§1.Теңдеулер жүйелерінің үйлесімділігі. Кронекер-Капелли теоремасы.
Сызықты теңдеулер жүйесі ең жалпы түрде мынадай болады:
а11х1+а12х2+...+а1nхn=в1,
а21х1+а22х2+...+а2nхn=в2, (1)
...................................
аm1х1+аm2х2+...+аmnхn=вm Анықтама 1. Егер (1) жүйенің ең болмағанда бір шешуі бар болса, онда мұндай жүйені үйлесімді жүйе дейді. Ал егер (1) жүйенің шешуі жоқ болса, онда бұл жүйені үйлесімсіз жүйе дейді.
Мысал 1. 3х1+2х2=3
2x1+4x2=2 - үйлесімді жүйе, мұның тек бір ғана шешуі бар.
Мысал 2. х1+2х2=1
2x1+4x2=2 - үйлесімді жүйе, мұның шешуінің саны шексіз көп.
Мысал 3. х1+2x2=1
2x1+4x2=3 - үйлесімсіз жүйе, себебі бұл жүйенің шешуі жоқ.
(1) жүйеге байланысты мынадай екі матрицаны қарастырайық:
а11а12...а1nа11а12...а1nв1 A= а21а22...а2nжәне Ā= а21а22...а2nв2 ................ ..................
аm1аm2...amnаm1am2...amnвm А матрицасы (1) жүйенің негізгі матрицасы дейді, ал Ā матрицасын А матрицасының кеңейтілген матрицасы дейді.
Кронекер-Капелли теоремасы. (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін, оның негізгі матрицасының рангісі, кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни r(A)=r(Ā).
