Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген
жүктеу/скачать 0,7 Mb.
|
§54. Металдардағы тұрақты ток Өткізгіштердегі бос зарядтардың қозғалмайтын қозғалысын оның тудыратын магнит өрісіне қызықтырмай қарастыруға көшейік. Бұл жағдайда өткізгіштер металл (ток тасымалдаушылары электрондар) болып табылады деп болжанады, дегенмен төменде тұжырымдалған нәтижелердің көпшілігі басқа табиғаттағы өткізгіштер үшін де жарамды. Максвелл теңдеулерінде (47.10) немесе (48.10) уақыт туындыларын нөлге тең деп алсақ, біз, ең алдымен, стационар жағдайда болатынын көреміз. (54.1)
. (54.2) , теңдеуі, жоғарыда айтылғандай, өткізгіштер үшін ерекше физикалық мағынасы жоқ. Өткізгіштердің электростатикасында қолданылған орташа алынған , теңдеуі де пайдалы емес. арастырылып отырған жағдайда да , де белгісіз және бұл шамалардың арасында құрылтай теңдеулерінің түрінің қатынасы жоқ.
(54.3)
Бұларға әртүрлі табиғаттағы өткізгіштерді бөлетін беттерге шекаралық шарттарды қосу керек. Оларды алу үшін бастапқы теңдеулерді интегралдық түрде көрсету жеткілікті (54.4)
. (54.5) Өткізгіште – вакуумдық (немесе диэлектрлік) интерфейс, бізде анық . (54.6) Басқаша айтқанда, вакуумдағы өткізгіш ток түтіктерінің бірі ретінде әрекет етеді (бұл түсінік 2-бөлімде енгізілген). 2-бөлімде көрсетілгендей (54.3) теңдеуден және (54.6) шарттан өткізгіштің кез келген толық қимасы арқылы өтетін ток күші барлық жерде бірдей болатыны шығады: . (54.7) Өткізгіш тармақтары болатын түйіндерге қолданылғанда, бұл қатынас жалпы физикадан белгілі Кирхгофтың бірінші ережесіне әкеледі. (54.8)
Ағымдардың белгілері бойынша сәйкес келісіммен. Ол суретте көрсетілген толық интегралдау бетін S ретінде таңдау арқылы (54.4) екінші теңдеуден тікелей алынады: .
Тұрақты ток үшін бастапқы (54.1) және (54.3) теңдеулері әлі тұйық жүйе құра алмайтынына назар аударыңыз, өйткені бұл теңдеулердің тек төртеуі ғана бар және алты белгісіз бар. Ток тығыздығы мен өрісі арасындағы байланысты белгілейтін қандай да бір материалдық теңдеуді қосу қажет. Электр тогы зарядталған бөлшектердің қозғалысына байланысты, ол негізінен (48.1) және (48.2) теңдеулерін бірлесіп шешу арқылы анықталуы керек. Олар электр өрісін де, магнитті де қамтиды [қозғалыс теңдеулерінде (48.2) болуы әлі ескерілмеген (!)], және жалпы жағдайда . (54.9) Оның үстіне бұл байланыс тек алгебралық емес, сонымен қатар интегралдық болуы мүмкін [қараңыз. (50.17) формуласын талқылаумен]. Біз -тің -ке ықтимал тәуелділігін қарастырмаймыз, осылайша өткізгіш орта қозғалыссыз деп есептейміз және Холл эффектісі деп аталатынды елемейміз, және жазамыз . Одан әрі болжамдар §50 және §51-де конститутивтік теңдеулерді талқылағанда жасалған болжамдарға ұқсас және : өріс тым күшті емес және өте күрт өзгермейді, ал өткізгіш изотропты. Оларды ала отырып, біз дифференциалды түрде Ом заңына келеміз . (54.10)
(54.11)
. (54.12) Осылайша, әртүрлі өткізгіштер арасындағы шекарадағы ағындар мен электр өрісінің сызықтары сынуға ұшырайды. Егер өткізгіш біртекті болса, онда оның ішінде кеңістік заряды болмайды. Шынында да, үшін бастап және артынан div E 0 = , демек, теңдеу бойынша (54.13)
Енді өткізгіштің сыртындағы электр өрісін қарастырайық, яғни. вакуумда (немесе диэлектрикте). Өткізгіш тұтастай электрлік бейтарап болса да, оның бетінің кейбір жерлерінде оң зарядтар, ал басқаларында теріс зарядтар жиналуы мүмкін. Олардың бетінің тығыздығы нөлден ерекшеленеді және бұл жағдай ең типтік болып табылады. Өткізгіш-вакуум интерфейсіне вакуум жағынан жақындаған кезде, онда теңдеу , бірдей теңдік электростатикадағыдай болады [формула (53.8)]: . (54.16)
. (54.17) Енді тұрақты ток өтетін өткізгіштегі энергия балансын қарастырайық. Бірлік көлемдегі зарядтардың уақыт бірлігінде электр өрісінің атқаратын жұмысы (4.11) формуламен берілген. , (54.18) ол Ом заңын (54.10) ескере отырып, былайша қайта жазуға болады . (54.19) Бұл мән әрқашан теріс емес және ток болған кезде нөлден ерекшеленеді. Ток тұрақты деп есептелетіндіктен, қарастырылып отырған жұмыс тек өткізгіште бөлінетін жылуға айналуы мүмкін. Нәтижесінде біз дифференциалды түрде Джоуль – Ленц заңына келеміз , (54.20) мұндағы – уақыт бірлігіндегі меншікті жылу бөлінісі. Өткізгіштің бүкіл көлеміне интегралдау арқылы жалпы жылу қуатын аламыз: . (54.21) Өріс потенциалын пайдаланып бірінші өрнекті түрлендіреміз, соленоидтық ток және векторлық талдау формулалары: . Бірақ барлық жерде өткізгіштің бетінде [(54.6) формуласы]. Сонымен ,демек, сәйкесінше (54.21) үшін екінші және үшінші өрнектерге , өткізгіштің ішінде и .Нәтижесінде стационарлық токтардың ешбір өткізгіште болуы мүмкін еместігі «дәлелденді». Ресми тұрғыдан алғанда, бұл парадоксалды нәтиже соншалықты күтпеген жағдай емес. Ол (54.1) теңдеуімен толық сәйкес келеді, ол стационарлық электр өрісінің потенциалдылығын куәландырады. Зарядты тұйық контур бойымен жылжыту үшін мұндай өрістің жұмысы, жоғарыда қарастырылғандай, тек жылуға айналуы мүмкін, әрқашан нөлге тең (§6, 3-тармақпен салыстырыңыз). Осылайша, тұрақты ток үшін бастапқы (54.1), (54.3) және (54.10) теңдеулер тұтастай өткізгішке қолданылмайды, бірақ оның жеке бөлімдерінде ғана орындалуы мүмкін. Мұны келесі жолмен тексеруге болады. Физикалық ойлардан және (54.3) теңдеуден соңғы өткізгіште ағындары жабық болуы керек екені анық. Бірақ содан кейін Ом заңына (54.10) сәйкес электр өрісінің күш сызықтары да тұйық болады . Осы күш сызықтарының бірімен сәйкес келетін контур бойымен векторының циркуляциясы нөлге тең емес, ол (54.1) эквивалентті бірінші (54.4) теңдеуіне қайшы келеді. Тек тривиальды жағдайға жол беріледі және . Мектеп физика оқулығында да осыған ұқсас пайымдаулар сапалы деңгейде жүзеге асырылады. Олар мына қорытындымен аяқталады: «Сондықтан кез келген тізбекте оны тізбекті қамтамасыз ететін қандай да бір энергия көзі болуы керек. Бұл көзде кулондық күштерден басқа басқа, потенциалды емес күштер міндетті түрде әрекет етуі керек. Бұл күштердің тұйық контур бойымен жұмысы нөлге тең болмауы керек ». Мұндай қосымша энергия көздері ток көздері деп аталады. Олар әртүрлі генераторлар, гальваникалық элементтер, батареялар, термопарлар және т.б. Осындай көздер жұмыс істейтін өткізгіштің бөлімдерінде тұрақты ток үшін жоғарыда келтірілген кейбір теңдеулердің күші жойылады және кейбір өзгертулерді қажет етеді. Ток көздерінің әсер ету механизмдерін қарастыру (электромагниттік индукция құбылысын қоспағанда) электродинамиканың өз шеңберінен шығады. Олардың өткізгіштер жүйесінде болуын бірге енгізу арқылы тиімді есепке алуға болады сонымен қатар бүйірлік өріс , барлық күштерді қарсы алу , электр өрісінің тікелей әсеріне қарамастан зарядтарды жылжытады.
Джоуль-Ленц заңы да сәйкес өзгертуге жатады: . (54.23)
Жалпыланған Ом заңын (54.22) толығырақ қарастырайық. Сыртқы күштер әдетте әртүрлі табиғаттағы (металл-металл немесе металл-электролит) өткізгіштердің жанасу нүктелерінде ғана әрекет етеді, яғни. өте кішкентай бойынша, бірнеше атомаралық қашықтықтардың қалыңдығы бар тізбектің шексіз шағын бөліктерінің шегінде. Сондықтан (54.24) типті интегралдар нөлден ерекшеленуі үшін сыртқы өріс өте үлкен, шекті шексіз үлкен болуы керек.Сонымен қатар болғандықтан, векторы векторымен бірдей бағытқа ие болуы керек. . (54.25) Ол токқа қарсы электр өрісіне қарсы өткізгіштің іргелес аймақтарына бағытталаған,мұндағы . Бұдан, атап айтқанда, электр өрісінің тұйық күш сызықтары болуы мүмкін еместігін және 263-бетте сипатталған қайшылықтардың ешқашан пайда болмайтынын көруге болады. Практикалық тұрғыдан алғанда, көлденең өлшемдері бойлық өлшемдерден әлдеқайда аз болатын сызықтық өткізгіштер ерекше қызығушылық тудырады. Бұл ұғым 2-бөлімде енгізілген және V тарауда кеңінен қолданылған. Еске салайық, токтардың көлемдік таралуынан сызықтық өткізгіштерге ауысу ауыстыру арқылы жүзеге асырылады. (54.26)
. (54.27) Ақырында, сызықтық өткізгіштің берілген көлденең қимасының барлық нүктелерінде ток тығыздығы іс жүзінде бірдей болатынын ескере отырып, ток күшін табамыз. , (54.28) мұндағы – көлденең қимасының ауданы. Осы дайындық ескертулерінен кейін мектеп және жалпы физика курстарынан белгілі тұрақты ток үшін барлық негізгі қатынастарды оңай алуға болады. Жалпыланған Ом заңының (54.22) екі жағын бөліп, сызықтық өткізгіштің 1–2 бөлімі бойынша интегралдауды орындаймыз: . (54.29)
.
(54.30)
Егер өткізгіш материал бойынша біртекті болса және қалыңдығы, содан кейін біз мектеп формуласына келеміз . (54.31)
(54.32)
. (54.33) Нәтижесінде (54.22) тоқ көздері әрекет ететін тізбектің бөлігі үшін интегралды түрде Ом заңына келеміз: . (54.34) Осыдан ең қарапайым Ом заңы шығады (54.35)
ток көздері жоқ өткізгіштің қимасы үшін, және тұйық контур үшін Ом заңы тармақталмаған : . (54.36) Мұнда – ток көзінің ЭҚК, яғни. оның жұмысы бірлік зарядты тұйық контур бойымен жылжыту [қараңыз. анықтама (6.15)]: , (54.37) ал – оның сыртқы бөлігінің кедергісі R және ток көзінің ішкі кедергісі r қоса алғанда тізбектің жалпы кедергісі. Соңында, тармақтары бар күрделі тізбектегі ерікті тұйық контурды қарастырыңыз. Осы тізбектің әрбір буыны үшін жалпы Ом заңы (54.34) жарамды, біз оны енді келесі түрде қайта жазамыз. , (54.38) мұндағы – сілтеме нөмірі, ал – оның жалпы кедергісі. Контурдың барлық буындары бойынша (54.38) теңдіктерді қорытындылай келе және оны айналып өткенде потенциал өзінің бастапқы мәніне оралатынын ескере отырып, Кирхгофтың екінші ережесін аламыз. (54.39)
Жылуды табайық , ол сызықтық өткізгіштің 1-2 бөлімінде уақыт бірлігіне бөлінген. Ол үшін бірінші өрнекті (54.23) көлеміне біріктіреміз (54.32) және (54.33) формулаларын ескере отырып, бізде болады ,
. (54.40) Ток көздері жоқ өткізгіштің қимасы үшін , (54.41) және тармақталусыз тұйық контур үшін (54.42)
. (54.43) Осы бөлімді қорытындылай келе, ток көзінің физикалық маңызды және әдістемелік жағынан өте күрделі тұжырымдамасына тағы да тоқталайық.Жоғарыда оның өткізгіштер жүйесіндегі әрекеті екі түрлі жолмен сипатталады:сыртқы өріс және электр қозғаушы күші(ЭҚК) . Ток көзінің бірінші сипаттамасы локальды (дифференциалды), екіншісі ғаламдық (интегралдық). Олардың әрқайсысының белгілі бір артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Үшінші тараптың өрісі тұжырымдамасы өте сипаттамалық. Оның енгізілуі тұрақты ток көздері болған жағдайда Максвелл теңдеулері өз күшін сақтайтынын және тек материалдық теңдеу модификацияға ұшырайтынын анық көрсетеді – дифференциалдық түрдегі Ом заңы. Сонымен қатар, бұл тұжырымдама біршама формалды. Әртүрлі өткізгіштердің жанасу нүктелерінде пайда болатын сыртқы өріс абсолютті мәнде өте үлкен және шекті жағдайда -функциясы арқылы өрнектеледі. Оны қандай да бір ақылға қонымды жолмен тікелей эксперимент арқылы өлшеу мүмкін емес. Оның үстіне, мәнінің шынайы физикалық мағынасы толығымен анық емес, өйткені іс жүзінде табиғатта «сыртқы күштер» жоқ. Олар контактілердегі электр зарядтарының бөлінуін тиімді сипаттау үшін ғана енгізілген, шын мәнінде, айталық, тек микроскопиялық деңгейде барлық бірдей электромагниттік өзара әрекеттесулермен бақыланатын химиялық процестер арқылы жүзеге асырылады. Нақ осы себептерге байланысты сыртқы өріс ұғымы Л.Д.Ландау мен Э.М.Лифшицтің теориялық физиканың онсыз да классикалық курсында мүлдем кездеспейді. Мұнда жанасу құбылыстарын талдау кезінде интегралдық сипаттамаларға - электр қозғаушы күштерге артықшылық беріледі(орнына ) және ықтимал секірулер (өріс орнына ). Бұл шамалар мөлдір мағынаға ие және эксперименталды өлшеудің қарапайым әдістеріне мүмкіндік береді. Сонымен, тұрақты ток көзінің ЭҚК ε - бұл өткізгіштің контуры бойынша қозғалған кезде бірлік зарядқа берілетін және соңында жылуға айналатын энергия. ЭҚК, мысалы, ашық ток көзінің полюстеріндегі кернеу сияқты электростатикалық вольтметрдің көмегімен өлшенеді [мұны өзіңіз көрсетіңіз, тұйық тізбек үшін Ом заңын (54.36) пайдалана отырып]. Дегенмен, бұл тәсіл құндылықты енгізуге байланысты барлық артықшылықтарды жоғалтады , оның ішінде айқындық. Тұрақты ток көздері болған кезде электродинамиканың негізгі теңдеулерінің қайсысын өзгерту керек деген сұраққа жауап та жабық күйінде қалады. Осы себептерге қарамастан, біз бастапқы ретінде сыртқы өріс түсінігін таңдадық және (54.37) анықтамасы бойынша ЭҚК-ді екінші шама ретінде енгіздік. жүктеу/скачать 0,7 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|