Дәріс ЭЛЕКТРОДИНАМИКАНЫҢ РЕЛЯТИВИСТІК ТҰЖЫРЫМЫ

Бұл тарауда классикалық электродинамика айқын ковариантты түрде тұжырымдалған. Осылайша, ол салыстырмалылықтың арнайы теориясының барлық талаптарын автоматты түрде қанағаттандыратыны анықталды, яғни релятивистік теория болып табылады. Презентация соңғы терминнің мағынасын еске түсіруден басталады.

Қысқаша айтқанда, релятивистік теория - бұл Эйнштейннің толық салыстырмалылық принципі жарамды теория, яғни бұл Пуанкаре тобындағы трансформацияларға қатысты заңдары ковариантты теория. Бұл мәлімдеме төменде шешілетін үш аспектіні қамтиды.

1. 
   Оқиғалар координаталарының түрлендірулері
   

Лоренц түрлендірулерінің ең негізгі қасиеттерінің бірі олардың оқиғалар интервалдарын инвариантты қалдыруы болып табылады:

«Хроногеометрия» формализмін кәдімгі геометриялық формализмге жақындату үшін t уақытының орнына x₄=ict ойша координатасы енгізіледі және оқиғалар координаталары былай жазылады

Басқаша айтқанда, оқиғалар 4 өлшемді Минковский кеңістігіндегі нүктелер ретінде қарастырылады. Сонда Лоренц түрлендірулері (13.1) пішінді алады

және олар сақтайтын интервалдар (4.13.2) ретінде көрсетіледі

Бұдан әрі грек индекстері 1-ден 4-ке дейінгі мәндер арқылы өтеді, ал кеңістіктік координаттардың артында сақталатын латын индекстері 1,2, 3 мәндерін қабылдайды және қайталанатын индекстер бойынша жиынтықты білдіреді. Түрлендірулердің ықшам жазбасы (4.13.4) үшін матрицалық белгілерді қолдануға болады:

(4.13.6) мен (4.13.4) салыстырсақ, Λ матрицасын айқын түрде жазу оңай, бірақ келесіде ол бізге қажет емес.

2. Физикалық шамалардың мәндерін түрлендіру

Санақ жүйесі өзгерген кезде оқиғалардың координаталары ғана өзгермейді, жалпы айтқанда, F физикалық шамаларының f мәндері де өзгереді. Бұл мағынада физикалық шамалар қарастырылатын түрлендіру тобының коварианттары деп айтылады), біздің жағдайда Пуанкаре тобы. Міне, біз бар назарымызды осы жерге аударамыз.Лоренц түрлендірулеріне қатысты физикалық шамалардың түрлендіру қасиеттері және тәжірибеде әдетте арнайы түрдегі (4.13.1) немесе (4.13.4) Лоренц түрлендірулерімен ғана айналысуға тура келеді.

Лоренц тобындағы ең көп таралған коварианттар 4-тензорлар болып табылады:

n-дәрежелі 4-тензор F 4ⁿ-жинақ болып табылады, Лоренц түрлендірулері (4.13.6) кезінде сәйкес заңға өзгереді (тензор құрамдастары),яғни оқиғалардың n координатасының туындысы ретінде.

Жиын-4-тензорларында алгебралық амалдар стандартты түрде енгізіледі: сандарға көбейту, қосу және көбейту, индекстер жұбымен айналдыру. Релятивистік механиканы құру үшін нөлдік және бірінші дәрежелі тензорлар жеткілікті, екінші дәрежелі тензорлар да релятивистік электродинамикада маңызды рөл атқарады.

(а) Нөлдік дәрежелі тензордың бір компоненті болады және оны скаляр деп атайды. Анықтамалық жүйе өзгерген кезде ол өзгермейді:

Яғни, Лоренц түрлендірулерінің инварианты болып табылады. Скалярлардың мысалдары – интервал S², меншікті уақыт элементі

бөлшектердің массасы m және т.б.

(b) Бірінші дәрежелі А тензоры 4 компоненттен тұрады a_µ және 4 вектор деп аталады:

(4.13.10)

Трансформация заңы оқиғалар координаталарының түрлендіру заңымен (4.13.6) сәйкес келеді:

немесе анық түрде [ (13.4) формуланы қараңыз]

4-векторлардың мысалдары - 4-радиусты X векторы (оқиға координаттары), 4-жылдамдық

4-ші импульс

Кез келген 4 векторлы А скаляр – оның квадратын құру үшін пайдаланылуы мүмкін

Сонымен, және т.б. Кез келген екі 4-вектор A және B 4 өлшемді скаляр көбейтіндімен байланысты

бұл да Лоренц түрлендірулерінің инварианты болып табылады.

(в) Екінші дәрежелі T тензорында заңға сәйкес түрленетін t_µν 16 компоненті бар

(4.13.17)

Олардың арасында S және A симметриялы және антисимметриялық тензорларды атап өтеміз:

Еске салайық, симметриялы және антисимметриялық тензорлардың толық конволюциясы нөлге тең:

өйткені

Егер 4-Минковский кеңістігінің әрбір Х нүктесінде F тензоры (4-саны) берілсе, онда F=F(X) тензор өрісі бар деп айтамыз. Ерекше жағдайлар скаляр өрісі , векторлық өрісі A=A(X), екінші рангтағы тензорлық өріс T=T(X). Басқа тензор өрістерін берілген тензор өрісінен ажырату арқылы салуға болады. Бұл жағдайда негізгісі – дифференциалдық оператор ∇:

4-вектордың формальды қасиеттеріне ие және белгілі 3 өлшемді оператор «набла» 4 өлшемді жағдайға жалпылау. ∇² квадраты даламбермен (9.3) сәйкес келетін инвариантты оператор болып табылады:

Сонымен, дaламбер операторы □ оператордың тікелей 4 өлшемді аналогы болып табылады. Лаплас ∇² ≡ ∆. Енді біз тензордағы ең маңызды дифференциалдық операцияларды көрсетеміз ,болашақта бізге қажет өрістер.

(б) 4- А векторының дивергенциясы скаляр

мұнда біз a₄ ≡ia₀ белгісін енгіздік.

(в) екінші дәрежелі тензор T-ның 4-дивергенциясы вектор болып табылады

(4.13.24)

(г) А векторының 4-роторы екінші дәрежелі антисимметриялық тензор

(е) F ерікті тензорының дaламбері бірдей дәрежедегі тензор.

Гаусс – Остроградский және Стокс теоремаларына ұқсас интегралдық теоремалар Минковский кеңістігінде де жарамды, бірақ олар бізге келесіде қажет болмайды.