Білім беру бағдарламасының атауы мен шифры Mat 201 Математика Оқу жылы / семестр 2020- 2021/ Курс

а = OA, b = OB, c = OC векторларына салынған параллелепипедтің көлемін V арқылы белгілейік. Сонда V = S*h. Мұндағы S a және b векторларына салынған параллелограмның ауданы, ал h=|OD|-параллепипедтің биіктігі. a*b = d деп белгілейік. Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы бойынша;

1) |d| = S;

2) d векторы а және b векторлары жүргізілген жазықтығына перпендикуляр;

3) a, b, d векторлар үштігі оң жақты болады. Бұдан с және d векторлары жазықтығының бір жағында оорналасқандығы шығады, демек OCD үшбұрышынан

h = |c|*cosµ (1)

Енді d және с векторларының скаляр көбейтіндісін қарастырайық. Сонда ол бір жағынан

d*c = (a*b)*c (2)

болса, ал екінші жағынан, |d| = S теңдігі мен формуланы пайдалансақ,онда

d*c = |d|*|c|*cosµ = S*h = V (3)

болады, (2) және (3) формулалардың оң жақтарын теңестірсек, (a*b)*c = V болады.

Енді a, b, c векторлар үштігі сол жақты деп санайық. Сонда a*b = d және с векторлары α жазықтығының әртүрлі жағында жатады, демек, (c^, d) = µ > /2, яғни, соsµ < 0. OCD үшбұрышынан мына теңдік шығады:

h = |c|*cosµ = |c|*cos( - µ) = -|c|*cosµ (4)

Егер |d| = S және (4) формулаларын ескерсек, онда

d*c = |d|*|c|*cosµ = S*(-h) = -S*h = -V (5)

Ал,егер a,b,c векторлар үштігі сол жақты болса, онда (2) және (5) формулалардан мына формуланы шығарып аламыз: (a*b)*c = -V. Сонымен, кез келген компланар емес a, b, c векторлар үштігі үшін V = |(a*b)c| формуласын аламыз.