Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген

Зарядталған бөлшектер жүйесі болсын және олардың арасында тек электростатикалық күштер әрекет етсін. Мұндай жүйе тепе-теңдікте бола ма деген сұрақты қояйық. Бұл сұрақтың жауабы, жалпы айтқанда, оң және тепе-теңдік шарты анық. Егер жүйенің А нүктесінде орналасқан және заряды болатын ерікті бөлшекті таңдасақ, онда тепе-теңдікте жүйенің барлық басқа бөлшектерінен оған әсер ететін күші нөлге тең болуы керек. болғандықтан, бұл А нүктесінде осы бөлшектер жасаған өрісі жойылуы керек дегенді білдіреді. Таңдалған бөлшектің өзі бұл өріске ықпал етпейтінін атап өтеміз. Мұндай жүйенің мысалын құру өте қарапайым: бұл жеткілікті оң зарядты және екі бірдей теріс зарядты бір түзуге сәйкес орналастырыңыз.

Біз бұл мәлімдемені бірнеше жолмен дәлелдейміз, олар, әрине, мәні бойынша эквивалентті.

1. Жүйе тұрақты тепе-теңдікте болады делік және анықтығын ескере отырып, А нүктесінде орналасқан оның еркін бөлшегін бөліп аламыз (жоғарыдан қараңыз). Осы нүктеден кішігірім ығысулармен жүйенің барлық басқа бөлшектерінен әрекет ететін "қайтару" күштері пайда болуы керек.

Сондықтан, А нүктесінің жанында осы бөлшектер жасаған өрісі А-ға бағытталуы керек (суретті қараңыз). Сонымен , -ның кішкене беті арқылы өрісінің ағымы, оның ішінде тек заряды болады. Екінші жағынан, Гаусс теоремасы бойынша бұл ағын нөлге тең болуы керек, өйткені өрісті құратын барлық зарядтар бетінен тыс орналасқан . Алынған қарама-қайшылық Ирншоу теоремасын дәлелдейді.

2. Егер жүйе тұрақты тепе-теңдікте болса, онда қалған өрістегі кез-келген бөлінген бөлшектің потенциалдық энергиясы минималды болуы керек. болғандықтан, біз деп санайтындықтан, бұл көрсетілген өрістің потенциалы А нүктесінде минимумға жетуі керек дегенді білдіреді. Бірақ содан кейін ол барлық бағытта өседі, ал А нүктесін кішкентай бетімен қоршауға болады , онда барлық жерде , сондықтан

(6.21.1)

(6.21.2)

, – дан басқа барлық зарядтар шығаратын өрістің потенциалы болғандықтан, A нүктесінің маңында ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырады . Сондықтан (6.21.1) қарама-қайшылықта (6.21.2) интеграл нөлге тең, бұл Ирншоу теоремасын дәлелдейді.

3. Егер жүйе тұрақты тепе-теңдікте болса, онда -дан басқа барлық зарядтар шығаратын өрістің потенциалы А нүктесінде ең аз болуы керек . Ол үшін оның барлық алғашқы туындылары нөлге айналуы керек, ал екінші туындылары қатаң оң болуы керек. Бірақ соңғы шарт орындалмайды, өйткені , сондықтан көрсетілген туындылардың қосындысы да нөлге тең. Осылайша, жүйенің тұрақты тепе-теңдігі мүмкін емес, оны Ирншоу теоремасы бекітеді.