, классикалық осциллятордың энергиясы үзіліссіз шама болса, кванттық осциллятордың энергиясы (17.12) өрнек бойынша үзікті болады. Кванттық теорияның көмегімен гармониялық осциллятордың сәулелену интенсивтігін (39.3) өрнек бойынша табамыз

. (39.22)

Классикалық (39.17) өрнекте қарқындылық амплитуда квадратына тура пропорционал, соған сәйкес өздігінен болған ауысудың коэффициенті сәулелену процесін сипаттайтын координатаның матрицалық элементтерінің квадратына тура пропорционал дейміз

, (39.23)

. (39.25)

(39.26)

(7.8) ортонормаланған шартты есепке алсақ, координатаның нөлден өзгеше матрицалық элементтерін табамыз

, . (39.27)

Сәулелену қарқындылығын табу үшін, жоғарыдан төмен бағытталған ауысуды қарастырамыз, сонда

, , ,

.

Осы өрнектерді пайдалана отырып, классикалық жуықтамада (39.21) және (39.22)-дегі қарқындылықтарды бір-біріне теңестіреміз (Бордың сәйкестік принципі орындалады)

,
немесе үшөлшемді жағдайда

. (39.28)
(39.15) қатысты пайдаланып, еріксіз ауысулардың ықтималдығын анықтайтын коэффициенттерді табамыз

. (39.29)

Сонымен, (39.22) теңдікті пайдалана отырып, дипольдік жуықтамадағы сәулелену қарқындылығын табамыз

(39.30)

Біз қарастырған сәулеленудің қарапайым кванттық теориясы таза кванттық емес, жартылай классикалық (квазикванттық) теория. Себебі, Эйнштейн коэффициенттерін қорытқанда, біз осциллятор тербелісінің классикалық теориясын және сәулеленудің классикалық теориясы – Рэлей – Джинс теориясын пайдаландық. Кванттық механиканың көмегімен сыртқы электрмагниттік толқынның, атомдағы электрондардың өзара әрекетінің нәтижесінде пайда болатын мәжбүр ауысуларды түсіндіруге болады. Электрмагниттік толқын классикалық болып саналады. Өздігінен болған ауысуда сыртқы электрмагниттік өріс болмайды, сондықтан ол ауысуды кванттық механика түсіндіре алмайды. Егер сыртқы әсер болмаса, кванттық механика бойынша қозған атом сол күйде қанша керек болса да тұра береді. Белгілі энергияға ие болған күй қалыпты болады, ал энергия қозғалыс интегралы болады. Ол басқа күйге өздігінен ауыса алмайды, бірақ тәжірибелер өздігінен болған ауысулардың бар екенін растайды. Центрлі – симметриялық өрістегі қозғалыста біз қозғалыстағы электронның электрмагниттік өріс тудыратынын есепке алған жоқпыз, шынында ол өріс электронның өзіне қарсы әрекет жасайды. Осы әрекетті жоғарыда өздігінен болатын ауысудың бар екенін постулат ретінде қарастырдық. 1927 жылға дейін атомдық жүйелер мен электрмагниттік өріс арасындағы өзара әрекет жартылай классикалық тұрғыдан қарастырылды, яғни атомдық жүйелер кванттық, ал электрмагниттік өріс классикалық түрде болды. Кванттық электрдинамикада өріс кванттық жүйе ретінде қарастырылады.