Тақырыбы Жазықтықтағы түзудің әр түрлі теңдеулері

Аффиндік және тікбұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі түзудің әртүрлі теңдеулері. Екі түзудің өзара орналасуы. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Жартыжазықтықтар. Түзулер шоғ

А(х₁, у₁) және В(х₂, у₂) нүктелері берілсін. АВ кесіндісін АМ:МВ =  қатынасына бөлетін М(х, у) нүктесінің координаталары

формулаларымен анықталады.

Жеке жағдайжа, М(х, у) нүктесі АВ кесіндісін қақ екіге бөлсе, онда  =1 болады. Демек,

Егер А(х₁, у₁), В(х₂, у₂) және С(х₃, у₃) нүктелері берілген үшбұрыш төбелерінің координаталары болса, онда үшбұрыш ауданы мына формула бойынша анықталады:

Координаталар осьтерін өзіне-өзін параллель жылжытқанда декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін түрлендіру

формулалары арқылы жүзеге асырылады. Мұндағы х, у – кез келген М нүктесінің ескі координаталары, ал х және у сол нүктенің жаңа координаталары. a, b ескі координаталар жүйесіндегі жаңа бас нүктенің координаталары.

Декарттық тікбұрышты координаталарды  бұрышына бұрғанда түрлендіру мына формуламен анықталады:

.

Мұндағы х, у М нүктесінің бұрынғы (ескі) координаталар жүйесіндегі координаталары болса, ал х, у сол нүктенің жаңа координаталар жүйесіндегі мәні.

формулалары координаталар жүйесін Ох бағытында а-ға, ал Оу бағытында b-ға жылжытып  бұрышына бұрғандағы түрлендіруді анықтайды.

х пен у айнымалылары қанағаттандыратын теңдеу сызық теңдеуі деп аталады. Сызық теңдеуіне енген х пен у айнымалылары ағымдық координаталар деп аталады, ал әріптік тұрақтылар – параметрлер. Мысалы, х² + у² = R² – шеңбер теңдеуіндегі х пен у ағымдық координаталар, ал R – параметр.

Бізге бірдей қасиетке ие нүктелердің геометриялық орыны ретінде анықталатын сызық теңдеуін құру үшін мыналар қажет болады:

1) Сызық үстіндегі кез келген М(х, у) нүктесін аламыз;

2) Сызықтың М(х, у) нүктесінің барлық жалпы қасиеттерін теңдік арқылы жазамыз;

әдетте деп белгіленеді.

Түзу сызықтың бұрыштық коэффициенті арқылы берілген теңдеуі

болады.

Егер түзу сызыќта О нүкте белгілеп алынған болса, оны бағытталған және ұзындыќ бірлігі таңдап алынған болса, түзу сызыќта координаталар системасы берілген деп аталады. О нүкте координата төбесі. Түзу сызыќ координаталар өсі деп аталады. Осдегі бағытталған кесіннің алгебралыќ шамасы бұл кесінді координаталар аќыры мен басын координаталар арасындағы айырмаға тең болады.

яғни екі нүкте арасындағы ќашыќтыќ бұл нүктелер айырмасының абсалют мәніне тең .

Бір –біріне перпендикуляр болған екі түзу жазыќтыќты төрт ширекке бөледі. ОХ-абцисса осі, ОУ-ординатта осі

Бұл ширектерді квадраттар деп те атайды:

Бірінші ширекте жатќан нүктенің абциссасы, ординаттасы оң;

Екінші ширекте жатќан нүктенің абциссасы теріс, ординаттасы оң;

Үшінші ширектегі нүктенің абциссасы, ординаттасы теріс;

Төртінші ширектегі нүктенің абциссасы оң, ординаттасы теріс болады.

Егер нүкте абциссалар өсінде жатса, оның ординатасы нол болады, егер ординаталар өсінде жатса, оның абциссасы нол болады.

Біз танысќан координаталар системасы тікбұрышты координаталар системасы немесе Декарт системасы деп аталады. Декарт координаталар системасында А(х_1,у₁),В(х_2,у₂) нүктелер берілген болсын, бұл нүктелер арасындағы d=AВ араќашыќтығын табамыз.
у В

А R

о С Д

ОС = Х₁ СА=У₁

ОД =Х₂ ДВ =У₂

А- нүктеде ОХ -өсіне параллель түзу жүргіземіз R-нүктені табамыз. Тік бұрышты АВR үшбұрышынан Пифагор теоремасынан

Бұл формула екі нүкте арақашықтығын табу формуласы деп аталады.

формуласы арқылы анықталады. Өзінің жалпы теңдеуі арқылы берілген

түзулері үшін жоғарыдағы формула былай жызылады:

Екі түзудің параллельдік шарты: k₁ = k₂ немесе теңдіктері арқылы анықталады.

Екі түзудің перпендикулярлық шарты: немесе А₁А₂ + В₁В₂ = 0 теңдектері арқылы анықталады.

А(х₁, у₁) нүктесі арқылы өтетін шоқ түзулер теңдеуі

формуласы арқылы беріледі.

Берілген екі А(х₁, у₁) және В(х₂, у₂) нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуі:

.

формуласы арқылы беріледі.

және түзулерінің арасындағы бұрыштың биссектрисасының теңдеуі

арқылы табылады.

Берілген екі түзудің қиылысу нүктесі арқылы өтетін шоқ түзулер теңдеуі

арқылы беріледі.