Білім және ғылым министрлігі а.Қ. Ахметов

Кезінде  электронный,  то л қы н д ы қ  қасиеті  бар  деп,  айтқан  де 

Бройльдің батыл болжамы,  сол кездегі физиктер арасында қолдау тап- 

паған  еді.  Себебі,  физиктер  арасында  электрон  кіш кене  зарядталған 

ш арик деген ұғым кең орын алып қалды да, де Бройльдің идеясы (Бор 

постулаталарының түсініктері болса да) ш ы нды қ емес, ойдан шығарған 

қиял  секілді болып кѳрінді.

Н икель монокристалынан электрондардьщ шашырауы ж ѳніндегі 

К . Девиссон жэне Л.Джермердің тэжірибелерінде (1927) де Бройльдің 

өрнегінің дүрыстығы дәлелденді.

Сол тәжірибенің сызбасы 44.1-суретінде көрсетілген. Жермен жал- 

ғастырылған никель кристалына бағытталған электрондық зеңбіректен 

үш ы п  ш ы ққа н   электрондар  одан  шағылады.  Зеңбіректің  қүры лы сы  

одан  ұш ы п  ш ы ғаты н  электрондарға  белгілі  ж ы лдам ды қ  беруге 

бейімделген.  М онокристаддан  шашыраған  электрондарды  үстайтын 

қабылдағыш — Фарадей цилиндрі.  Ол шашырайтын және түсетін элек­

трондар ш оғы өтетін ж азы қты қпен қозғалады.  Қабылдағыш әр түрлі 

бұрыш пен  шашыраған  электрондарды  белгілей  алады.  Фарадей  ц и- 

линдріне түскен электрондар саны цилиндрдің электр тізбегінде  (ц и - 

линдрге гальванометр жер арқылы қосылған, суретте ол көрсетілмеген) 

пайда болған токты ң шамасы арқьшы тіркелген.

44.2-суретге электрондар 

Q

  =  б50  бүрышпен никель кристалл то- 

рында шашырайтын тәжірибе  бейнеленген.  44.3-суретте  шашыраған

§ 44.  Электрондардьщ, нейтрондардың дифракциясы

Электронды қ  

зе ң б ір е к

Николь

кристалы

44.1

270

эле ктр он д а р   са н ы н ьщ   олардын,  к и н е т и к а л ы қ   э н е р ги я с ы н а н  

тәуедцілігінің жағдайы көрсетілген. Электрондар саныньщ өлшемі ретінде 

қабылдағыштағы  /   то к к ү ш і алынған.  Классикалы қ көзқарас тұрғы - 

сынан  күтілм еген  жағдай,  энергияньщ   м әні  54  эВ  болғанда,  элек- 

трондарды ң  ш ағы луы   м акси м ум   болады.  Т ә ж ір и б е ле рд ің   қ о - 

рытындьшарынан никель монокристалынан электрондардьщ шашырауы 

рентген сәулелердің осындай кристалдан шағылуына үқсас.

44.2 

44.3

Біз бүдан бүрын рентген сәулелерінің шағылуы тек Вульф -Брэгг 

шартын қанағатгандыратын белгілі бір толқы н үзындығында өтетінін 

кө рд ік

nA  =  2 J s in  

Ө

  . 

(44.1)

44.4-суретінде элекгрондардың шашырау интенсивтілігінің макси­

мумы,  олардың белгілі бір кинетикалы қ энергиясының мәніне сәйкес 

келетіні ж өніндегі Дэвиссон және Джермер тәжірибелерінде альшғаны 

нәтижелер бойынша көрсетілген.

Ш ағы лу байқалатын кездегі электронньщ  энергиясының санды қ 

анықталуы, электронный, шашырауы кезінде оның толқы н үзындығы- 

на, толқы ңды қ қасиетіне жэне электронньщ қозғалысына байланысты, 

оны ң кинетикалы қ энергиясына сэйкес анықталады.  (43.4) өрнегінен

о

А<р 

= 54  В

 болганда 

Х  = 

А

  болады.  Вульф -  Бэргг өрнегі бойы н- 

шді  п = \

  болғанда (44.2-суретті қара) мынаны аламыз

Я  =   2 -0,91 sin  65°  = 1 ,6 5  

À

,

Бүл сәйкестік электрон энергиясының басқа да мәндерінде және 

шашырау бүрыштарында байқалады.  (43.Г) және (44.1) арқылы аны қ- 

талатын  толқы н  ұзы нды қтары   арасындағы  алш ақты қ  қозғалыстағы 

электрондарға сәйкесті толқындар кристалл шекарасында сынуымен 

түсіндіріледі.  Бүл қүбы лы сты ң болатындығын еске алатын есептеулер 

де Бройль өрнегінің тәжірибе қорытындыларымен толық сәйкес келеті- 

н ін  дәлелдеді.

271

І У Ѵ

40

 

5« 

SS 

% 39

20 

25

44.4

К ө п  үзамай-ақ Дэвиссон жэне Джермер тәжірибелеріндегі элект- 

рондардың толқы нды қ қасиеттері П.С . Тартаковскийдің жэне Г. Том- 

сонны ң тәжірибелік зерттеулерінде де аны қ байқалады.

Тәжірибе былай ж үр гізіл д і (44.5-сурет).  Потенциалдар айырымы 

бірнеше  ондаған  киловольт  болатын  электр  өрісінде  үдетілген  элек­

трондар ш оғы өте ж ү қа  (қалы нды ғы   10'5см болатын) фольгадан өтіп, 

фотопластинкаға келіп түсті.  Фотопластинкаға соғылған электронньщ 

әсері оған фотон соғылғандай болып эсер қалдырады.

Фольга

Фотопластинка

Электронды қ 

ш о қ

令

44.5

44.6-суретте ал электрондар ш оғы ның аятын жэне мыс пластинка- 

ларды  тесіп  өткендегі  диф ракциялы қ  суреті  келтірілген.  Осындай 

фотосуреттің көмегімен Г. Томсон де Бройль өрнегін (43.1) жөне (44.1) 

теңдеушщ мәнімен электрон ш оғы  өткен металдың кристалдық торы- 

ны ң периодын анықтады.

1949  жьшы  М о скв а д а   J I.M .  Б и б е р м а н ,  Н .Т .  С у ш к и н   ж ә н е  

В.А.  Ф арикант тәжірибе жасап, әрбір жеке электрондарға да то л қы н - 

д ы қ қасиет тән екенін дәлелдеді (44.7-сурет).

1

Г

—

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

г

І

л

,

I

J

I

U

l

l

ca

s

o

H

 

の

1Н

И

Г

ІЧ

Н

ІЧ

Ю

т

 

н

о

с

ш

әі

/

с

о

272

44.7

Қ а зір гі таңца заттардың қүрам ы н зерттеу үш ін  рентген құрьш ы м - 

д ы қ талдау әдісімен қатар электронографиялық әдісте кеңінен қолда- 

нылады.  Бүл әдіс заттың атомдарының ара қаш ы қты ғы  электронмен 

байланысты толқын ұзындығына тең болған жағдайда, байқалатын элек­

тронный, дифракциялану қүбылысына негізделген.

Бөлшектердің  белгілі  бөлігі  болып  табылатын  электрон  ү ш ін   де 

Бройль өрнегінде ешқаңдай оған тән ерекшелік ж о қ.  Массасы 

т

 және 

жылдамдығыі)  болатын кез келген бөлшекгер үш ін  толқы нды қ қасиет 

байқалады.  1929  жылы  О.  Ш терн  мен  оны ң  қызметкерлері  атомдар 

мен молекулалар шоғына де Бройль ѳрнегін (43.1) қолдануға болатын- 

дығын ашты. Бѳлшектер шоғының жылдамдьіғы температура Т  болғанда 

молекуланың  ең  ықтимал жьтдам ды ғы на 

иық  -   ■JlRT

 /  

/и

  (мұндағы 

R

  -универсал  газ  түрақты сы , 

ß

  молярлы қ  масса)  тең  деп  алып,  ал 

массаның 

т  = / и / N A

  ( 

N A

 -Авагадро  саны)  екендігін  ескеріп,  (43.1) 

ѳрнегін мына түрде қайтадан жазуға болады

18-27

273

~ W W '

 

(44.2)

Температура  Т=360  К   болганда  сутегі  ү ш ін  

д   = 

2кгІкм о л ь

о 

. 

о

Я  = 1 ,3 А   жэне  гелии  үш ін  

ju  = Акг/кмолъ

  Я  =  0,9 А   болатындыгы

есептелінді.

Де  Бройль өрнегінің дүрыстығына еш күмәнсіз кѳзж еткізу,  кр и с­

талдардан бейтарап бѳлшектер — нейтрондардың дифракциясы байқа- 

лы п,  оны ң да толқы нды қ қасиеті анықталғаннан ке й ін  толы қ м үм кін  

болды. Тәжірибе көрсеткендей, нейтрондардың қатты дене кристалда- 

ры нан  шағьшуы  жэне  олардьщ  заттарда  шашырауы  Вульф  -  Брэгг 

ѳрнегіне (44.1) сәйкесті өтеді.  М үнда 

又

-толқы н ұзындығы,  қозғалыс- 

тағы нейтронмен байланысты және де Бройяь өрнегін қанағаггандырады.

Көптеген жагдайда, заттың қүрылысьш зерттеуде рентген сәулелерін 

немесе электрондардьщ көм егін пайдаланудан гөрі нейтрондарды пай­

далану тиім д і болып ш ы қты .  Бұл әдісті нейтронография деп атайды.

Мәселе  мынада,  нейтрондардың электр  заряды ж о қ,  сонды қтан 

олар электрондармен, ядромен ешқандай электрлік өзара әсерлеспейді, 

олай болса, нейтрондармен ж үм ы с істеу өте тиім ді.  Рентген сәулелері 

атомдық электрондардан шашыраса, ал затқа түскен электрондар шоғы 

атомдық электрондармен, сол сияқты  ядролармен әсерлеседі.  С онды к­

тан жеңіл атомдардан түратын затгың қүры лы мы н зерттеу үш ін  рент­

ген  сәулелері  жэне  электрондар  онша  тиім д і  емес.  Демек,  қүрам ы  

сутегіден түратын затгардағы (мысалы, органикалық кристалл) рентген 

сәулелері мен электрондардьщ диф ракциясы сутегі атомыньщ түрған 

орны н  дәл  анықтауға  м ү м кін д ік  бермейді,  себебі  олардан  рентген 

сәулелері мен электрондар өте нашар шашырайды.

К ерісінш е, нейтрондар ядролы қ күш тердің көмегімен сутегі ато­

мыньщ  ядросымен өзара әсерлесулері өте кү ш ті болады (себебі нейт­

рондар мен сутегі ядросыньщ м агниттік моментгері бар).  Бүл нейтрон- 

дардың сутегі атомынан күш ті шашырауына әкеліп соғады және нейт- 

рондардың дифракциясы қүрам ы  сутегіден түратын заттың қүрьш ы - 

мын зерттеуге м ү м кін д ік береді.

Бүл параграфта айтылған мәселелерден шығатын қорытынды, ты - 

н ы ш ты қ  массалары  бар  қозғалы стағы   бөлш ектердің  то л қы н д ы қ 

қасиеттері, сол қозғалыстағы бөлшектердің қандай да бір өзгеш ілігіне 

байланыссыз, универсал қүбы лы с болып табылады.  М үнда неге,  м ак- 

роскопиялы қ денелердің,  мысалы,  үш қа н  оқты ң  толқы нд ы қ қасиеті 

білінбейді деген сүраудың тууы, заңды мәселе.  Бүл сүрақты ң жауабын

っ

  _  

2 n fiN A

274

де Бройль өрнегінің ерекш елігінен жэне  П ланк түрақты сы  кездесетін 

барлық квантты қ ф изиканьщ  ѳрнектерінен іздеу керек. Егер біз квант­

ты к физиканьщ  ѳрнектерінде 

h

 = 6,62 •10  34 

Д ж

. 

с

  түрақтысын еске 

алып отырсақ, онда әрқашанда классикалық емес қорытывдыға келеміз. 

Керісінш е,  егер ѳрнекте  /

フ

—0  деп есептесек,  онда квантты қ ф изика­

ньщ қорытындысы классикалық физикамен сэйкес келеді. Демек, мас­

сасы атом жэне молекула массасымен салыстырғанда,  ѳлшеусіз үлкен 

м акроскопиялы қ дене үш ін  

Һ ->0

 деп есептеуге болады, ендеше ондай 

дененің то лқы н д ы қ қасиеті байқалмайды  (Я 

О)  Мысалы,  массасы 

m = 10~3кг

  жылдамдығы 

ѵ

  = Ю 2 

м /с

 о қ үш ін

Я -  —

= 

6 ,62-10

 

^  = 

6 6 2   ю -ззм  

mv 

10  -10"

М ұнд ай  то л қы н   үзы н д ы ғы н ,  еш қандай  д иф р а кц иялы қ  тә- 

жірибелермен бақылау м үм кін  емес.  С онды қтан практикада,  м акро- 

скопиялық денелердің ешқавдай толқындық қасиеіін байқай алмаймыз.

§45. Де Бройль толқынының қасиеттері

Е р кін   электронньщ  қозғалысын  қарастырайық.  Оған де  Бройль 

ѳрнегі бойынша Я  толқы н үзындығы тән

2пҺ 

2п%

A

  = -------- --- -----------

mv 

p

Қы сқаш а оны электрондық толқьш деп атаймыз.  Мәселені ѳроітуге 

ыңғайлы  болу ү ш ін  

た

(

た

= 2

冗

/

又

) толқы нд ы қ векторды  енгіземіз де, 

де Бройль тендеуін бьшай ѳрнектейміз

р  = Һ к  .

 

(45.1)

Ж ары қтың дисперсиясын ѳткенде, біз, бір-бірім ен байланыста бо­

латын 

Ѵф^

  -фазалық жэне 

и

 -топты қ жылдамдықтар болатынын кѳрдік.

Кез келген толқы н ү ш ін  

\

  үзындығымен қатар  v  ж и іл ігі қарас- 

тырылады.  Олардың арасындағы қатынас мына ѳрнекпен сипатталады

^ = Ѵфаз/Ѵ ,

мұндағы 

Ѵфаз

  -таралатын толқы нны ң фазалық жылдамдығы. Фазалық 

ж әне  т о п т ы қ   ж ы лдам ды қтарды   есептеуде 

?

і

  =  2 п Һ / р

  ө р н е гі 

ж еткіліксіз.  М үнан басқа, 

W  = I n t iV   = Һсо

  электронньщ  т ү й ір ш іктік

275

сипатын білдіретін өрнегін және оның толы қ энергиясы мен электрон­

д ы к толқы нны ң  

v 

ж и іл ігі  арасындағы  байланысты  пайдалану керек. 

Де Бройль толқы нны ң фазалық жылдамдығын біз төмендегідей өрнек- 

пен анықтаймыз

со

Бүл  теңдеудің  оң  жағындағы  бөлш ектің  алымын  да,  бөлім ін  де 

fi

 

(сызы қш алы  аш )-қа   көбейтіп  (45.1),  (43.1)  және  (43.2)  өрнектерін 

пайдаланып,  фазалық жылдамдықты былай жазамыз

Һ(0 

W 

т с 2 

с 2 

с 2

 

つ

ѵ фаэ

 

=  —

= 7 Г Г Т т Я  

(45.2)

пк 

p 

m v  

v  

2 п п

М үнда 

с >  V

 -дан болғандықтан, де Бройль толқы ньш ы ң фазалық 

жылдамдығы  вакуумдегі ж ары қ жылдамдығынан  көп.  Т о пты қ жы л- 

дамды ққа қарағанда, толқы нны ң фазалық жылдамдағы с-дан (жары қ 

жылдамдығынан) не аз, не кө п  болатыны белгілі.

Электронды қ  толқыидар  (жалпы де  Бройль  толқындары)  кү ш ті 

дисперсияға үшырауы м үм кін .  О сының себебінен де  Бройль толқы - 

ны ны ң 

Ѵф^

  фазалық жылдамдығы толқы нны ң ұзындығынан 

Ѵф^

  ~ Я 

тәуелді болады.

45.1-кесте

Т ү й ір ш ікт ік

қасиет

Толқы нды қ қасиет

Жылдамдық

V

Импульс 

р 

= 

mv

Энергия 

W  = т с 2

Де Бройль толқы ны ны ң үзындығы 

^ 

1 

2 п һ  

mv 

р  

Де Бройль толқы ны ны ң ж и іл ігі

1 

1

?

v  

= ------- 

W 

= -------

тс

2 п һ  

2 п һ

Де Бройль толқы ны ны ң то п ты қ жылдамдығы

U —V

Де Бройль толқы ны ны ң фазалық жылдамдығы

〜 ニ

Де Бройль толқы нны ң то пты к жылдамдығын мынадай ѳрнекпен 

анықтаңды

dù)  — d (hco)  _   dW

Е р кін  бөлшек ү ш ін

W  = с^] p 2

  + 

с 2

жэне

dW  

ср

 

一

 

с 2p

  — 

c 2m v

  _

dP 

」

p 2  + m 2

0c 2

 

^  

服

2

Демек, де Бройль толқы нны ң жылдамдығы бөлш екгің жылдамды- 

ғына тең

dco 

и

  =  ——- =  

V

  • 

(45.4) 

dk

Массасы 

т

 жылдамдығы 

ѵ

  болатьш еркін бөлшектердің түй ір ш ікгік 

және толқы нды қ қасиеттерінің арасындағы байланысты 45.1-кестесінде 

келтірілген.

§46. Толқындық функция

Біз осыған дейін қозғалыстағы бөлшектердің толқы нд ы қ табиға- 

тының ф изикалық мағынасына тоқтаған ж о қ едік.  Тек қана де Бройль 

толқы ны   электром агниттік емес  дедік.  Ш ы н   мәнінде,  кең істікте  та­

райтын элекгром агниттік толқындар осы кеңістіктегі таралатын айны­

малы электром агниттік өріспен байланысты. Ал, де Бройль толқы ны - 

ның таралуы кеңістікте таралатын ешқандай электром агнигйк өріспен 

байланыссыз. Тәжірибе қорытындыларына қарағанда, бірқалыпты түзу 

сы зықты қозғалатын зарядты  бөлшектердің  -  электронньщ ,  протон- 

ны ң,  иондарды ң,  сол  си я қты   д ипольд ы қ  және  м ультипольды қ 

моменттері  бар  бейтарап  молекул ал ардың  де  Бройль  толқындары 

электромагниттік емес екен (айнымалы электромагниттік ѳрісті айны­

малы электр жэне м агнит ѳрістері тудырады.  Біз қарастырып отырған 

жағдайда,  мысалы,  электрон бірқалы пты  түзу сы зы қпен қозғалады). 

Демек, қозғалатын бөлшектермен байланысты де Бройль толқындары- 

IIы ң табиғаты квантгы қ болып табылады.

277

Де  Бройль  толқы ндары ны ң  ф изикалы қ  табиғатын  түсінуге  жа- 

ры қты ң т ү й ір ш іктік және толқы нды қ қасиеттерінің арасындагы өзара 

қатысты біз 34-шы параграфта қарастырғанбыз. Зат бөлшектерімен бай­

ланысты толқындардың табиғаты туралы мәселені, осы толқындардың 

амплиіудаларының физикалық мағынасы туралы мәселемен байланыс- 

тыруға болады. A  амплитудасының орнына, оның интенсивтілігін, яғни 

оған  пропорционал  амплитуда  м одулінің  квадратын  — 1А21-ты  қа - 

растырған ыңғайлы.

4 4-ш і  параграфтағы  электрондардьщ  диф ракциясы  ж ө нінд е гі 

тәжірибелер,  шағьшу жэне  шашырау кезінде  электрондар  ш оғы ны ң 

орналасуы, әр түрлі бағыттарда бірдей болмайтынын, яғни бір бағытта 

электрондар саны кө п , екінш іде аз болатынын көрсетеді. Т олқы нды қ 

түрғьщ ан алғанда электрондар саны кө п  болатын багытқа, де Бройль 

толқындарының да кө п  интенсивтілігі сәйкес келеді.  Басқаша айтқан- 

да, ке ң істіктің  бір нүктесіндегі толқы нны ң интенсивтілігі осы нүктеге 

бір секунд уақы т іш інде келіп түскен электрондар санымен анықтшш- 

ды. Демек,  бүл де Бройль толқындары н статистикалы қ, ы қтим алды қ 

деп түсіндіруге негіз болады.  Берілген  нүктедегі де Бройль толқында- 

рының  амплитудаларының  модульдерінің  квадраты  осы  нүктеде 

бөлшектердің табылу ықтималдығының өлшемі^олады.

Бөлш ектің  ке ң іс тіктің   белгілі  бір  аймағында,  белгілі  бір  уақы т 

кезеңінде  табылу  ы қтим алды ғы ны ң  орналасуын  сипаттау  үш ін   тол- 

қындық  функция  деп  аталатын 

( x ,y ,z ,t)

  ф ункциясы н  енгіземіз. 

К ѳбіне оны пси-функция деп атайды.  Ол ф ункцияны  бьшай аны қтай- 

мыз.  Б өлш ектің  кө л е м ін ің  

d V

 элементінде  болу  ы қтим алды ғы  

dw

 l 'F  |2 -қа  жэне 

dV

 көлем інің элементіне пропорционал

dw =\

 T   I2 

d V

  =| ?   I2 

dxdydz.

 

(46.1)

'F   ф ункциясы ньщ   ф изикалы қ  мағынасы  бүл  ф ункцияны ң  өзі 

емес,  оның  м одулінің  квадраты:  | 4 х  |2=  Т  ■ 'Ғ * ,  мүндағы 

_  xj/  - 

мен  түйіндес  ф ункция.  | 

|2  шамасының  мағынасы 

p w

  тығыздық 

ықтималдығы

ル

げ

丨

2 , 

(46 .2)

былайша айтқанда бүл ке ң іс тіктің  берілген нүктесінде,  бөлш ектің та-

278

былу ықтималдығын анықтайды. Демек,  l 'F   |2  шамасы де Бройль тол- 

қы н ы н ы ң  интенсивтілігін аныктайды.  Толқы нды қ ф ункция аны қта- 

масынан ол ықтималдьщты мөлшерлеу шартын қанағаттандыру керек

J  J  /|  ^ І 2 

dxdydz =

1, 

(46.3)

一

 

ОО 

一

 

оо — оо

мүнда үш  еселі интеграл барлық шексіз ке ң істік бойынша есептелінеді, 

я ғн и  x

，

y,z координаталары -оо тен оо-ке дейін.

толқы ңцы қ функциясы миіфообъектілердің (элементар бөлшек- 

тер,  атомдар,  молекулалардың)  н е гізгі  к ү й ін   сипаттайды.  О ны ң 

көмегімен квантты қ механикада кү й і 

平

 толқы нды қ функциямен аны қ- 

талатын берілген объектіні сипаттайтын ф изикалық шамалардың орта­

ша мәндерін есептеуге болады.  Мысал үш ін, электронньщ  атом ядро­

сы нан 

< г >

 орташа қаш ы қты ғы н есептейік.  Электронньщ  көлем інің 

dV

  элем ентінен  табылу  ы қтим а лд ы ғы   (46.2)  ө рн е кке   сә й ке с ті 

I 

I" 

dV

 екенінаны қтайм ы з

w

n

 r  I ^   |2 

dxdydz

，

—сзо 

一

 оо 

一

 оо

шамасы электронньщ барлық м үм кін деген ядродан 

r

 қаш ы қты ғы ны ң, 

осы қаш ы қты қтарды ң ықтималдығына көбейтіндісін білдіреді.

Электронньщ ядродан орташа қаш ы қты қтағы  

く

 

厂

〉-ді былай аны қ- 

таймыз

J  

J  

J   r  

I Ч7

12 

dxdydz

<  r

 > = —  

P,

Ш

げ

 |2 

dxdydz

一

 

oo 

一

 

oo 

一

 

oo

Бұл бөлш ектің бөлімі (46.3) бойынша бірге тең, сондықтан

ОО 

ОО 

ОО 

ОО 

схэ 

оо

<   r  > =  

J   J   J r  

I  'Ғ  |2 

dxdydz

 =  

J   J   J  

rWW * dxdydz у

 

(46.4)

一

 

oo — OO — OO 

— OO 

一

 

OO 

一

 

oo

с е б е б і|Т |2= Т . Т '

Орташа қаш ы қты қты ң  квадраты үш ін

279

<  r 2  >= 

J J Jr

2

 

l ^ l 2 

dxdydz

(46.5)

Бүл өрнек жары қты ң жүтылуы мен шығарылуы процесін түсіндіру 

ү ш ін  квантты қ механикада кеңінен қолданылады.

§47. Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастары

Электрон  әрі  тү й ір ш ікт ік,  әрі  то лқы н д ы қ  қасиеті  бар  ерекше 

бөлшек, оның кейде тү й ір ш ікгік, кейде толқы нды қ қасиеттері білінеді. 

Әйтеуір электрон кә д ім гі классикалы к бөлш ек емес.  С онды қтан оны 

микробөлш ектерге  тән  ф изикалы қ  шамаларымен  тек ж уы қтап  қана 

сипаттауға  болады.  Осы жағдайға  байланысты  квантты қ механикада 

мынадай принцип бар: электронньщ орнын жэне импульсін бір мезгілде 

дәл өлшеуге болмайды, басқаига айтқанда электронньщ координаталарын 

және  жыддамдықтарын  бір  мезгілде  дәл  өлшеу  мүмкін  емес.  Мысалы, 

электронньщ  х координатасын өлшегендегі қател ік 

Ах

  болып,  оның 

осы x өсі бағытындағы жылдамдығын өлшегендегі қателік  Д и ѵ болса, 

онда 

Ах

 пен 

А ѵ х

 кө б ей тінд ісінің   шамасы  П ланк түрақты сы нан  кем 

болмайды, я ш и  

/\х  А і) х

  >  

һ

  дѳлірек айтқанда

Лх  • 

^  

^/т ，

немесе

Ах • 

Ш 'А ѵ х  > f ilm ,

 

(47.1)

мүндағы 

m -

 электронньщ массасы,  m - А и ѵ.  =  A p r  -  ипульсті өлшеудегі 

қател ік болады, сонда:

Л г . 

Арх  > һ

，

Ау ■

'^Р у

(47.2)

Дг

■

 Ар.  > Һ

  .

Осы  (47.2)  қатынастарын  ең  алғаш  рет  1927  жылы  неміс  ф изигі 

Гейзенберг үсынған болатын, сондықтан бүларГейзенбергтің анықтал- 

мағандық қатынастары деп аталады.

Бүл  қатынастарға қарағанда,  мысалы,  координаттың 

=0 дәл 

м ә н і  болса,  онда  и м п у л ь с тің   б е л гіл і  м ә н і  болм айды ,  (себебі 

х

  = /z /A r 

оо ),  сондай-ақ  импульстің 

А р х  =

 0  дәл  м әні  болса, 

координатаның белгілі м әні болмайды (себебі  Дх -^оо).

280

Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастарының өрнегіндегі 

fi

 өте 

аз шама.  Сондықтан координаталар мен жыдцамдақтың анықталмаған- 

дықтары тек элементар бөлшектерде ғ а т  аны қ бөлінеді, макробөлшекте 

бүл байқалмайды деуге болады.  Мысалы,  біз атом іш індегі электрон­

ньщ  орнын анықтамақ болайық.  Н егізгі күйдегі атомның радиусы ша­

мамен  10_10m,  сондықтан атом іш ін д е гі электронньщ  орны  1 0 10м дэл- 

д ікп е н   анықталуы  тиіс,  я ғн и  Д г  = 10_10л^  болуы  тиіс.  Сонда  элект­

ронньщ  жылдамдығын  анықтағанда  кететін  қа тел ік  (47.1)  қатынасы 

бойынша мынаған тең болады:

Au'.  = fij( т Д г ) ==1,13 • 106 см/с •

Классикалы қ көзқарас бойынша, атом іш індегі электрон жылдам- 

дығы  IOMCF

m

/

c

 шамасында. Есептеулерден атом іш індегі электронньщ 

белгілі жьш дамдықпен қозғалатын түйы қталған орбитасы бар деп ай- 

туда  мағына ж о қ.  Демек,  бұған  классикалы қ  түрғьщан  қарау дүрыс 

емес.

Атом  іш ін д е гі  электронньщ   орны  мен жьшдамдығын дәл  а н ы қ- 

тауға  болмағанмен,  оны ң атом  іш ін д е гі  берілген нүктеде  болу ы қти - 

малдығьш анықтауға болады. Осы ықтималдық берілген нүктедегі элекгр 

зарядының үзақ уақы ггағы  орташа тығыздығын сипаттайды. Электрон 

бір орында неғүрлым ж и і болса, орташа есеппен алғанда, сол орынның 

заряды кө п   болады,  ал электрон сирек болған оры нны ң заряды да аз 

болады.

Аны қталм аганды қ қатынасы те к координаталар мен импульстер 

ү ш ін   ғана  емес,  басқа  да  шамалар  ү ш ін   орындала  алады.  Айталы қ, 

бөлш ектің  бірқатар 

t

  уақы тындағы  толы қ  энергиясы 

\ү

  болатын 

энергиялық күйде болсын. 

W

 мен 

t

 -н ің  берілгендегі мәндерінің қателігі 

жөне 

болады деп есептесек, (47.2) өрнегіне үқсас мынадай аны қ- 

талмағандық қатынасын жазамыз

AWAt > П

  • 

(47.3)

(47.3) 

өрнегін Гейзенбергтің энергия және уақыт үшін  анықталма- 

ғандық  қатынасы  деп  атайды.  (47.3)  өрнегін  қоры ты п  шығару  үш ін  

ж и іл ік  және уа қы тты қ арасындағы аны қталмаганды қ қатынастарын 

пайдаланамыз.  Ол мынадай болады:

Ах • 

Aw  > с

, 

(47.4)

мүндағы 

/Sx

 -толқы н  ц у гін ің   үзы нды ғы , 

Асо

 -осы  цугтің   қүрайты н 

м онохром атты қ  то л қы н н ы ң   ж и іл ік   интервалы.  Е к ін ш і  ж ағы нан 

W  = h(D

  екенін ескеріп, оның өсімшелері бойынша жазамыз

281

AW  = Һ М ) -

Осы тендеуден 

Aù)

  = A W  

I fi

  -ны  анықтап,  (47.4) қатынасына қо й - 

сақ, (47.3) өрнегін аламыз.

(47.3) 

қатьшасы атомдық және ядролық физиканьщ дамуында үлкен 

шешуш і роль атқарды.

А ны қталм ағанды қ қатынастар квантты қ механиканың н е гізгі бір 

фундаментальдық қағидаларына жатады. Оньщ бір қатынасьшың өзінен 

бірнеше маңызды қорытындылар алуға болады. Дербес жағдайда, одан 

электронный, атом ядросына неге қүлап түспейтінін жэне қарапайым 

атомньщ өлшемін анықтауға болатындығын, сол сияқты осындай атом- 

дағы электронньщ м үм кін деген минималь энергиясын есептеу м үм кін- 

д ігін  кѳруге болады.

Егер электрон ядроға құлап түссе, онда оның координаталары мен 

импульсі белгілі бір (нѳлдік) мән қабылдап, анықталмағанды қ прин- 

ципке  сөйкес  келмес  еді.  Бүл  принцип  бойынша 

Ар

  жэне  д г -дің 

арасындағы байланыс (47.2) өрнегімен анықталу керек.  Мәселеге нем- 

қүрайлы   қарасақ,  энергияньщ   минималь  жағдайына 

r  = 0

  жэне 

p  = 0

 шарты сэйкес келеді. Сондықтан энергияньщ ең аз шамасы үш ін 

жэне 

Ар  ~ р

  деп  атауға  болады.  Осыны  (47.2)  қатынасына  қо йса қ, 

мынаны аламыз

г р - Һ .  ' 

^

 

(47.5)

Сутегі атомындағы электронньщ энергиясын бьшай жазамыз

2 т  

г

(47.5)  ѳрнегіне  сэйкес 

р

  -н і  й/ r  -  мен  ауыстырсақ,  онда  соңғы 

тендеу мына түрге келеді

*  

2

 

2 

„ 了

 

h 

e

W 

= —

—

r  —

—

. 

(47.6)

2 m r  

r

W

  минималь болғандағы 

r

 -ДІҢ м әнін табамыз.

(47.6) ѳрнегін 

г

  бойынша дифференциалдап жэне тендеуді нѳлге 

теңеп жазамыз, сонда

осыдан

282

r  = Һ2

(47.7)

Бүл сутегі атомы үш ін  алынған Бордың б ір ін ш і орбитасының ра­

диусымен сэйкес келеді.

(47.7) 

өрнегін  (47.6)  тендеуіне  қо й ы п   н е гізгі  күйд егі  энергияны 

есептейміз

Табы лған  ө р н е ктің   м әнінде 

Z   = \

  болғандағы   б ір ін ш і  Бор 

деңгейінің энергиясына сэйкес келеді.

1927  жылы  Гейзенберг  ө зін ің   түжырымдаған  анықталмағандық 

қатынастар деп аталған еңбегінде, осы қатынастардан шығатын жалпы 

қо р ы ты н д ы   ретінде  “ К в а н т т ы қ  м еханика  се б е п тіл ік  заңы ны ң 

н е гізсізд ігін  аны қтады ”  деп пайымдады.  Осылай пайымдаудың не гізі 

мынада  болатын.  С ебептілік  п р и н ц и п ін ің   н е гізгі  талабы:  белгілі  бір 

уақы т кезеңінде, ж үйе нің  к ү й ін  дәл білудің негізінде,  оны ң болашақ 

уақы т кезеңіндегі кү й ін  алдын ала болжап дәл айту.  Н ью тонны ң клас­

сикалы к механикасы бүл талапты бүлжы тпай орындайды,  ол әсіресе 

астрономиялық мысалдардан айқы н көрінеді.  Сонымен, астрономия 

(аспан механикасы) аспан денелерінің қозғалыс жылдамдығын, траек- 

торияларын зерттеп, оған математикалық есептеулерді қолдану арқа- 

сында, астрономиялық қүбылыстарды (мысалы, К ү н н ің  не Айдьщ тұты- 

луы н  жэне  т.б.)  алдын  ала  болжап  айта  алады.  Н ью тонны ң  механи- 

касында белгілі бір  ^ у а қ ы т  кезеңіндегі материалдық н үкте нің  корди- 

наталар  х 0, 

, 

z0

 және жылдамдық проекциялары 

VX

q

 

Ѵ.^

  бойын­

ша,  осы  материалдық  н үкте н ің   t  уақы т  кезеңіндегі  оны ң  (қозғалыс 

тендеуін шешу арқылы) к ү й ін  анықтауға болады.

М еханикадағы  осындай жағдайды механикалық детерминизм деп 

атайды.

Алайда, анықталмағандық қатынастардың пайдалануынша, коор­

динаталар мен импульстердің бір уақы ттағы  мәндері 

АхАр > Һ

 қа ты -

насы  орынд алатындай  болып,  Дх жэне  Др өлш еудегі  қателіктер

ж іберіліп,  олардың мәндері дәл болмауы м үм кін .  Осыдан Гейзенберг

§48. Квантты қ механикадағы себептілік принципі

283

бастапқы кү й  дәл анықталуы м үм кін  емес,  себептілік заңына карама- 

қайш ы  келетін, болашақ кү й  туралы алдын-ала болжап айтуға болмай­

ды деп қорытынды жасады.  Бүл айтылғанға үстүртін қарағаңда, бүлай 

деп пайымдаудың н е гізі бар секілді болып көрінеді.  Ш ы ны нда мүнда 

іс басқаша.

Классикалық физикаға қарағанда, квантгы қ механикадағы жүйенің 

к ү й ін ің  тү с ін ігі басқа мағынада беріледі.  Бұл күй д і анықтау үш ін  оған 

басқаша жолмен  келу  керек.  Квантты қ механикада  бөлш ектің к ү й ін  

толқы нды қ  Т-ф ункциям ен  анықтайды.  Бұлай  дейтінім із,  к у а қ ы т  

мезгілі  үш ін   Т -ф ун кци яны ң   берілген  м әні 

t>  tQ

  болгандағы  уақы т 

кезеңіндегі оның мәнімен анықталады. Басқаша сөзбен айтқаңда, квант­

т ы к  механикада  себептілік  п р и н ц и п і  бойынша,  белгілі  бір  к у а қ ы т  

кезеңіндегі м икрообъ ектінің к ү й і,  оны ң болашақта қандай күйде бо- 

латыңдығын алдын-ала айтуға м үм кін д ік береді.  Сондықтан квантты қ 

механикада м икрообъектінің бастапқы к ү й ін  сипаттайтын  Ч7

。

-ф унк­

ция —себеп,  ал келесі уақы т кезеңіндегі 'Ғ-ф ункциясы ны ң м әні сал­

дары болып табылады.  М іне,  сөйтіп  квантты қ механикада себептілік 

принципі орындалады.

Т олқы нд ы қ ф ункция  өзінш е  қайсы бір  қосымш а  символ ретінде 

кіргізілгендіктен, тікелей бақьшанатын шаманың қатарына жатпайды. 

Б ірақ оны білу тожірибеде алынатын статистикалық шамаларды алдын 

ала болжап айтуға м ү м кін д ік береді.  Сонды қтаң да оны ң ф изикалы қ 

мағынасы бар. Демек, классикалық емес, квантты қ механиканың тала­

бына сәйкесті анықталатын, микробөлшектер ж үйесінің кү й і себептілік 

п ринци пінің  заңдары негізінде, оның өткен күй ін е н  бір мәнді анықта- 

лады.

Сонымен корыта келгенде, себептілік принци пін микрообъектіге, 

классикалы қ физикада,  импульс  пен  координата т ү с ін ігін  қолданға- 

нымыздай әкеліп тандауымызға болмайды.  М икрообъектінің біз жоға- 

рыда келтірген өз ерекшеліктері, өз қасиеттері бар.

§49.  Шредингер тендеуі

Де  Бройльдің  заттардың толқы нд ы қ  қасиеттері туралы  идеясын 

дамытқан Э.Ш редингер  1926 жылы өзінің  атақты тендеуін алды.  Ш ре­

дингер микробөлш ектің қозғалысына, қарама-қарсы координата мен 

уақы тты ң ко м пл е кстік фунісциясын қойды .  Оны толқындық функция 

деп  атап,  гректің  Т   “ п с и ”  әрібімен белгіледі.

Бөлшек  кеңістікте 

v

  тү р а қты   ж ы лд ам д ы қпен  е р кін   қо зға л - 

ғанда де  Бройль  м үндай  бөлш екпен  қандай  да  болмасы н  бір  м о-

284

нохром атты қ жазық толқьш  байланыста болу керек деп, мынадай функ­

цияны ұсынды1

マ

、

) ，

 

(49Л)

мұндағы 

平

0 -пси ф ункциясыньщ  амплитудалық м ә н і,

た

-толқы нды қ 

сан 

k  = 2п 

!入

 

г

  -радиус-вектор, 

со

 -ц и кл д ы қ (дөңгелектік) ж и іл ік, 

i -  

-

 жорамал б ір л ік).

Бүл  Т   ф ункциясы ньщ   ф изикалы қ  мағынасы  туралы  де  Бройль 

ештеңе  де  айта  алган  ж о қ.  (49.1)  түріндегі  теңцеуі  фазалық  толқын, 

заттың толқыны немесе де Бройль толқьшы деп аталады.

Т  ф ункциясы микробөлш ектің кү й ін  сипаттайды.

Шредингердің теңдеуінің дұрыстығын, осы тендеудің атомдық және 

ядролық физикада, квантты қ механиканың көмегімен алынған қоры - 

ты нд ы лары ны ң   ж эн е   осы   салада  ж ү р гіз іл ге н   тә ж ір и б е л е р д ің  

нәтижелерімен өте ж ақсы  сәйкес келуі дәлелдейді.

Ш редингер теңцеуі былай жазылады

~

7

^

  =   ~ Һ г А Ц , +  U (X,

ン

，

Z，

Г )

平

，

 

(

4 9

.

2

)

мүндағы 

т

 -бөлш ектің массасы, 

U

(х, 

у ,

г,? )-к ү ш  өрісіндегі қозғалыс-

А  _   Ә2  ,  Э 2 

Э

тағы бөлш ектің потенциялы қ энергиясы,  ^  = 

-Л ап­

лас операторы,

平

-

y, 

z ,t)

 -бөлшекзің ізделінетінтолқыңдық функ­

циясы,  /j =  һ / 2л

：

= 1 ，

05  -10'34Д ж  с  -  П ланк түрақты сы .

(49.2) тендеуі 

v  «  с

  жылдамдықпен қозғалған кезкелген бөлшек

үш ін  дұрыс болады.  Ш редингер теңцеуі 

W  = 

y, z ,t)

  ф ункциясы- 

на қойылатын үш  шартқа байланысты толықтырьшады:

і ( 0 )  î - к   r )

1  Оптикада  монохроматтық  толқынды  біз 

в

 

түрінде  жаздық.  Қазір

—

> —

»

і (   к   r   - c o t )

 

„

біз 

е

 

комплексті  түиіндестікті  ж азьт  отырмыз.  Кванттық  механикада

(49.1)  түрінде  жазу  орын  алған.

285

1)Ү ф ункциясы н е гізгі,  үзд іксіз және  бір мәнді;

2) 

,  — - ,  

-   туындыларыньщ үздіксіз болуы  керек; 

ох 

ду 

oz 

ot

3)|¥|2 ф ункциясы интегралданатын болуы, былайша  айтқанда 

卜

(49.3) 

Ш

і  

Ч1 \-dxdydz

  интегралы не гізгі интеграл болуы керек.

—оо 

оо  — оо

Қалыпты жагдайда үш ін ш і шарт ықтималдықты мѳлшерлеу шар­

ты н  қанағаттандыруға  (46.3)  алып  келеді.  А лғаш қы   е кі  шарттардың 

өзінш е  ерекш еліктері ж о қ.  Бүл  әш ейін дифференциалдық тендеудің 

шешуіне қойьшатын талаптарды көрсетеді, үш інш і шарт бойынша, ж о- 

ғарьща айтылғандай ф изикалық мағына 

ザ

  ф ункцияға тән емес, оның 

|

平

|  м одулінің квадратына тән.  (49.2)  теңцеуін Шредингердің уақы т- 

ты қ теңдеуі деп атайды.  Себебі ол 

平

 ф ункциясыньщ  уақы т бойынша 

туындыларынан түрады. Алайда, микродүниеде өтіп жататын кө п  сан­

ды  ф изикалы қ  қүбылыстар  үш ін ,  мысалы,  электронньщ   атомдағы 

мінезін сипаттау үш ін, уақыттан түрмайтьш Ш редингер теңцеуініңста- 

ционарлық шешуін табу керек.  Бүл есепті шешу үш ін  

平

-д ің  уақыттан 

тәуелділігі болмайтын Ш редингердің стационар 'Тендеуін алу керек.  Ол 

теңдеу 

j j

  потенциалдық  энергия  уақыттан  төуелсіз 

U  = U ( x , y ,z ) 

болатын  жағдай  ү ш ін   де  дүрыс  болады.  (49.2)  теңдеуінің  ш еш уін 

y , z , t )  =  y /{x ,  y,  z ) q j( t) ,

 

(49.4)

екі кѳбейтінді түріңде жазьшған айнымапылар арқылы іздейміз. Мүндағы 

Щ

 -координаталардың  ф ункциясы , 

(р -

 уақы тты ң  ф ункциясы.  (49.4) 

тендеуін (49.2) өрнегіне қо йы п дифференциалдағаннан кейін, мынаны 

аламыз

-^y/~^ = -^-(pAy/ + U(x,y,z)ll/-(p 

.

Тендеудің оң және 

сол

 ж ақтары н 

(р-lf/ -

tq

 бѳлеміз.

/ Г   1

(

\ 

Һ  I  д(р

--------------- _

  -

U

、

x

, y

, z )   =

  —

—

~ —

• 

( 4 9 . 5 )

2 т  if/ 

i  (p  ot

Теңцеудің  сол  жағы   координаталардың  ф ункциясы  да,  оң  жағы 

уақы тты ң ф ункциясы.  (49.5)  те н д ігін ің  е кі жағы түрақты  шамаға тең 

болуы тек бір ғана шарт орыңдалғанда ғана жүзеге асады.  Ол шаманы

286

п  \  д(р  _

W

ä

P

—'

 

(49.6)

I

ム

---------- A l// 

- U ( x , y , z )  = - W  ^

 

(49.7)

2m  y/

(49.7) тендеуін кѳбіне мына түрде жазады

à y /  + —T ( W - U ) \ i/   = 0

 

(49.8)

және бұл өрнекті Шредингердің стационарлық тендеуідеп атайды.

(49.8) теңцеуі атомдық физикада негізгі рөл  атқаратьш релятивистік 

емес (ж ары қ жылдамдығынан кем жылдамдықпен қозғалу), квантты қ 

механиканың маңызды қатынастарының бірі болып табылады. 

j j

  -дің 

берілген мәнінде, 

у/

  ф ункциялары  Ш редингер тендеуін қанағаттан-

I  дырса, онда оны меншікті функциялары дейді.  (49.8) теңцеуін ш еш кен­

де алынатын 

-н ің  м әндерін менш ікті мәвдері деп атайды.  М е н ш ікті 

функциялар мен мәндерді анықтауды келесі параграфта келтіреміз.

(49.6) теңдеуін интегралдасақ

\п(р  = ( -  i/h )W  - t + \п(р0.

Логарифмнен ф ункцияны ң өзіне көш сек

W

 Деп белгілейік，сонда

( p = ç 0 e~iW t/n ,

 

(49.9)

мүндағы 

(р0

  =  

炉

 о(0) - уақы т 

t = о

  болғандағы бастапқы кезеңдегі 

ç (t)

ф ункциясыньщ  мәні.

-  н ің  ф изикалы қ  мағынасын  түсін у  үш ін   (49.8)  тендеуін  тол- 

қы н д ы қ тендеуімен салыстырамыз.  Ол тендеу мынадай болатын

жүктеу/скачать 13,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: