Басылым: екінші Силлабус
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
| Анықтама. Үлестірімдік заңы
Кестесімен анықталатын Х кездейсоқ шамасы үшін M(x)= Х1 P1+ Х2 P2+…+ хn pn+… (2) Саның оның математикалық үміті (орта мәні) деп атайды. Сонымен, анықтама бойынша сынақты көп рет қайталағанда Х кездейсоқ шамасының қабылдаған мәндерінің орташа мәні М(Х) саны маңында болады. Мысалы өткен параграфтағы соңғы мысалдағы кездейсоқ шама Х үшін: М(Х)=0*0,9889+1*0,01+100*0,001+1000*0,0001=0,21 теңге=21 тиын Сонымен М(Х)= 21 тиын 1 лоторея билетінің нақты құны. Сүйекті тастағандағы Х кездейсоқ шама үшін М(Х)=1*+2*+3*+4*+5*+6*=3,5 Математиканың үміт берілген кездейсоқ шаманы толық сипаттай алмайды. Әртүрлі кездейсоқ шамалардың математикалық үміті бірдей болуы мүмкін. Мысалы: Х және Ү кездейсоқ шамалардың үлестірімдік заңдары мынадай болсын
D(x)=0,0002
D(Y)=10000 M(X)=M(Y)=0 екені түсінікті. Бірақ бұл жерде Х математикалық үміттің маңында шоғырланған, ал Ү математикалық үміттен алшақ орналасқан. Осыған байланысты кездейсоқ шама мәндерінің оның математикалық үмітінен қаншалықты «шашыраңқы» орналасқандығын сипаттайтын санды сипаттамалар қарастырылады. Анықтама: Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп D(X)= M[(x-M(x))2] шамасын айтады. Жоғарыдағы мысалда: [x1-M(x)]2=[-0,01-0]2=0,0001, [x2-M(x)]2=0,0004 D(X)= 2/3 *0,0001+1/3*0,0004=0,0002, сол сияқты D(Y)=10000 Дәріс 14 Математикалық статистика §1 Кіріспе Математикалық статистика көптеген біртекті кездейсоқ құбылыстардың заңдылығын анықтауға,ең алдымен,ықтималдықтар теориясы тәсілдерін қолдана отырып,статистикалық мәліметтерді – сынақ (тәжірибе) нәтижелерін оқып уйренуге ,зерттеуге негізделген. Математикалық статистика алдына,негізінен екі мақсат қойлады.Бірінші мақсат:бақылау немесе арнайы қойылған тәжірибе (сынақ) көмегімен алынған статистикалық мәліметтерді жинақтау және топтастыру тәсілдерін көрсету.Екінші мақсат:зерттеу жұмыстарының көздеген мақсатына байланысты статистикалық мәліметтерді талдау ,өңдеу және қорытындылар жасау тәсілдерді көрсету. Осы таңда математикалық статистиканы анықталмағандақтар мен белгісіздер жағдайында шешімдер қабылдау жөніндегі ғылым деп санайды.Сонымен,математикалық статистиканың мақсаты- ғылыми және практикалық қорытындылар жасау үшін статистикалық мәліметтерді жинақтау және өңдеу тәсілдерін қалыптастыру болып табылады. §2 Басты және таңдалы жиынтықтары Айталық,қайсыбір біртекті объектілер жиынтығында қанда» да бір сапалық немесе сандық белгілеріне қарай зерттеулер жасау қажет болсы.Мысалы,белгілі бір зауыт өндірген тетіктерді тексеру қажет болса,онда сапалық белгі ретінде бұл тетіктердің стандартына сай келуін,сандық белгісі ретінде тетіктік өлшемдерін(ұзындығын,ауданы,көлемі,салмағы,сыйымдылығы т.б.) алуға болады.Кейде берілген объектілер жиынтығын түгел тексереді ,яғни жиынтықтың әрбәр элементінің бізге қажет белгілерін зерттейді.Дегенмен,іс жүзіндеосындай түгел тексеру тәсілі өте сирек қолданылады.Әсіресе,егер берілген объектілер жиынтығында өте көп элементтер бар болса ,онда әрбір элементті тексеріп шығу мүмкін емес іс-шараға айналады.Мысалы,завод шығарған барлық ламиогиялардың жұмыс істеу мерзімін анықтау кезінде барлық ламиогиялар жанып кетеді.Екінші мысал ретінде мемлекеттегі халыққа санау жүргізуді қарастырайын.Бұл санақ кезінде өте көп материалдық шығын жасауға тура келеді. Осындай жағдайларда бүіл жиынтықтан оның шектеулі бөлігін кездейсоқ таңдап алып,оы таңдар алынған бөлік элементтерін зерттейді. Зерттелген объектілер жиынтығын басты жиынтық (генеральная совокупность),ал басты жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынын таңдалым жиынтығы деп немесе жай ғана таңдалым (выбирка) деп атайды. Мысал 1 Ағаштағы барлық 200 алманы салмағына байланысты зерттейді.Ол үшін осы алмалардың ішінен оны алып соларды зерттейміз. Бұл мысалда басты жинақтағы элементтер саны 200 ,ал таңдалымдағы элементтер саны 10. Таңдалымға (басты жиынтыққа) енетін объектілер саны таңдалым (басты жиынтық) көлемі деп аталады. Айталық, басты жиынтықтан таңдалым алынсын.Таңдалым элементтері арасында бізге қажет көрсеткіштері бойынша өзара тең элементтер кездесуі мүмкін. Осындай элементтерді топтастырып, оларды өсу тәртібімен жазатын болсақ, онда x1, x 2, ... xk (1) түріндегі тізбені аламыз. Бұл тізбені таңдалым нұсқалығы (вариационный ряд) немесе жай ғана нұсқалық деп атайды. Мысал 2 груннадағы 25 студенттің бір семестр бойы босатқан сабақтарының саны мынадай болды. 2,5,0,1,6,3,0,4,5,4,0,3,3,2,1,4,0,0,2,3,6,0,3,0,1 (2) Бұл жерде таңдалым нұсқалық 7 әртүрлі сандардан тұрады: 0,1,2,3,4,5,6 (3) (1) тізбедегі х1 элемент n1 рет, x2 n2 рет және т.с.с. xk nk рет байлалатын болсын (кездесетін) болсын. Сонда n1+n2…+nk=n таңдалым көлемі болды. Ni санын xi элементінің жиілігі деп, ал санын оның салыстырмалы жиілігі деп атайды. (i=1,2…,k) Төмендегі кестені
Жиіліктік нұсқалық (статистикалық) қатары деп, ал (статистическое распределение гастот)
Кестесін салыстырмалы жиіліктің нұсқалық қатары деп атайды. (статистическое распределение отнынтельных частот) Оху жазығында (x1,n1), (x2,n2), …, (xk,nk) нүктелерін белгіліп, оларды түзу кесінділермен тізбектеп қосқаннан шығатын фигураны жиілік колигоны (алқабы) деп атайды. Ал (x1, ), (x2, ), …,(xn, ) нүктелерін сынық сызықты салыстырмалы жиілік колигоны деп атайды. Мысал 3 Мынадай салыстырмалы жиіліктің нұсқалық қатары берілген болсын.
0,4 жиілік колигоны)бойынша басты жиынтық, 0,3 шамамен қандай заңдылықпен 0,2 үлестірілгендігі жөніндегі алғашқы 0,1 мәліметтерді алуға болады 1 2 3 4 5 хi 2 Гистограмма Кездейсоқ шамалардың біз екі түрі болатынын білеміз:дисиретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар. Егер дисиретті кездейсоқ шамалар тек қана «оқшауланған» мәндер қабылдайтын болса, онда үздіксіз кездейсоқ шамалар белгілі бір сан аралығының кез келген мәнін қабылдауы мүмкін. Мұндай жағдайларда берілген аралықты ұзындығы b1- на тең бірнеше дербес аралықтарға бөліп, i-ші аралыққы тиісті таңдалым элементтерінің саны ni-ді жиілік ретінде алады. Мәселен, таңдалым элементтері [a,b] аралығында жатса, онда xi-xi-1=b болатындай етіп, a=xo
Салыстырмалы жиіліктің де нұсқалық қатары осы силиты жазылады. Жиілік гистограммасы деп, табаны h-ка тең, ал биіктігі - на тең тік төртбұрыштардан құралған фигураны айтады. Ал, салыстырмалы жиілік гистограммасы деп табаны h- ка, ал биіктігі - на тең тік төртбұрыштан құралған фигураны айтады. Мысал 1 Көлемі n=100 болатын үздіксіз үлестірімділік мына кестемен берілген болсын. Оның гистограммасын сыз.
7 6 5 4 24 3 36 2 16 1 6 10 4 4 5 10 15 20 25 30 35 40 §3 Үлестірімділік параметрлерінің статистикалық бағалары. Айталық, қайсібір теориялық негіздеме бойынша басты жиынтықтың үлестірімділік заңдылығының түрі белгілі болсын делік. Онда бұл заңдылықты толық анықтай үшін оның белгісіз параметрлерінің мәндерін табу қажет болады. Әдетте, іс жүзінде, жиі кездесетін белгілі үлестірімділік заңдылықтарының белгісіз параметрлері кездейсоқ шаманың математикалық үміті, дисперсиясы, орташа квадраттың ауытқуы арқылы анықталады. Олай болса, берілген таңдалым бойынша белгісіз математикалық үмітті, дисперсияны, орташа квадраттың ауытқуды бағалау қажеттігі туындайды. Әдетте, белгісіз параметрлердің екі түрі статистикалық бағалау тәсілдері қарастырылады: дәл бағалар, яғни белгісіз параметрді таңдалым бойынша жуық мәнімен алмастыру; сенімділік бағалар, яғни алдын ала берілген ықтималдық бойынша белгісіз параметрдің жататын ааралығын көрсету. Біз мұнда таңдалым бойынша белгісіз параметрлердің дәл бағаларын анықтау тәсілдеріне ғана тоқталамыз. Айталық, таңдалым салыстырмалы жиілігінің нұсқалық кестесі берілсін.
Мұнда ++…+=n Онда =(x1n1+x2n2+…+xknk) (2) Өрнегін таңдамалы орта деп атайды және оны Х кездейсоқ шамасының белгісіз математикалық үмітінің (M(x)-тің) бағасы (жуық мәні) ретінде қабылдайды. Ал =[(x1-)2n1+(x2-)2nk] (3) өрнегін таңдамалық дисперсия деп атайды. Мысал 1 Таңдалым мынадай жиілігінің нұсқалық кестесімен берілсін.
Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті мен дисперсиясын бағала. Біз алдымен таңдамалы орта пен таңдамалы дисперсия ны табамыз да M(x)= және D(x)=D ден есептейміз. ===2 = = = 1 Сонымен, М(х) D (х) жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|